Dirac's General Relativity (5)

'General Theory of Relativity' (P. A. M. Dirac 1975, John Wiley & Sons, New York ∙ London ∙ Sydney ∙ Toronto)


29. The action for charged matter 전하의 물질을 위한 작용 (pp. 55-58) 

앞의 Section에서는 우리는 전하가 없을 때의 전자기장을 고려했다. 만일 전하들이 존재한다면, 그 작용에 한 추가의 항이 필요하다. 전하 𝑒의 한 입자를 위한 그 별도의 작용은 다음이다.                                 
-𝑒 𝜅𝜇 𝑑𝜇𝑥 = -𝑒 𝜅𝜇𝑣𝜇 𝑑𝑠,                              (29.1)
위는 세계선을 따라서 적분된 것이다.
        한 전하를 운반하는 한 입자를 다루는 데는 어려움들이 있는데 왜냐하면 그것이 그 전기장에서의 한 특이점을 산출하기 때문이다. 우리는 이 어려움들을 전하를 운반하는 한 연속적인 물질의 분포를 대신 다룸으로써 피할 수 있다. 우리는 그 불질의 각 요소가 전하를 운반한다고 가정하면서 이 물질을 Section 27의 그 기법으로 다룰 것이다.
             운동학적인 논의에서 우리는 그 물질의 밀도와 흐름을 결정하기 위하여 한 반변벡터 밀도 𝑝𝜇를 가졌었다. 우리는 이제 전기의 밀도와 흐름을 결정하기 위해서 한 반변벡터 밀도 𝒥𝜇를 도입한다. 이 두 vector들은 같은 방향에 놓여 있도록 억제된다. 우리가 어떤 이동을 만들 때는, 우리는 다음을 갖는다.                                 
𝛿𝒥𝜇 = (𝒥𝜈𝑏𝜇 - 𝒥𝜇𝑏𝜈),𝜈.                              (29.2)
위는 같은 𝑏𝜇와 함께 하는 (27.4)에 해당한다.
     한 전하를 가진 입자를 위한 작용을 위한 표현 (29.1)은 이제 다음으로 유도된다.                                 
𝐼𝑞 = - 𝒥0𝜅𝜇𝑣𝜇 𝑑1𝑥 𝑑2𝑥 𝑑3𝑥 𝑑𝑠
위는 전하를 갖는 물질의 한 연속적인 분포를 위한 것으로, (27.6)에 해당한다.
        우리는 (27.7)에 해당하는 그 계량을 도입할 때, 우리는 다음을 놓는다.                                 
𝒥𝜇 = 𝜎𝑣𝜇√,                              (29.3)
여기서 𝜎는 전하 밀도를 결정하는 한 scalar이다. (27.8)에 해당하는 그 작용은 이제 다음이 된다.                                   
𝐼𝑞 = - 𝜎𝜅𝜇𝑣𝜇√ 𝑑4𝑥 = - 𝜅𝜇𝒥𝜇 𝑑4𝑥.                              (29.4)
이리하여                                 
 𝐼𝑞 = - [𝒥𝜇 𝛿𝜅𝜇 + 𝜅𝜇(𝒥𝜈𝑏𝜇 - 𝒥𝜇𝑏𝜈),𝜈] 𝑑4𝑥    
   = - [-𝜎𝑣𝜇√ 𝛿𝜅𝜇 + 𝜅𝜇,𝜈(𝒥𝜈𝑏𝜇 - 𝒥𝜇𝑏𝜈)] 𝑑4𝑥    
   = - 𝜎(-𝑣𝜇 𝛿𝜅𝜇 + 𝐹𝜇𝜈𝑣𝜈𝑏𝜇)√ 𝑑4𝑥.                              (29.5)
       전하를 갖는 물질의 중력과 전자기의 결합된 field들과의 상호 작용을 위한 방정식들은 모두 일반적 작용 원리로부터 다음을 따른다.                                 
𝛿(𝐼𝑔 + 𝐼𝑚 + 𝐼𝑒𝑚 + 𝐼𝑞) = 0.                              (29.6)
이리하여 우리는 (29.5)(28.5)(27.11)에 의해서 마지막 항이 대치된 (27.10) 표현들의 합을 취하고, 변분 𝛿𝑔𝜇𝜈𝛿𝜅𝜇 그리고 𝑏𝜇들의 전체 계수들이 영과 같게 한다.
        -16π로 곱해진 √ 𝛿𝑔𝜇𝜈의 계수는 다음을 제공한다.                                 
𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅 + 8π𝜌𝜐𝜇𝜐𝜈 + 8π𝐸𝜇𝜈 = 0.                              (29.7)
이것은 하나는 물질-energy tensor로부터 오고, 다른 것은 전자기장의 stress-energy tensor로부터 오는 두 부분으로 구성된 𝑌𝜇𝜈와 함께 하는 Einstein 방정식 (24.6) 이다.
            √ 𝛿𝜅𝜇의 계수는 다음을 제공한다.                                  
-𝜎𝑣𝜇 + (4π)-1𝐹𝜇𝜈:𝜈 = 0.
(29.3)으로부터 우리는 𝜎𝑣𝜇가 전하 전류 vector 𝐽𝜇임을 알므로, 우리는 다음을 얻는다.                                 
𝐹𝜇𝜈:𝜈 = 4π𝐽𝜇,                              (29.8)
이것은 전하가 있을 때를 위한 Maxwell 방정식 (23.13)이다.
        마지막으로, √ 𝑏𝜇의 계수는 다음을 제공한다.                                  
𝜌𝑣𝜇:𝜈𝑣𝜈 + 𝜎𝐹𝜇𝜈𝑣𝜈 = 0.   
또는                                 
𝜌𝑣𝜇:𝜈𝑣𝜈 + 𝐹𝜇𝜈𝐽𝜈 = 0.                              (29.9)
여기의 두번째 항은 물질의 한 요소가 한 측지선을 벗어난 그 궤도(trajectory)를 초래하는 Lorentz 힘을 제공한다.
        방정식 (29.9)(29.7)29.8)로부터 추론할 수 있다. (29.7)의 공변 발산을 취하고 Bianchi 관계식을 사용하면 우리는 다음을 얻는다.                                 
(𝜌𝑣𝜇𝑣𝜈 + 𝐸𝜇𝜈):𝜈.                              (29.10)
이제 (28.3)으로부터                                  
4π𝐸𝜇𝜈:𝜈 = - 𝐹𝜇𝛼𝐹𝜈𝛼:𝜈 - 𝐹𝜇𝛼:𝜈𝐹𝜈𝛼 + (1/2)𝑔𝜇𝜈𝐹𝛼𝛽𝐹𝛼𝛽:𝜈 
        = - 𝐹𝜇𝛼𝐹𝜈𝛼:𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜌𝐹𝜈𝜎(𝐹𝜌𝜎:𝜈 - 𝐹𝜌𝜈: 𝜎 - 𝐹𝜈𝜎:𝜌)    
        = 4π𝐹𝜇𝛼𝐽𝛼,    
위는 (23.12)(29.8)로부터이다. 그래서 (29.10)은 다음으로 된다.                                 
𝑣𝜇(𝜌𝑣𝜈),𝜈 + 𝜌𝑣𝜈𝑣𝜇:𝜈 + 𝐹𝜇𝛼𝐽𝛼 = 0.                              (29.11)
𝑣𝜇를 곱하고 또한 (25.2)를 사용하라. 우리는 다음을 얻는다.                                  
(𝜌𝑣𝜈):𝜈 = - 𝐹𝜇𝛼𝑣𝜇𝐽𝛼 = 0
만일 우리가 𝐽𝛼𝑣𝛼가 같은 방향으로 놓여지도록 하는 표현인 𝐽𝛼 = 𝜎𝑣𝛼 의 조건을 사용할 경우이다. 그래서 (29.11)의 첫째 항은 소멸하고 또한 우리에게는 (29.9) 가 남아있다.
        이 추론은 작용 원리 (29.6)로부터 따르는 방정식들이 모두 독립적이지는 않음을 의미한다. 이에는 어떤 일반적인 이유가 있으며, 이는 Section 20에서 설명될 것이다.

         [comment] 본격적으로 상대론적 전자기학이 사용되고 있습니다. 따라서 제대로 이해하려면 상위 레벨의 전자기학 학습이 필요할 것 같습니다.

30. The comprehensive action principle 포괄적 작용 원리 (pp. 58-60) 

Section 29의 방법은 서로간에도 역시 상호작용하는 임의의 다른 장들과 상호작용하는 중력장에 적용하기 위하여 일반화 될 수 있다. 한 포괄적 작용 원리는 다음이다.                                 
𝛿(𝐼𝑔 + 𝐼') = 0,                                (30.1)
거기에서 𝐼𝑔는 우리가 전에 갖었던 중력의 작용이고 또한 𝐼'는 모든 다른 장의 작용이며 그리고 하나가 각 field인 항들의 하나의 합으로 구성된다. 상호작용하는 임의의 field들을 위한 올바른 방정식을 구하기가 아주 쉽다는 것이 하나의 작용 원리를 사용하는 어떤 커다란 장점이다. 사람은 단지 흥미를 가진 field들의 각각을 위한 작용을 구하고 또한 그것들을 모두 함께 더하고 그리고 모두를 (30.1)에 포함시키면 된다.
        우리는 다음을 갖는다.                                  
𝐼𝑔 = 𝓛 𝑑4𝑥,  
위에서 이 𝓛은 Section 26의 그 𝓛의 (16π)-1 곱이다. 우리는 다음을 얻는다.                                 
 𝛿𝐼𝑔 =  [(∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽)𝛿𝑔𝛼𝛽 + (∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈)𝛿𝑔𝛼𝛽,𝜈] 𝑑4𝑥  
   =  [(∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽)𝛿𝑔𝛼𝛽 - (∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈),𝜈]𝛿𝑔𝛼𝛽 𝑑4𝑥     
Section 26의 작업은 (26.11)로 유도되며 다음을 보여준다.                                 
(∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽)𝛿𝛼𝛽 - (∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈),𝜈 = -(16π)-1[𝑅𝛼𝛽 - (1/2)𝑔𝛼𝛽𝑅]√.
                                (30.2)
         𝜙𝑛 (𝑛 = 1, 2, 3 ...) 이 다른 field 양들을 나타내도록 하라. 그것들의 각각은 한 tensor의 한 성분이라고 가정하지만, 그러나 그 정확한 tensor 특성은 명시하지 않고 남겨 놓는다. 는 다음의 한 scalar 밀도의 적분의 형식이다.                                  
𝐼' = 𝓛' 𝑑4𝑥,   
위에서 𝓛'𝜙𝑛와 그것들의 일계 도함수 그리고 어쩌면 역시 더 높은 도함수들의 하나의 함수이다.
         그 작용의 변분은 이제 다음 형식의 한 결과로 유도된다.                                 
𝛿(𝐼𝑔 + 𝐼') = (𝑝𝜇𝜈 𝛿𝑔𝜇𝜈 + 𝛴𝑛𝜒𝑛 𝛿𝜙𝑛)√ 𝑑4𝑥,                                (30.3)
위에서 𝑝𝜇𝜈 = 𝑝𝜈𝜇 로 되는데, 왜냐하면 𝛿 (한 field 양의 도함수)를 포함하는 임의의 항들은 (30.3)에 포함될 수 있는 한 항으로 부분 적분으로 변환될 수 있기 때문이다. 변분 원리 (30.1)은 이렇게 다음의 장방정식들로 유도된다.                                   
𝑝𝜇𝜈 = 0,                                (30.4)
𝜒𝑛 = 0.                                (30.5)
𝑝𝜇𝜈𝐼𝑔로부터 오는 (30.2) 항 더하기 𝓛'로부터 오는 항들, 말하자면 𝑁𝜇𝜈로 구성될 것이다. 우린는 물론  𝑁𝜇𝜈 = 𝑁𝜈𝜇 를 갖는다.  는 보통 의 도함수들을 포함하지 않으며 또한                                   
𝑁𝜇𝜈 = ∂𝓛'/∂𝑔𝜇𝜈.                                (30.6)
         방정식 (30.4)는 이제 다음이 된다.                                 
𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅 - 16π𝑁𝜇𝜈 = 0.       
그것은 바로 다음과 함께 하는 Einstein 방정식 (24.6)이다.                                 
𝛶𝜇𝜈 = -2𝑁𝜇𝜈.                                (30.7)
우리는 여기서 각 field가 Einstein 방정식의 우측변으로 한 항에 기여하는 것을 아는데, 유보하자면, (30.6)에 의하면, 과정에서는 그 field를 위한 작용은 𝑔𝜇𝜈를 포함한다. 
           𝑁𝜇𝜈𝑁𝜇𝜈:𝜈 의 특성을 갖는 것이 일관성을 위해 필요하다. 이 특성은 𝐼'가 바뀌지 않은 경계인 표면을 떠나는 좌표의 한 변화 아래서도 불변량인 조건으로부터 꽤 일반적으로 추론될 수 있다. 우리는 한 작은 좌표의 변화를 만드는데, 말하자면 𝑥𝜇' = 𝑥𝜇 + 𝑏𝜇, 거기서 𝑏𝜇는 작고 또한 𝑥들의 함수이며 𝑏𝜇의 일차까지 작동한다. 그 𝑔𝜇𝜈를 위한 변환 법칙은 (3.7)에 따르는데, 거기서 '(apostrophe) *를 갖는 첨자들은 한 새로운 tensor를 명기한다.                                 
𝑔𝜇𝜈(𝑥) = 𝑥𝛼',𝜇𝑥𝛽',𝜈𝑔𝛼'𝛽'(𝑥'),                                (30.8)
𝛿𝑔𝛼𝛽가 다음이 되도록 𝑔𝛼𝛽에서의 일차 변화를 나타낸다고 하자. 그것은 한 특정의 field 점에서가 아니고, 반면에 그것이 참조하는 좌표의 정한(definte) 값들을 위해서이다.                                        
𝑔𝛼'𝛽'(𝑥') = 𝑔𝛼𝛽(𝑥') +  𝛿𝑔𝛼𝛽  
         = 𝑔𝛼𝛽(𝑥) + 𝑔𝛼𝛽,𝜎𝑏𝜎 + 𝛿𝑔𝛼𝛽,    
우리는 다음을 갖는다.                                  
𝑥𝛼',𝜇 = (𝑥𝛼 + 𝑏𝛼),𝜇 = 𝑔𝛼𝜇 + 𝑏𝛼,𝜇
이라하여 (30.8)은 다음을 제공한다.                                  
𝑔𝜇𝜈(𝑥) = (𝑔𝛼𝜇 + 𝑏𝛼,𝜇)(𝑔𝛽𝜇 + 𝑏𝛽,𝜇)[𝑔𝛼𝛽(𝑥) + 𝑔𝛼𝛽,𝜎𝑏𝜎 + 𝛿𝑔𝛼𝛽]  
       = 𝑔𝜇𝜈(𝑥) + 𝑔𝜇𝜈,𝜎𝑏𝜎 + 𝛿𝑔𝜇𝜈 + 𝑔𝜇𝛽𝑏𝛽,𝜈 + 𝑔𝛼𝜈𝑏𝛼,𝜇   
그래서                                  
𝛿𝑔𝜇𝜈 = -𝑔𝜇𝛼𝑏𝛼,𝜈 - 𝑔𝜈𝛼𝑏𝛼,𝜇 - 𝑔𝜇𝜈,𝜎𝑏𝜎.   
         우리는 이제, 그 𝑔𝜇𝜈가 이 방식으로 변화하고 또한 다른 field 변수들이 그것들이 𝑥𝜇를 위해서 거졌던 먼저의 좌표에서 가졌던 것과 같은 값을 좌표 𝑥𝜇'에서도 유지할 때, 𝐼'에서의 변분을 결정한다. 만일 우리가 (30.6)을 사용한다면, 그것은 다음 식들이다.                                  
𝛿𝐼' = 𝑁𝜇𝜈 𝛿𝑔𝜇𝜈√ 𝑑4𝑥   
   = 𝑁𝜇𝜈(-𝑔𝜇𝛼𝑏𝛼,𝜈 - 𝑔𝜈𝛼𝑏𝛼,𝜇 - 𝑔𝜇𝜈,𝜎𝑏𝜎)√ 𝑑4𝑥   
   = [2𝑁𝛼𝜈√),𝜈 - 𝑔𝜇𝜈,𝜎𝑁𝜇𝜈√]𝑏𝜎 𝑑4𝑥   
   = 2 𝑁𝛼𝜈:𝜈𝑏𝜎√ 𝑑4𝑥   
위는 (21.4)에 의해 표현된 정리로 부터이다. 𝐼'의 불변량 특성은, 모든 𝑏𝛼를 위해서, 이 변분 아래에서 불변할 것을 요구한다.그러므로 𝑁𝛼𝜈:𝜈 = 0 이다.
         이 관계로 인해서, 장방정식 (30.4), (30.5)는 모두 독립적이지 않다.

    [comment] 모든 장을 포함하는 일반화한 작용 원리의 수학적 추론을 전개하고 있는 데, 그 과정이 대단히 아름다습니다; * 원문을 일부 수정했습니다.

31. The pseudo-energy tensor of the gravitational field 중력장의 유사 에너지 텐서 (pp. 61-62) 

다음에 의해서 양 𝑡𝜇𝜈를 정의하라.                                 
𝑡𝜇𝜈√ = (∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈)𝑔𝛼𝛽,𝜇 - 𝑔𝜈𝜇 𝓛,                                 (31.1)
우리는 그러면 다음을 갖는다.                                  
(𝑡𝜇𝜈√),𝜈 = (∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈),𝜈𝑔𝛼𝛽,𝜇 +  (∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈)𝑔𝛼𝛽,𝜇𝜈 - 𝓛,𝜈,    
이제는                                  
𝓛,𝜈 = (∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽),𝜈𝑔𝛼𝛽,𝜇 +  (∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈)𝑔𝛼𝛽,𝜇𝜈,   
그래서                                  
(𝑡𝜇𝜈√),𝜈 = [(∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈),𝜈 - ∂𝓛/∂𝑔𝛼𝛽]𝑔𝛼𝛽,𝜇    
                                 
        = (16π)-1[𝑅𝛼𝛽 - (1/2)𝑔𝛼𝛽𝑅]𝑔𝛼𝛽,𝜇√   
위는 (30.2)로부터이다. 우리는 장방정식 (24.6)의 도움으로 다음을 얻는다.                                  
 (𝑡𝜇𝜈√),𝜈 = -(1/2)𝑌𝛼𝛽𝑔𝛼𝛽,𝜇√,   
그래서 (21.4) 그리고 𝑌𝜇𝜈:𝜈 = 0 으로부터, 우리는 다음을 얻는다.                                 
[(𝑡𝜇𝜈 + 𝑌𝜇𝜈)√],𝜈 = 0,                                 (31.2)
         우리는 여기에 한 보존 법칙을 갖으며, 또한 그 보존된 밀도 (𝑡𝜇𝜈 + 𝑌𝜇𝜈)√ 를 energy와 운동량의 밀도로 고려하는 것은 자연스럽다. 우리는 이미 를 중력장 이외의 field들의 energy와 운동량으로 갖고 있으므로 𝑡𝜇𝜈는 중력장의 energy와 운동량을 나타낸다. 그러나 그것은 tensor가 아니다. 그것을 정의하는 방정식 (31.1)은 다음으로 쓸 수 있겠다.                                 
𝑡𝜇𝜈 =  (∂𝐿/∂𝑔𝛼𝛽,𝜈)𝑔𝛼𝛽,𝜇 - 𝑔𝜈𝜇 𝐿;                                 (31.3)
그러나 위에서 𝐿은 scalar가 아니다. 왜냐하면 우리는 그로부터 이계 도함수를 제거하기 위해서, 원래는 중력의 작용을 얻기 위하여 쓰였던 scalar 𝑅을 변환하여야만 하기 때문이다. 이리하여 𝑡𝜇𝜈는 한 tensor일 수 없다. 그것은 한 유사텐서라고 불린다.
         다음의 조건 둘을 모두 만족시키는 중력장의 energy의 한 표현을 얻는 것은 가능하지 않은데; (i) 다른 energy의 형식에 더해질 때 전체 energy는 보존되며 또한 (ii) 어떤 시간에 하나의 정해진 (삼차원의) 지역 안에서의 energy는 좌표계에서 독립적이다. 이리하여 일반적으로 중력의 energy는 국지화될(localized) 수 없다. 우리가 할 수 있는 최선은, 조건 (i)을 만족시키나  (ii)는 그렇지 않은, 유사텐서를 사용하는 것이다. 그것은 우리에게 중력의 energy에 관한 근사적 정보를 제공하는데, 그것은 다소의 특별한 경우에는 정확할 수도 있다.
        우리는 다음의 적분을 형성할 수도 있겠다.                                 
(𝑡𝜇0 + 𝑌𝜇0)√ 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3                                 (31.4)
위는 어떤 시간에  얼마간의 물리적 system을 에워싸는 한 커다란 삼차원 부피 위에서이다. 그 부피가 무한으로 향하게 되면, 그 적분은, 다음을 전제로 하여, 우리에게 전체 energy와 운동량을 제공한다고 가정할 수 있겠다: (a) 그것은 수렴하며 또한 (b) 그 커다란 부피의 표면을 통과하는 flux는 영으로 향한다. 방정식 (31.2)은 하나의 시간 𝑥0 = 𝑎 에 취해진 적분 (31.4)이 다른 시간 𝑥0 = 𝑏 의 값과 같다는 것을 보여준다. 나아가, 그 적분은 좌표계에서 독립적이어야 한다. 그것은 우리가 좌표를 𝑥0 = 𝑎 에서는 바꾸지 않고  𝑥0 = 𝑏 에서는 그것을 바꿀 수도 있기 때문이다. 우리는 이리하여 보존되는 전체 energy와 운동량을 위한 명확한 표현을 갖는다.
        전체 energy와 운동량의 보존을 위해서 필요한 조건 (a)와 (b)는 실제적인 경우에 자주 적용하지 않는다. 그것들은 만일 사차원에서 한 정해진 원통형 지역의 밖에서 공간이 정적이라면 적용할 것이다. 이것은 만일 우리가 그 움직임이 광속으로 바깥쪽으로 여행하는 한 요동(disturbance)을 생성하도록 어떤 시간에 움직이기 시작하는 약간의 질량들을 갖고 있다면 그렇게 할 수 있겠다. 보통의 행성계를 위해서는 무한한 과거 이후로 그 운동은 앞으로도 계속될 것이고 또한 그 조건들은 적용되지 않는다. 중력파의 energy를 논의하기 위해서는 어떤 특별한 취급이 필요한데, 이것은 Section 33에서 제공될 것이다.

    [comment] 여기의 유사텐서(pseudo-tensor)는 일반상대성에 국한된 것으로, 한 좌표계에서 다른 것으로 변환될 때 불변량으로 나타나지 않습니다.

32. Explicit expression for the pseudo-tensor 유사텐서를 위한 명시적 표현 (p. 63) 

을 정의하는 공식 (31.1)은 다음의 형식이다.                                 
𝑡𝜇𝜈√ = (∂𝓛/∂𝑞𝑛,𝜈)𝑞𝑛,𝜇 - 𝑔𝜈𝜇 𝓛,                                (32.1)
위에서 𝑞𝑛(𝑛 = 1, 2, ... 10)은 열 𝑔𝜇𝜈이며 또한 모든 𝑛 위에서 합산이 내포된다. 우리는 그것을 다음으로 똑같이 잘 쓸 수 있겠다.                                 
𝑡𝜇𝜈√ = (∂𝓛/∂𝑄𝑚,𝜈)𝑄𝑚,𝜇 - 𝑔𝜈𝜇 𝓛,                                (32.2)
위에서 임의의 𝑞𝑛의 열 독립적 함수이다. 이것을 증명하기 위하여, 다음을 주목하라.                                  
𝑄𝑚,𝜎 = (∂𝑄𝑚/∂𝑞𝑛)𝑞𝑛,𝜎
여기에서                                  
∂𝓛/∂𝑞𝑛,𝜈 = (∂𝓛/∂𝑄𝑚,𝜎)(∂𝑄𝑚,𝜎/∂𝑞𝑛,𝜈) =  (∂𝓛/∂𝑄𝑚,𝜎)(∂𝑄𝑚/∂𝑞𝑛)𝑔𝜈𝜇 = (∂𝓛/∂𝑄𝑚,𝜈)(∂𝑄𝑚/∂𝑞𝑛). 
이리하여                                 
 (∂𝓛/∂𝑞𝑛,𝜈)𝑞𝑛,𝜇 = (∂𝓛/∂𝑄𝑚,𝜈)(∂𝑄𝑚/∂𝑞𝑛)𝑞𝑛,𝜇 =  (∂𝓛/∂𝑄𝑚,𝜈)∂𝑄𝑚,𝜇
(32.1)(32.2)의 동등성이 따른다.           𝑡𝜇𝜈를 위한 어떤 명시적 표현을 추론하기 위해서는 (32.2)와 작업하고 또한 𝑄𝑚를  그 양 𝑔𝜇𝜈으로 취하는 것이 편리하다. 우리는 이제 공식(26.7)을 사용할 수 있으며, 그것은 (계수 16π를 가져오면) 다음을 제공한다.                                 
 16π 𝛿𝓛 = (𝛤𝜈𝛼𝛽 - 𝑔𝜈𝛽𝛤𝜎𝛼𝜎) 𝛿(𝑔𝛼𝛽√),𝜈 + (some coeft) 𝛿(𝑔𝜇𝜈√),
또한 여기에서                                
16π 𝑡𝜇𝜈√ = (𝛤𝜈𝛼𝛽 - 𝑔𝜈𝛽𝛤𝜎𝛼𝜎) (𝑔𝛼𝛽√),𝜈* - 𝑔𝜈𝜇 𝓛.                            (32.3)

    [comment]  * 오타-로 추정됨-를 수정했습니다.

33. Gravitational waves 중력파 (pp. 64-66) 

           중력장이 약해서 𝑔𝜇𝜈들이 근사적으로 상수인 빈 공간의 한 지역을 고려해 보자. 우리는 그러면 방정식 (16.4) 또는 다음을 갖는다.
𝑔𝜇𝜈(𝑔𝜇𝜈,𝜌𝜎 - 𝑔𝜇𝜌,𝜈𝜎 - 𝑔𝜇𝜎,𝜈𝜌 + 𝑔𝜌𝜎,𝜇𝜈) = 0,                                 (33.1)
harmonic 좌표를 취하자.  내려진 첨자 𝜆와 더불어서, 조건 (22.2)는                                 
𝑔𝜇𝜈[𝑔𝜌𝜇,𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈,𝜌] = 0,                                 (33.2)
이 방정식을 𝑥𝜎에 대해서 미분하고, 또한 이차 항들을 무시하라. 그 결과는 다음이다.                                 
𝑔𝜇𝜈[𝑔𝜌𝜇,𝜈𝜎 - (1/2)𝑔𝜇𝜈,𝜌𝜎] = 0,                                 (33.3)
𝜌𝜎를 교환하라:                                 
𝑔𝜇𝜈[𝑔𝜌𝜎,𝜈𝜇 - (1/2)𝑔𝜇𝜈,𝜌𝜎] = 0,                                 (33.4)
(33.1), (33.3), 그리고 (33.4)를 더하라. 우리는 다음을 얻는다.                                  𝑔𝜇𝜈𝑔𝜌𝜎,𝜇𝜈 = 0,     이리하여 각 𝑔𝜇𝜈는 d'Alembert 방정식을 만족시키며 그 해는 또한 광속으로 여행하는 파동들과 일치할 것이다.그것들이 중력파이다.
             이 파동들의 energy를 고려해 보자. 한 진짜 tensor가 아닌 유사텐서인 덕분에 우리는, 일반적으로, 좌표로부터 독립한 분명한 한 결과를 얻지 못한다. 그러나 우리가 한 분명한 결과를 얻을 수 있는 특별한 경우가 있다; 즉, 그 파동들이 모두 한 방향으로 움직일 때이다.
             만일 그 파동들이 모두 방향 𝑥3으로 움직인다면, 우리는 그 𝑔𝜇𝜈가 오직 한 변수 <𝑥0-𝑥3의 함수들이 되도록 우리의 좌표계를 선택할 수 있다. 𝑔𝜇𝜈가 단 한개의 변수 𝑙𝜎𝑥𝜎의 모든 함수이고, 𝑙𝜎𝑔𝜌𝜎𝑙𝜌𝑙𝜎 = 0 을 만족하는 상수들이며, 그 𝑔𝜌𝜎의 변화하는 부분은 무시하는, 보다 일반적인 경우를 취하도록 하자. 우리는 다음을 갖는다.                                 
𝑔𝜇𝜈,𝜎 = 𝑢𝜇𝜈𝑙𝜎,                                 (33.5)
위에서 𝑢𝜇𝜈𝑙𝜎𝑥𝜎인 함수 𝑔𝜇𝜈의 도함수들이다. 물론, 𝑢𝜇𝜈 = 𝑢𝜈𝜇. 그러면 그 harmonic 조건 (33.2)는 다음을 제공한다.                                  
𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝜌𝑙𝜈 = (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝜈𝑙𝜌 = (1/2)𝑢𝑙𝜌,  
위는 𝑢 = 𝑢𝜇𝜇와 함께 한다. 우리는 이것을 다음과 같이 쓸 수 있겠다.                                 
𝑢𝜈𝜌𝑙𝜈 = (1/2)𝑢𝑙𝜌                                 (33.6)
혹은 다음과 같이                                 
[𝑢𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑢]𝑙𝜈 = 0.                                 (33.7)
         우리는 (33.5)로부터 다음을 갖는다.                                 
 𝛤𝜌𝜇𝜎 = (1/2)[𝑢𝜌𝜇𝑙𝜎 + 𝑢𝜌𝜎𝑙𝜇 - 𝑢𝜇𝜎𝑙𝜌].  
𝐿 = -𝑔𝜇𝜈𝛤𝜌𝜇𝜎𝛤𝜎𝜈𝜌    
 = -(1/4)𝑔𝜇𝜈[𝑢𝜌𝜇𝑙𝜎 + 𝑢𝜌𝜎𝑙𝜇 - 𝑢𝜇𝜎𝑙𝜌][𝑢𝜎𝜈𝑙𝜌 + 𝑢𝜎𝜌𝑙𝜈 - 𝑢𝜈𝜌𝑙𝜎].   
이것은 곱해졌을 때 아홉 항들을 제공하지만, 그러나 우리는 (33.6)𝑙𝜎𝑙𝜎 = 0 의 덕분에 모두가 사라지는 것을 쉽게 알 수 있다. 이리하여 그 작용 밀도는 사라진다. 전자기장에 한 상응하는 결과가 있는데, 그것을 위한 작용 밀도도 역시 오직 한 방향으로 움직이는 경우에는 사라진다.
              우리는 이제 그 유사텐서 (32.3)의 값을 구해야만 한다. 우리는 다음을 갖는다.                                  
𝑔𝛼𝛽,𝜇 = -𝑔𝛼𝜌𝑔𝛽𝜎𝑔𝜌𝜎,𝜇 = -𝑢𝛼𝛽𝑙𝜇
,𝜇 = (1/2)√ 𝑔𝛼𝛽𝑔𝛼𝛽,𝜇 =  (1/2)√ 𝑙𝜇,                                 (33.8)
그래서                                  
(𝑔𝛼𝛽√),𝜇 = -[𝑢𝛼𝛽 - (1/2)𝑔𝛼𝛽𝑢]√ 𝑙𝜇.   
여기에서                                  
𝛤𝜎𝛼𝜎(𝑔𝛼𝛽√),𝜇 = √,𝛼[-𝑢𝛼𝛽 - (1/2)𝑔𝛼𝛽𝑢]𝑙𝜇 = 0,   
위는 (33.8)(33.7)로부터이다. 우리에게는 다음이 남는다.                                 
 16π 𝑡𝜇𝜈 = -𝛤𝜈𝛼𝛽[𝑢𝛼𝛽 - (1/2)𝑔𝛼𝛽𝑢]𝑙𝜇    
        = -(1/2)[𝑢𝜈𝛼𝑙𝛽 + 𝑢𝜈𝛽𝑙𝜇 - 𝑢𝛼𝛽𝑙𝜈][𝑢𝛼𝛽 - (1/2)𝑔𝛼𝛽𝑢]𝑙𝜇     
        = (1/2)[𝑢𝛼𝛽𝑢𝛼𝛽 - (1/2)𝑢2]𝑙𝜇𝑙𝜈.                                 (33.9)
           우리는 한 tensor처럼 보이는 𝑡𝜇𝜈를 위한 한 결과를 갖고 있다. 이것은 𝑡𝜇𝜈가 오직 𝑙𝜎 방향으로 움직이는 파동들로만 이루어진 그 field의 성격을 보존하는 그러한 변환하에서는 tensor처럼 변환하며, 그 𝑔𝜇𝜈는 단 한개의 변수 𝑙𝜎𝑥𝜎의 함수들로 남아있다는 것을 의미한다. 그러한 변환𝑙𝜎 방향으로 움직이는 좌표 파장들의 도입에 있어서, 오직 다음 형식으로만 구성되어야 한다.                                  
𝑥𝜇' = 𝑥𝜇 + 𝑏𝜇,
위에서 𝑏𝜇는 오직 𝑙𝜎𝑥𝜎의 한 함수이다. 우리는 오직 한 방향으로만 움직이는 파동들을 갖는다는 제약과 더불어, 중력의 에너지는 국지화될(localized) 수 있다.

    [comment] d'Alembert 방정식과 파동에 대한 선행 학습이 필요한 것 같습니다. 일단 추론의 흐름을 보고 복습을 통해서 그 개념을 이해해야겠습니다.

34. The polarization of gravitational waves 중력파의 편광 (pp. 66-67) 

(33.9)의 물리적 중요성을 이해하기 위해서, 𝑥3 방향으로 움직이는 파동들의 경우로 돌아가서, 𝑙0 = 1, 𝑙1 = 0, 𝑙2 = 1, 𝑙3 = -1 이고 특수상대성의 그것들과 근사하는 좌표들을 사용하자. harmonic 조건 (33.6)은 이제 다음을 제공한다.                                   
 𝑢00 +  𝑢03 = (1/2)𝑢,
𝑢10 +  𝑢13 = 0,
𝑢20 +  𝑢23 = 0,
𝑢30 +  𝑢33 = -(1/2)𝑢.
이리하여                                  
𝑢00 -  𝑢33 = 𝑢 = 𝑢00 -  𝑢11 - 𝑢22 -  𝑢33 
그래서                                  
𝑢11 +  𝑢22 = 0,                              (34.1)
또한                                  
2𝑢03 = -(𝑢00 + 𝑢33).
우리는 이제 다음을 얻는다.                                  
𝑢𝛼𝛽𝑢𝛼𝛽 - (1/2) 𝑢2 = 𝑢002 + 𝑢112+ 𝑢222 + 𝑢332 - 2𝑢032 + 2𝑢122 + 2𝑢232+ 2𝑢312 - (1/2)(𝑢00 + 𝑢33)2
                 = 𝑢112 + 𝑢222 + 2𝑢122 
                 = (1/2)(𝑢11 - 𝑢22)2 + 2𝑢122
위는 (34.1)로부터 이다. 이리하여                                 
16π 𝑡00 = (1/4)(𝑢11 - 𝑢22)2 + 𝑢122                              (34.2)
그리고                                  
𝑡03 = 𝑡00.    
         우리는 energy 밀도가 양의 정부호이고 또한 energy는 광속으로 𝑥3 방향으로 흐르는 것을 안다.
         파동의 편광을 논의하기 위하여, 우리는 평면 𝑥1𝑥2 안에 무한소(infinitesimal) 회전 연산자 𝑅을 도입한다. 임의의 vector 𝛢1, 𝛢1에 적용하면, 그것은 다음의 효과를 갖는다.                                  
𝑅𝛢1 = 𝛢2,     𝑅𝛢2 = -𝛢1  
이리하여                                  𝑅2𝛢1 = -𝛢1,     그래서 𝑖𝑅는 한 vector에 적용할 때는 고유값(eigenvalue) ∓1을 갖는다.
         𝑢𝛼𝛽에 적용하면, 그 것은 다음 효과를 갖는다.                                  
𝑅𝑢11 = 𝑢21 + 𝑢12 = 2𝑢12,  
𝑅𝑢12 = 𝑢22 - 𝑢11
𝑅𝑢22 = -𝑢12 - 𝑢21 = -2𝑢12,  
그래서                                  
𝑅(𝑢11 - 𝑢22) = 4𝑢12  
𝑅2(𝑢11 - 𝑢22) = -4(𝑢11 - 𝑢22).  
이리하여 𝑢11 + 𝑢22 는 불변량이고, 𝑖𝑅𝑢11 - 𝑢22 혹은 𝑢12에 적용할 때는 고유값 ∓2를 갖는다. energy (34.2)에 공헌하는 𝑢𝛼𝛽의 성분들은 이렇게 spin 2에 상응한다.

    [comment] 이번 Section에서는 편광, 고유값과 spin 등의 개념들을 비롯하여 여러곳에서 수식의 엄밀한 전개마져 놓쳐서 나중을 기약해야 하겠습니다. 
 
   35. The cosmological term 우주항 (pp. 68-69) 

Einstein은 다음 식으로써 써 공간을 위한 그의 장방정식을 일반화하기를 고려했었다.
𝑅𝜇𝜈 = 𝜆𝑔𝜇𝜈,           (35.1)
거기에서 𝜆는 한 상수이다. 이것은 한 tensor 방정식이고, 그래서 그것은 하나의 자연의 법칙으로서 허용될 수 있다.
      우리는 이 항이 없이도 태양계를 위한 관측과는 좋은 일치함을 얻으며, 또한 그러므로 만일 우리가 그것을 도입하려면 우리는 그 일치함을 방해하지 않도록 충분히 작은 𝜆를 취하여야만 한다. 𝑅𝜇𝜈𝑔𝜇𝜈의 이계 도함수를 포함하고 있으므로, 𝜆(거리)-2 단위를 가져야만 한다. 𝜆가 작아지기 위해서는 이 거리는 대단히 커야만 한다. 그것은 하나의 우주적 거리로서, 우주의 반경의 차수이다.
      별도의 항이 우주적 이론들을 위해서는 중요하지만, 그러나 부근의 물체의 물리학에는 한 무시할만한 효과를 갖는다. 장이론에서 이것을 고려하기 위해서, 우리는 단지 그 Lagrangian에 별도 항을 더해하기만 하면 된다.; 말하자면,
𝐼𝑐 = 𝑐 √ 𝑑𝑥4.
한 적절한 상수인 𝑐와 함께한다.
      우리는 (26.10)으로부터
𝛿𝐼𝑐 = 𝑐 (1/2)𝑔𝜇𝜈 𝛿𝑔𝜇𝜈√ 𝑑𝑥4.
이라하여 작용 원리
𝛿(𝐼𝑔 + 𝐼𝑐) = 0
다음을 제공한다.
16π[𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅] + (1/2)𝑐𝑔𝜇𝜈 = 0,          (35.2)
방정식 (35.1)은 다음을 제공한다.
𝑅 = 4𝜆,
그리고 여기에서
𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅 = -𝜆𝑔𝜇𝜈.
이것은 우리가 다음을 취한다고 하면 (35.2)와 부합한다.
𝑐 = 32π𝜆.
      임의의 다른 field들과 상호 작용하는 중력장을 위하여 우리는 작용에 단지 그 항 𝐼𝑐만을 포함하면 되고 그러면 Einstein의 우주항과 함께 하는 올바른 장방정식을 얻을 것이다.

   [comment] 간략하되 엄밀한 Paul Dirac의 일반상대성의 학습을 마칩니다. (많이 사용된 'Hamilton의 원리'와 일부 수식들간의 엄밀성은 추후를 기약합니다.)  

* 우리말 번역을 원칙으로 하여 가급적 대한수학회 수학용어를 사용했으며, 영어 발음이면 그냥 영어로 표기했습니다.

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