Introduction to Tensor Analysis (3)

     a) 11.1 General coordinate(일반 좌표계)    <- 그림 11.4 참조
       ∘ Cartesian coordinates(좌표계): 𝐱¹= x, 𝐱²= y, 𝐱³= z,  𝐮 = 𝑢₁𝐞₁ + 𝑢₂𝐞₂ + 𝑢₃𝐞₃
       ∘ Cylindrical coordinates(원통 좌표계): 𝜉¹= 𝑟, ξ²= 𝜃,  𝜉³= 𝑧,   𝐱¹= 𝑟 cos𝜃, 𝐱² = 𝑟 sin𝜃,  x³ = 𝑧    
       ∘ Sphrical coordinates(구 좌표계): 𝜉¹= 𝜌, 𝜉²= 𝜃,  𝜉³= 𝜙,   𝐱¹= 𝜌 sin𝜃 cos𝜙, 𝐱²= 𝜌 sin𝜃 sin𝜙,  𝐱³= 𝜌 cos𝜃
       ∘ Curviinear coordinates(곡선 좌표계) → general coordinate(일반 좌표계)로 지칭되기도 함. 
          다른 좌표계들과 달리 특정의 reference point(기준점)이 없으며 Cartesian 좌표계의 원점에 대한 상대적인 위치에서 정해집니다.
          curvilinear 좌표계는 global coordinate(광역 죄표계)인 Cartesian 좌표계와 달리 local coordinate(국소 좌표계)라고 부릅니다.
          위 그림에서 보듯이 Cartesian 좌표계에서 임의 거리만큼 떨어진 한점까지를 잇는 vector를 위치 vector 𝐱 라고 표기합니다.
          이 점에서 curvilinear 좌표계는 좌표계의 components(성분)에 따른 곡면을 가지게 됩니다.
     b) 11.2 일반 좌표계(곡선 좌표계)에서의 표기법 
       ∘  일반 좌표계의 vector 𝐮 = 𝑢^𝑖 𝐠_𝑖 = 𝑢_𝑖 𝐠^𝑖  <- ※ 일반 tensor의 중복지수는 반드시 위와 아래로 교차하도록 해야 합니다.   [11.2.2,5]
          𝐮 = 𝑢^𝑖 𝐠_𝑖 = 𝑢¹𝐠_𝑖 + 𝑢²𝐠₂ + 𝑢³𝐠₃  <-  𝑢^𝑖: contravariant component(반변 성분),  𝐠_𝑖: natural basis(자연 기저) vector   [11.2.3]   
          𝐮 = 𝑢_𝑖 𝐠^𝑖 = 𝑢₁𝐠¹ + 𝑢₂𝐠² + 𝑢₃𝐠³  <-  𝑢_𝑖: covariant component(공변 성분),  𝐠^𝑖: reciprocal basis(역기저) vector   [11.2.4]
       ∘  2차 tensor 표기법: 다음의 4가지로 표현될 수 있습니다.
          𝐀 =  𝐴^𝑖𝑗 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠_𝑗 = 𝐴_𝑖𝑗 𝐠^𝑖 ⊗ 𝐠^𝑗 = 𝐴^𝑖_,𝑗 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠^𝑗 = 𝐴_𝑖,^𝑗 𝐠^𝑖⊗ 𝐠_𝑗  <- contravant(반변), covariant(공변), mixed(혼합) 성분   [11.2.6-8]
     c) 11.3 General(일반) tensor의 성질
       ∘ Tanspose(전치):
          symmetric tensor 𝐀^T = (𝐴^𝑖𝑗)^T 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠_j = 𝐴^𝑗𝑖 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠_j = 𝐴^𝑖𝑗 𝐠_j ⊗ 𝐠_𝑖,  (𝐴^𝑖𝑗)^T = 𝐴^𝑗𝑖,  (𝐴_𝑖𝑗)^T = 𝐴_𝑗𝑖,  (𝐴^𝑖_,j)^T = 𝐴_j,^𝑖   [11.3.1,2]
          symmetric tensor: If 𝐀^T = 𝐀, then 𝐀: sym𝐀   <- square matrix   
          skew-symetric(반대칭) tensor: If 𝐀^T = -𝐀, then 𝐀: skew𝐀   <- square matrix    [11.3.3]   
          𝐀 = sym𝐀 + skew𝐀,   sym𝐀 = 1/2 (𝐀 +  𝐀^T),  skew𝐀 = 1/2 (𝐀 -  𝐀^T)  <- Toeplitz decomposition 'Symmetric matrix'[link]
       ∘ 덧셈과 뺄셈: 동일한 기저(basis)를 갖는 성분(component) 간에 가능
          ex1) 𝐀 - 𝐁 = (𝐴^𝑖𝑗 - 𝐵^𝑖𝑗) 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠_𝑗 =  𝑇^𝑖𝑗 = 𝐓,  ex2) 𝐀 - 𝐁 = (𝐴^𝑖_,𝑗 - 𝐵^𝑖_,𝑗) 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠^𝑗 =  𝑇^𝑖_,𝑗 = 𝐓   [11.4.4,5]
     d) 11.5 General tensor의 유용성: ※ 좌표계에 무관한 수식 표현이 가능하므로, Einstein에 의해 일반 상대성 원리(GR)에 활용되었음.  
          Cartesian 좌표계에서:  ex) velocity 𝐯 = 𝑣_𝑖𝐞_𝑖,  𝑣_𝑖 = 𝑎_𝑖𝑡,  𝑣_𝑖𝐞_𝑖 = 𝑎_𝑖𝐞_𝑖𝑡  ∴  𝐯 = 𝐚𝑡   <- 𝐚: acceleration, 𝑡: time   [11.5.1,4]
          General 좌표계에서:   ex) velocity 𝐯 = 𝑣_𝑖𝐠^𝑖, 𝑣_𝑖 = 𝑎_𝑖𝑡,   𝑣_𝑖𝐠^𝑖 = 𝑎_𝑖𝐠^𝑖𝑡  ∴  𝐯 = 𝐚𝑡   <- 𝐚: acceleration, 𝑡: time   [11.5.2,5]

II-2 일반 좌표계에서의 연산

     a) 12.1 Inner product(내적)
       ∘ Metric tensor:  𝑔_𝑖𝑗 ≡ 𝐠_𝑖 ∙ 𝐠_𝑗;  If 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎^𝑖𝑏^𝑗 𝐠_𝑖 ∙ 𝐠_𝑗, then 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎^𝑖𝑏^𝑗 𝑔_𝑖𝑗   [12.1.6]
           metric tensor [𝑔_𝑖𝑗] =
                                 ⌈  𝑔₁₁  𝑔₁₂  𝑔₁₃ ⌉
                                ┃ 𝑔₂₁  𝑔₂₂  𝑔₂₃┃  (𝑖,𝑗 = 1,2,3)   [12.1.7]
                                 ⌊  𝑔₃₁  𝑔₃₂  𝑔₃₃ ⌋
       ∘ Kronecker delta:  𝛿^𝑖_𝑗 ≡ 𝐠^𝑖 ∙ 𝐠_𝑗 = {0 (𝑖≠𝑗);  1 (𝑖=𝑗)};  If 𝐚 ∙ 𝐛 =  𝑎^𝑖𝑏_𝑗 𝐠^𝑖 ∙ 𝐠_j, then 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎^𝑖𝑏_𝑗 𝛿^𝑖_𝑗 =  𝑎^𝑖𝑏_i  <- index 교환 (j→i of 𝑏)   [12.1.11,12]
       ∘ Reciprocal(역) metric tensor:  𝑔^𝑖𝑗 ≡ 𝐠^𝑖 ∙ 𝐠^𝑗;  If 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎_𝑖𝑏_𝑗 𝐠^𝑖 ∙ 𝐠^𝑗, then 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎_𝑖𝑏_j 𝑔^𝑖𝑗   [12.1.13,14]
       ∘ Identity(단위) tensor:  𝐈 = 𝛿^𝑖_𝑗 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠^𝑗 = 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠^𝑖,   𝐈 =  𝐈^T = 𝛿^𝑗_𝑖 𝐠^𝑖 ⊗ 𝐠_𝑗 = 𝐠_𝑗 ⊗ 𝐠^𝑗  ∴  𝐈 = 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠^𝑖 = 𝐠^𝑖 ⊗ 𝐠_𝑖   [12.1.15-17]
       ∘ Index 기호∙위치 바꾸기: ※ metric tensor/reciprocal metric tensor는 근접해 있는 index의 기호와 위치를 동시에 바꿈. 
          𝑎^𝑖𝑏^𝑗 𝐠_𝑖 ∙ 𝐠_𝑗 = 𝑎^𝑖𝑏^𝑗 𝑔_𝑖𝑗 = 𝑎^𝑖𝑏_i,  𝑎^𝑖𝑏_𝑗 𝐠_𝑖 ∙ 𝐠^𝑗 = 𝑎^𝑖𝑏_𝑗 𝛿^𝑗_𝑖 = 𝑎^𝑖𝑏_i,  𝑎_𝑖𝑏^𝑗 𝐠^𝑖 ∙ 𝐠_𝑗 = 𝑎_𝑖𝑏^𝑗 𝛿^𝑖_𝑗 = 𝑎_𝑖𝑏^𝑖,  𝑎_𝑖𝑏_𝑗 𝐠^𝑖 ∙ 𝐠^𝑗 = 𝑎_𝑖𝑏_𝑗 𝑔^𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖𝑏^𝑖,
          𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎^𝑖𝑏_𝑗 = 𝑎_𝑖𝑏^𝑗   [12.1.24-28]
     b) 12.2 Inner product(내적) 응용
       ∘ Basis(기저) vector의 변환: 𝐠_𝑖 = 𝑔_𝑖𝑗 𝐠^𝑗,  𝐠^𝑖 = 𝑔^𝑖𝑗 𝐠_𝑗   [12.2.1,2]
       ∘ Metric tensor 관계식: [𝑔^𝑖𝑗] = [𝑔_𝑖𝑗]^-1  ∵ 𝑔^𝑖𝑗 ∙ 𝑔_𝑖𝑗 =  𝐠^𝑖 ∙ 𝐠^𝑗 ∙ 𝐠_𝑖 ∙ 𝐠_𝑗 = 𝐠^𝑖 ∙ 𝐠_𝑗 ∙ 𝐠^𝑗 ∙ 𝐠_𝑖 =  𝛿^𝑖_𝑗 𝛿^𝑗_𝑖 = 𝐈   [12.2.6-8]   
    ∘ Trace(대각합): tr𝐀 = 𝐀 : 𝐈 ≡ 𝐴^𝑖_,𝑖,   tr(𝐀²) = tr(𝐀 ∙ 𝐀) = 𝐀 : 𝐀 = 𝐴^𝑖_,𝑗𝐴^j_,𝑖,  (tr𝐀)² = tr(𝐀) tr(𝐀) =  𝐴^𝑖_,𝑖 𝐴^𝑗_,𝑗   [12.2.12-14]
       ∘ Vector의 크기:  𝐧 = 𝑛^𝑖 𝐠_𝑖의 크기 → ∥𝐧∥= √ (𝐧 ∙ 𝐧) = √ (𝑛^𝑖 𝐠_𝑖 ∙ 𝑛^𝑗 𝐠_𝑗) = √ (𝑛^𝑖𝑛^𝑗𝑔_𝑖𝑗) = √ (𝑛ⁱ𝑛_𝑗),  ∴ ∥𝐧∥= √ (𝐧 ∙ 𝐧) = √ (𝑛ⁱ𝑛_i)   [12.2.16-18]
       ∘ Basis(기저) vector의 크기: ∥𝐠_𝑖∥= √ (𝐠_𝑖̄ ∙ 𝐠_𝑖̄) = √ 𝑔_𝑖̄𝑖̄, ∥𝐠^𝑖∥= √ (𝐠^𝑖̄ ∙ 𝐠^𝑖̄) = √ 𝑔^𝑖̄𝑖̄  <- ※ 𝑖̄ : 중복지수(dummy index) 미적용 표기임.   [12.2.19-24]
          ex) 원통 좌표계의 자연 기저 vector 크기∥𝐠_𝑖∥를 구하시오. ◂  
               ∥𝐠₁∥= √ (𝐠₁ ∙ 𝐠₁) = √ 𝑔₁₁, ∥𝐠₂∥= √ (𝐠₂ ∙ 𝐠₂) = √ 𝑔₂₂, ∥𝐠₃∥= √ (𝐠₃ ∙ 𝐠₃) = √ 𝑔₃₃  ▮   [12.2.25]
     c) 12.3 Tensor component(성분) 변환
       ∘ Tensor 성분 구하기: 원하는 방향의 basis vector를 tensor에 dot product를 함. <- 1차 tensor: 1회, 2차 tensor: 2회          
          ex1) 𝐮 ∙ 𝐠_𝑗 = 𝑢_𝑖 𝐠^𝑖 ∙ 𝐠_𝑗 = 𝑢_𝑖𝛿^𝑖_𝑗 = 𝑢_𝑗,  ex2)  𝐠_𝑘 ∙ 𝐀 ∙ 𝐠_𝑙 = 𝐠_𝑘 ∙ (𝐴^𝑖𝑗 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠_𝑗) ∙ 𝐠_𝑙 = 𝐴^𝑖𝑗 (𝐠_𝑘 ∙ 𝐠_𝑖)(𝐠_𝑗 ∙ 𝐠_𝑙) = 𝐴^𝑖𝑗 𝑔_𝑘𝑖 𝑔_𝑗𝑙 = 𝐴_𝑘𝑙   [12.3.1,3]
       ∘ Tensor 구성하기: tensor의 성분아 알려져 있을 때는 basis vector를 곱하여 tensor를 회복할 수 있습니다.
          ex1) 𝑢_𝑗 (= 𝐮 ∙ 𝐠_𝑗)를 알면,  𝑢_j 𝐠^𝑗 = 𝐮;  ex2) 𝑢^𝑗 (= 𝐮 ∙ 𝐠^𝑗)를 알면, 𝑢^𝑗 𝐠_𝑗 = 𝐮   [12.3.15,16].
         ∘ 12.4 Tensor 성분 변환 절차: 𝐚 = 𝑢^𝑖 𝐠_𝑖  <- contavariant 성분과 자연 기저 vector가 주어질 경우  
          1) metric tensor 구하기:  ; 𝑔_𝑖𝑗 = 𝐠_𝑖 ∙ 𝐠_𝑗
             ex) 원통 좌표계 (𝑟, 𝜃, 𝑧)에서 x = 𝑟 cos 𝜃, y = 𝑟 sin 𝜃, z = 𝑧 일 때 해당 metric tensor 𝑔_𝑖𝑗를 구하시오.  ◂
                  ⌈ 𝐠₁ ⌉       ⌈  cos𝜃       sin𝜃       0   ⌉     ⌈ 𝐞₁ ⌉    
                 ┃𝐠₂┃ =   ┃ -𝑟 sin 𝜃   𝑟 cos𝜃   0  ┃    ┃𝐞₂┃  [12.1.8]
                  ⌊ 𝐠₃ ⌋       ⌊    0            0          1   ⌋     ⌊ 𝐞₃ ⌋  
                ∴  𝐠₁ = cos𝜃 𝐞₁ + sin𝜃 𝐞₂,  𝐠₂ = -𝑟 sin𝜃 𝐞₁ + 𝑟 cos𝜃 𝐞₂,  𝐠₃ = 𝐞₃ 
                𝑔₁₁ =  𝐠₁ ∙ 𝐠₁ =  (cos𝜃 𝐞₁ + sin𝜃 𝐞₂) ∙ (cos𝜃 𝐞₁ + sin𝜃 𝐞₂) = 1,  같은 방식으로 계산을 계속한 결과는,
               metric tensor [𝑔_𝑖𝑗] =
                                     ⌈ 1    0    0 ⌉       
                                    ┃ 0    𝑟²   0┃  ▮   [12.1.9]
                                     ⌊ 0    0    1 ⌋  
          2) reciproca(역) metric tensor 구하기: 𝑔^𝑖𝑗  <- [𝑔^𝑖𝑗] = [𝑔_𝑖𝑗]^-1 관계식으로부터
             ex) 원통 좌표계 (𝑟, 𝜃, 𝑧)의 경우에 역 metric tensor 구하시오.  ◂    
               reciprocal metric tensor [𝑔^𝑖𝑗] =
                                                      ⌈ 1    0    0 ⌉ ^-1      ⌈ 1     0     0 ⌉        
                                                     ┃0    𝑟²   0┃    =   ┃0   1/𝑟²   0┃   ▮   [12.2.9]
                                                      ⌊ 0    0    1 ⌋          ⌊ 0     0     1 ⌋    
          3) reciproca(역) 기저 vector 구하기: 𝐠^𝑖 = 𝑔^𝑖𝑗 𝐠_𝑗
             ex) 원통 좌표계 (𝑟, 𝜃, 𝑧)의 경우에 역기저 vector 𝐠^𝑖를 유도하시오.  ◂
                 𝐠¹ = 𝑔¹¹𝐠₁ + 𝑔¹²𝐠₂ + 𝑔¹³𝐠₃ = 𝐠₁ + 0 + 0 = 𝐠₁  ∴  𝐠¹ = cos𝜃 𝐞₁ + sin𝜃 𝐞₂
                 𝐠² = 𝑔²¹𝐠₁ + 𝑔²²𝐠₂ + 𝑔²³𝐠₃ = 0 + (1/𝑟² ) 𝐠₂ + 0 + 0 = (1/𝑟² ) 𝐠₂  ∴  𝐠² = -(1/𝑟) sin𝜃 𝐞₁ + (1/𝑟) cos𝜃 𝐞₂
                 𝐠³ = 𝑔³¹𝐠₁ + 𝑔³²𝐠₂ + 𝑔³³𝐠₃ = 0 + 0 + 𝐠₃ = 𝐠₃  ∴  𝐠³ = 𝐞₃  ▮   [12.2.4,5]  
          4) 변환된 성분 구하기: 𝑢_𝑖 = 𝑔_𝑖𝑗 𝑢^𝑗
          5) 변환된 tensor 구성함: 𝐮 =  𝑢_𝑖 𝐠^𝑖  <- covariant → contravariant 의 경우에도 유사 방식으로 진행됩니다.
     d) 12.5 Outer product(외적)
       ∘ 𝐠_𝑖 ⨯ 𝐠_𝑗 ≡ 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝐠^𝑘,   𝐚 ⨯ 𝐛 = 𝑎^𝑖𝑏^𝑗 (𝐠_𝑖 ⨯ 𝐠_𝑗) = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝑎^𝑖𝑏^𝑗 𝐠^𝑘   <- 𝝐_𝑖𝑗𝑘: 일반 좌표계의 순환 기호   [12.5.2,3]
       ∘ 𝐠^𝑖 ⨯ 𝐠^∣ ≡ 𝝐^𝑖𝑗𝑘 𝐠_𝑘,   𝐚 ⨯ 𝐛 = 𝑎_𝑖𝑏_𝑗 (𝐠^𝑖 ⨯ 𝐠^∣) = 𝝐^𝑖𝑗𝑘 𝑎_𝑖𝑏_𝑗 𝐠_k  ∴ 일반 좌표계의 vector의 외적: 𝐚 ⨯ 𝐛 = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝑎^𝑖𝑏^𝑗 𝐠^k or 𝝐^𝑖𝑗𝑘 𝑎_𝑖𝑏_𝑗 𝐠_k   [12.5.5,6]    
       e) 12.6 Triple inner product(삼중 내적)  
         (𝐚 ⨯ 𝐛) ∙ 𝐜 = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝑎^𝑖𝑏^𝑗 𝐠^𝑘 ∙ 𝑐^𝑙 𝐠_𝑙 = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝑎^𝑖𝑏^𝑗𝑐^𝑙 𝐠^𝑘 ∙ 𝐠_𝑙 = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝑎^𝑖𝑏^𝑗𝑐^𝑙 𝛿^𝑘_𝑙 = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝑎^𝑖𝑏^𝑗𝑐^𝑘  ∴ (𝐚 ⨯ 𝐛) ∙ 𝐜 = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝑎^𝑖𝑏^𝑗𝑐^𝑘 or 𝝐^𝑖𝑗𝑘 𝑎_𝑖𝑏_𝑗𝑐_𝑘   [12.6.1-3]
       ∘ Permutation symbol(순환 기호) 정의:  𝝐_𝑖𝑗𝑘 ≡ (𝐠_𝑖 ⨯ 𝐠_𝑗) ∙ 𝐠_𝑘  <- 𝐄 = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝐠^𝑖 ⊗ 𝐠^𝑗 ⊗ 𝐠^𝑘의 covariant 성분   [12.6.5]
           𝝐_𝑖𝑗𝑘 =
               ⌈   𝑉_𝑔    (123, 231, 312)
              ┃ -𝑉_𝑔    (321, 132, 213)  <-  𝑉_𝑔: 3개 기저 vector들로 이루어진 평행육면체의 체적   [12.6.8]
               ⌊   0      (223, 331 기타)
       ∘ Reciprocal basis(역기저) vector   <- 그림 12.1 참조
          𝐠¹ ∙ 𝐠₁ = 1,  𝐠¹ ∙ 𝐠₂ = 0,  𝐠¹ ∙ 𝐠₃ = 0,  (<- Kronecker delta)  ∴ 𝐠¹ = 𝜆(𝐠₂ ⨯ 𝐠₃),  𝐠¹ ∙ 𝐠₁ = 𝜆(𝐠₂ ⨯ 𝐠₃) ∙ 𝐠₁ = 𝜆𝑉_𝑔 = 1,  𝜆 = 1/𝑉_𝑔.  
         ∴  𝐠¹ = (𝐠₂ ⨯ 𝐠₃)/𝑉_𝑔,   𝐠² = (𝐠₃ ⨯ 𝐠₁)/𝑉_𝑔,   𝐠³ = (𝐠₁ ⨯ 𝐠₂)/𝑉_𝑔   [12.6.15-17]
       ∘ Reciprocal permutation symbol(역순환 기호): 𝝐^𝑖𝑗𝑘 ≡ (𝐠^𝑖 ⨯ 𝐠^𝑗) ∙ 𝐠^𝑘  <- 𝐅 = 𝝐^𝑖𝑗𝑘 𝐠_𝑖 ⊗ 𝐠_𝑗 ⊗ 𝐠_𝑘의 contravariant 성분   [12.6.26]
           𝝐^𝑖𝑗𝑘 =
               ⌈   1/𝑉_𝑔   (123, 231, 312)
              ┃-1/𝑉_𝑔   (321, 132, 213)  <-  𝑉 _𝑔: 3개 기저 vector들로 이루어진 평행육면체의 체적   [12.6.30]
               ⌊   0       (223, 331 기타)
     f) 12.7 수학적 유도 과정
       ∘ Permutation symbol(순환 기호) 관계식:  𝝐_𝑖𝑗𝑘 =  𝑉_𝑔 𝑒_𝑖𝑗𝑘  <- Cartesian 좌표계의 순환 기호의 사용 가능   [12.7.1] 
       ∘ Triple inner product(삼중 내적) 값의 유도:  (𝐠_𝑖 ⨯ 𝐠_𝑗 ∙ 𝐠_𝑘)(𝐠_p ⨯ 𝐠_q ∙ 𝐠_r) = 𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝝐_𝑝𝑞𝑟  <- ※ [6.5.25] 참조   [12.7.2]
           𝝐_𝑖𝑗𝑘 𝝐_𝑝𝑞𝑟 =
              ∣ 𝐠_𝑖 ∙ 𝐠_𝑝    𝐠_𝑖 ∙ 𝐠_𝑞    𝐠_𝑖 ∙ 𝐠_𝑟 ∣      ∣ 𝑔_𝑖𝑝  𝑔_𝑖𝑞  𝑔_𝑖𝑟 ∣
              ∣ 𝐠_𝑗 ∙ 𝐠_𝑞    𝐠_𝑗 ∙ 𝐠_𝑞    𝐠_j ∙ 𝐠_r ∣  =  ∣ 𝑔_𝑗𝑝  𝑔_𝑗𝑞  𝑔_𝑗𝑟 ∣  =  det [𝐠_𝑖𝑗],   𝑔 ≡ det [𝐠_𝑖𝑗]   [12.7.4,5]
              ∣ 𝐠_𝑘 ∙ 𝐠_𝑝   𝐠_𝑘 ∙ 𝐠_𝑞    𝐠_𝑘 ∙ 𝐠_𝑟 ∣     ∣ 𝑔_𝑘𝑝  𝑔_𝑘𝑞 𝑔_𝑘𝑟 ∣
         basis vector  (𝝐₁₂₃)² = det [𝐠] (𝑖,𝑗 = 1,2,3) = 𝑔,  𝝐₁₂₃ = √ 𝑔 =  𝑉_𝑔  ∴  𝝐_𝑖𝑗𝑘 =  𝑉_𝑔 𝑒_𝑖𝑗𝑘 = √ 𝑔 𝑒_𝑖𝑗𝑘   [12.7.6-8]
       ∘ Reciprocal permutation symbol(역순환 기호):  𝝐^𝑖𝑗𝑘 =  𝐠^𝑖 ⨯ 𝐠^𝑗 ∙ 𝐠^𝑘,  𝝐^𝑖𝑗𝑘 =  (1/√ 𝑔) 𝑒^𝑖𝑗𝑘  <- 역기저 vector 참조   [12.7.13-19]
     g) 12.8 Eigenvalue(고유값) 관련
          (𝐀 - λ𝐈) ∙ 𝐱 = 0     λ: eigenvalue(고유값),   𝐱: eigenvector(고유 vector) ,  𝐈: identity vector(단위 vector)   [12.8.1]
          det (𝐀 - λ𝐈) = 0     [12.8.2]
          λ³ - 𝐼 λ² +  𝐼𝐼 λ² - 𝐼𝐼𝐼 = 0    <-  𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼: invariant scalars   [12.8.3]
          𝐼 = tr𝐀 = 𝐴^𝑖_.𝑖    𝐼𝐼 = 1/2{(tr𝐀 )² - (tr(𝐀 ²)} = 1/2 {(𝐴^𝑖_.𝑖 𝐴^𝑗_.𝑗 - 𝐴^𝑖_.𝑗 𝐴^𝑖_.𝑗)}    𝐼𝐼𝐼 = det 𝐀 = 𝑒_𝑖𝑗𝑘 𝐴^𝑖_.1 𝐴^𝑗_.2 𝐴^𝑘_.3   [12.8.4-6]