Dirac's General Relativity (4)

'General Theory of Relativity' (P. A. M. Dirac 1975, John Wiley & Sons, New York ∙ London ∙ Sydney ∙ Toronto)


22. Harmonic coordinate (pp. 40-41) 

한 scalar 𝑉를 위한 d'Alembert 방정식, 즉 □𝑉 = 0 는, (10.9)로부터 다음을 제공한다.                                 
𝑔μν(𝑉,μν - 𝛤αμν𝑉) = 0.                               (22.1)
만일 우리가 평평한 공간에서 직선 좌표계를 사용한다면, 네 좌표 𝑥𝜆의 각각은 □𝑥𝜆 = 0 을 만족한다. 우리는 (22.1) 안에서 𝑉𝑥𝜆 로 대치할 수도 있겠다. 그 결과는, 물론, 한 tensor 방정식이 아닌데, 그것은 𝑥𝜆𝑉와 같은 한 scalar가 아니기 때문이어서, 어떤 좌표계에서만 유효하다. 그것은 좌표들에 대해 한 제약을 가한다.
               만일 우리가 𝑉를 위해 𝑥𝜆로 대치한다면, 𝑉,𝛼를 위해서는 우리는 𝑥𝜆,𝛼 = 𝑔𝜆𝛼로 대치하여야 한다. 그 방정식 (22.1)은 다음으로 된다.
𝑔μν𝛤𝜆μν = 0.                               (22.2)
이 조건을 만족시키는 좌표들은 harmonic 좌표 라 불린다. 그것들은 굽은 공간에서 우리가 갖을 수 있는 직선 좌표계에 가장 가까운 근사를 제공한다. 우리는 원한다면 그것들을 어떠한 문제에서도 사용할 수 있지만, 일반 좌표들과 tensor formalism이 정말로 꽤 편리하기 때문에 아주 자주는 그럴 가치가 없다. 그렇지만, 중력파(gravitational waves)를 위해서는 harmonic 좌표가 대단히 유용하다.
              우리는 일반 좌표에서, (7.9)과  (7.6)로부터 다음을 갖는다.                                 
𝑔αβ,𝜎 = -𝑔μα𝑔νβ(𝛤αβ𝜎 + 𝛤βα𝜎) = -𝑔νβ𝛤μβ𝜎 - 𝑔μα𝛤να𝜎.                               (22.3)
이리하여 (20.6)의 도움으로 ,                                 
(𝑔μν√),𝜎 = (-𝑔νβ𝛤μβ𝜎 - 𝑔μ𝜎𝛤να𝜎 + 𝑔μν𝛤βαβ)√.                               (22.4)
𝜎 = ν 로 놓아서 축약을 하면, 우리는 다음을 얻는다.                                 
(𝑔μν√) = -𝑔νβ𝛤μβν√.                               (22.5)
         우리는 이제 그 harmonic 조건을 위한 한 대안적 형태가 다음이라는 것을 안다.                                   
(𝑔μν√) = 0.                               (22.6)

    [comment] 아직은 불명확하지만, 이상의 harmonic 좌표가 앞으로 어디에 어떻게 쓰일 것인지 기대됩니다.

23. Electromagnetic field 전자기장 (pp. 41-43) 

통상적으로 쓰여진 Maxwell 방정식들은 다음과 같다.*
 𝐸 = -(1/𝑐) ∂𝛢/∂𝑡 - grad 𝜙,                               (23.1)
𝐻 = curl 𝛢,                               (23.2)
(1/𝑐) ∂𝐻/∂𝑡 = -curl 𝐸,                               (23.3)
div 𝐻 = 0,                               (23.4)
(1/𝑐) ∂𝐸/∂𝑡 = curl 𝐻 - 4π𝑗,                               (23.5)
div 𝐸 = 4π𝜌.                               (23.6)
우리는 먼저 특수상대성을 위해서 사차원의 형식에 넣어야만 한다. potential 𝛢𝜙는 다음과 일치되게 4-vector 𝜅𝑚를 형성한다.                                 
𝜅0 = 𝜙,      𝜅𝑚 = 𝛢𝑚,     (𝑚 = 1, 2, 3)
        다음을 정의하라.                                 
𝐹𝜇𝜈 = 𝜅𝜇,𝜈 - 𝜅𝜈,𝜇,                               (23.7)
그러면 (23.1)로부터                                 
𝐸1 = - ∂𝜅1/∂𝑥0 - ∂𝜅0/∂𝑥1 = ∂𝜅1/∂𝑥0 - ∂𝜅0/∂𝑥1 = 𝐹10 = -𝐹10   
  그리고 (23.2)로부터                                 
𝐻1 = ∂𝜅3/∂𝑥2 - ∂𝜅2/∂𝑥3 = - ∂𝜅3/∂𝑥2 - ∂𝜅2/∂𝑥3 = 𝐹23 = 𝐹23.
이리하여 반대칭 tensor 𝐹𝜇𝜈의 여섯 성분들은 𝐸𝐻의 field 양들을 결정한다.
        (23.7) 정의로부터                                 
𝐹𝜇𝜈,𝜎 + 𝐹𝜈𝜎,𝜇 + 𝐹𝜎𝜇,𝜈 = 0.                               (23.8)
이것은 Maxwell 방정식 (23.3)(23.4)를 부여한다. 우리는 다음을 갖는다.                                 
𝐹0𝜈,𝜈 = 𝐹0𝑚,𝑚 = -𝐹𝑚0𝜈,𝑚 = div 𝐸 = 4π𝜌.                        (23.9)
위는 (23.6)로부터이다. 다시                                 
𝐹1𝜈,𝜈 = 𝐹10,0 + 𝐹12,2 + 𝐹13,3 = - ∂𝐸1/∂𝑥0 + ∂𝐻3/∂𝑥2 - ∂𝐻2/∂𝑥3 = 4π𝑗1.                               (23.10)
위는 (23.5)로부터이다. 전하밀도 𝜌와 전류 𝑗𝑚은 다음과 일치하는 한 4-vector를 형성한다.                                 
𝐽0 = 𝜌,      𝐽𝑚 = 𝑗𝑚.
이리하여 (23.9)(23.10)는 다음으로 결합한다.
𝐹𝜇𝜈,𝜈 = 4π𝐽𝜇.                               (23.11) 
이런 방법으로 Maxwell 방정식들은 특수상대성이 요구되는 사차원 형식 속으로 넣어진다.
        일반상대성으로 나아가기 위해서는 우리는 그 방정식들을 공변적 형식으로 써야 한다. (21.5)를 이유로 우리는 (23.7)을 즉시 다음처럼 쓸 수 있다.                                 
𝐹𝜇𝜈 = 𝜅𝜇:𝜈 - 𝜅𝜈:𝜇.
이것은 우리에게 field 양 𝐹𝜇𝜈의 한 공변적 정의를 제공한다. 우리는 더 이상으로 다음을 갖는다.                                 
𝐹𝜇𝜈:𝜎 = 𝐹𝜇𝜈,𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝐹α𝜈 - 𝛤α𝜈𝜎𝐹μα.
𝜇,𝜈 그리고 𝜎의 순환치환(cyclic permutation)을 만들고 그렇게 얻은 세 방정식을 합하면, 우리는 다음을 얻는다.                                 
𝐹𝜇𝜈:𝜎 + 𝐹𝜈𝜎:𝜇 + 𝐹𝜎𝜇:𝜈 = 𝐹𝜇𝜈,𝜎 + 𝐹𝜈𝜎,𝜇 + 𝐹𝜎𝜇,𝜈 = 0.                               (23.12)
위는 (23.8)로부터이다. 그래서 이 Maxwell 방정식은 즉시 공변적 형식으로 넘어간다.
        마지막으로, 우리는 이 (23.11) 방정식을 다루어야만 한다. 이것은 일반상대성에서 유효한 방정식이 아니므로 공변적 방정식으로 대치되어야 하므로                                    
𝐹𝜇𝜈:𝜈 = 4π𝐽𝜇.                              (23.13)
임의의 반대칭의 두 첨자 tensor에도 적용되는 (21.3)으로부터, 우리는 다음을 얻는다.                                  
(𝐹𝜇𝜈√),𝜈 = 4π𝐽𝜇√.
이것은 즉시 다음으로 인도한다.                                  
(𝐽𝜇√),𝜇 = (4π)-1(𝐹𝜇𝜈√),𝜇𝜈 = 0.
그래서 우리는 우리에게 전기의 보존 법칙을 제공하는 (21.2)와 유사한 한 방정식을 갖는다. 그 전기의 보존은 공간의 곡률에 의해서 방해받지 않고 정확하게 유효하다.

    [comment] * 근래에는 자기장력 𝐻보다 자속밀도 𝐵를 사용합니다; 참으로 놀랍게 간결하고 엄밀하면서 지극히 아름다운 추론입니다!

24. Modification of the Einstein equations by the

      presence of matter 아인슈타인 장방정식-물질 존재-의 조정
(pp. 43-45) 


물질이 없을 때의 Einstein 방정식은 다음이다.                                 
𝑅𝜇𝜈 = 0.                              (24.1)
그것들은 다음으로 유도된다.                                 
𝑅 = 0;    
또한 여기에서                                 
𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅 = 0.                              (24.2)
만일 우리가 (2.2)와 시작하면, 우리는 다음을 얻어서                                 
𝑅 - 2𝑅 = 0   
그래서 (24.1)로 돌아갈 수 있다. 우리는 빈 공간을 위해서는 (24.1)이나 (24.2)를 상용할 수 있겠다.
         물질이 존재하면 이 방정식들은 조정되어야만 한다. (24.1)이 다음으로 바뀌었다고 가정하자.                                 
𝑅𝜇𝜈 = 𝑋𝜇𝜈.                              (24.3)
그리고 (24.2)는 다음이 됩니다.                                 
𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅 = 𝑌𝜇𝜈.                              (24.4)
여기서 𝑋𝜇𝜈𝑌𝜇𝜈는 물질의 존재를 포함하는 대칭적 2차 tensor들이다.
        우리는 이제 (24.4_가 작업하기 더 편리한 형식이라는 것을 안다. 왜냐하면 우리에게 다음을 말해주는 Bianchi 관계식 (14.3)을 갖기 때문이다.
[𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅]:𝜈 = 0.
여기에서 (24.4)는 다음을 요구한다.                                 
𝑌𝜇𝜈:𝜈 = 0.                              (24.5)
임의의 물질에 의해 생산된 tensor 𝑌𝜇𝜈는 이 조건을 만족시켜야만 한다; 그렇지 많으면 방정식 (24.4)는 일관성이 없을 것이다.
         계수 -8π를 도입하는 것이 편리하고 또한 방정식 (24.4)를 다음으로 다시 쓴다.                                 
𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅 = -8π𝑌𝜇𝜈.                              (24.6)
우리는 이 계수를 갖고 있는 tensor 𝑌𝜇𝜈가 (비중력적) energy와 momentum의 밀도와 flux(線束 선다발)로 해석되는 것을 발견할 것이다.𝑌𝜇0는 밀도이고 또한 𝑌𝜇𝑟는 그 flux이다.
         평평한 공간에서 방정식 (24.5)는 다음이 될 것이고                                 
𝑌𝜇𝜈,𝜈 = 0    
또한 energy와 momentum의 보존을 제공한다. 굽은 공간에서는 energy와 momentum의 보존은 오직 근사일 뿐이다. 그 오류는 그 물질에 작용하고 또한 자체에 약간의 denergy와 momentum을 갖는 중력장에 기인한다.

    [comment] 드디어 본격적이고 보다 난해할 것으로 예상되는 물질이 존재하는 경우의 Einstein 장방정식을 다루기 시작했습니다.

25. The material energy tensor 물질 에너지 텐서 (pp. 45-47) 

우리가 한 점에서 근방의 곳으로 연속적으로 변화하는 속도의 물질의 어떤 분포를 갖고 있다고 가정하라. 만일 𝑍𝜇가 그 물질의 한 요소를 나타낸다면, 우리는, 한 field 함수와 같은 𝑥들의 한 연속 함수가 되는, 속도 vector 𝑣𝜇 = 𝑑𝑍𝜇/𝑑𝑠 를 도입할 수 있다. 그것은 다음의 특성을 갖는다.
𝑔𝜇𝜈𝑣𝜇𝑣𝜈 = 1.                               (25.1)
                                
0 = (𝑔𝜇𝜈𝑣𝜇𝑣𝜈):𝜎 = 𝑔𝜇𝜈(𝑣𝜇𝑣𝜈:𝜎 + 𝑣𝜇:𝜎𝑣𝜈) = 2𝑔𝜇𝜈𝑣𝜇𝑣𝜈:𝜎.
이리하여                                 
𝑣𝜇𝑣𝜈:𝜎 = 0.                               (25.2)
        우리는 𝐽𝜇가 전기의 밀도와 흐름을 결정하는 것과 똑같이 물질의 밀도와 흐름을 벡터장 𝜌𝑣𝜇이 결정하도록 하는 한 스칼라장 𝜌을 도입할 수 있겠다; 말하자면, 𝜌𝑣0 은 그 밀도이고 𝜌𝑣𝑚 은 그 흐름이다. 그 물질의 보존을 위한 조건은                                 
(𝜌𝑣𝜇√),𝜇 = 0
혹은                                 
(𝜌𝑣𝜇):𝜇 = 0.                               (25.3)
        우리가 고려하는 그물질은 한 energy 밀도 𝜌𝑣0𝑣0 와 energy flux 𝜌𝑣0𝑣𝑚 를, 또한 유사한게 momentum 밀도 𝜌𝑣𝑛𝑣0 그리고 momentum flux 𝜌𝑣𝑛𝑣𝑚 를 가질 것이다. 다음으로 놓아라.                                 
𝑇𝜇𝜈 = 𝜌𝑣𝜇𝑣𝜈.                              (25.4)
그러면 𝑇𝜇𝜈 는 energy와 momentum의 밀도와 flux를 제공한다. 𝑇𝜇𝜈는 물질 energy tensor라 불린다. 그것은, 물론, 대칭적이다.
        우린는 𝑇𝜇𝜈를 Einstein 방정식 (24.6)의 우측변에 물리질 항으로 사용할 수 있을까? 이 목적을 위해서 우리는 𝑇𝜇𝜈:𝜈 = 0 가 요구된다. 우리는 정의 (25.4)로부터 다음을 갖는다.                                 
𝑇𝜇𝜈:𝜈 =  (𝜌𝑣𝜇𝑣𝜈):𝜈 = 𝑣𝜇(𝜌𝑣𝜈):𝜈 + 𝜌𝑣𝜇𝑣𝜈:𝜈.
여기 첫번째 항은 질량의 보존을 위한 조건 (25.3)으로부터 사라진다. 만일 그 물질이 측지선을 따라 움직인다면 두번째 항도 사라지는데, 만일 𝑣𝜇가 단지 한 셰계선에서 의미를 갖는 대신에 한 연속적인 field 함수로 정의된다면, 우리는 다음을 갖는다.                                 
𝑑𝑣𝜇/𝑑𝑠 = 𝑣𝜇,𝜈𝑣𝜈.
그래서 (8.3)은 다음이 된다.                                 
(𝑣𝜇,𝜈 + 𝛤μν𝜎𝑣𝜎)𝑣ν = 0    
혹은                                 
𝑣𝜇:𝜈𝑣ν = 0.                               (25.5) 
        우리는 이제 우리가 Einstein 방정식 (24.4) 안에 한 적당한 수인 계수 𝑘로 그 물질 energy tensor를 대치할 수 있는 것을 안다. 우리는 다음을 얻는다.
𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅 = 𝑘𝜌𝑣𝜇𝑣𝜈.                               (25.6) 
        우리는 이제 그 계수 𝑘의 값을 결정할 것이다. 우리는 Newton삭 근사로 건너가서, Section 16의 방법을 따른다. 우리는 먼저 (25.6)을 축약하고, 다음을 얻는 것을 먼저 주목한다.                                 
-𝑅 = 𝑘𝜌.
그래서 (25.6)은 다음으로 쓸 수 있겠다.                                 
𝑅𝜇𝜈 = 𝑘𝜌[𝑣𝜇𝑣𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈].
  (16.4)에 해당하는 weak field 근사로 우리는 다음을 얻는다.                                 
(1/2)𝑔𝜌𝜎(𝑔𝜌𝜎,μν - 𝑔ν𝜎,μ𝜌 - 𝑔μ𝜌,ν𝜎 + 𝑔μν,𝜌𝜎) = 𝑘𝜌[𝑣𝜇𝑣𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈].
우리는 이제 한 정적인 field와 한 물질의 정적인 분포를 취하면, 𝑣0 = 1, 𝑣𝑚 = 0. 이다. 𝜇 = 𝜈 = 0 으로 놓고 이계 양들을 무시하면, 우리는 다음을 발견한다.                                 
-(1/2)𝛻2𝑔00 = (1/2)𝑘𝜌
혹은 (16.6)으로부터                                 
𝛻2𝑉 = -(1/2)𝑘𝜌.
Poisson 방정식과 일치하려면 우리는 𝑘 = -8π 를 가져야만 한다.
     한 벡터장과 함께 하는 한 물질의 분포의 존재를 위한 Einstein 방정식은 이리하여 다음과 같다.                                     
𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅 = -8π𝜌𝑣𝜇𝑣𝜈.                               (25.7)
이리하여 (25.4)로 주어진 𝑇𝜇𝜈는 정확하게 방정식 (24.6)𝑌𝜇𝜈이다.
        (25.3) 질량 보존을 위하 조건은 다음을 제공한다.                                   
𝜌:𝜇𝑣𝜇 + 𝜌𝑣𝜇:𝜇 = 0;
여기에서                                 
𝑑𝜌/𝑑𝑠 = (∂𝜌/∂𝑥𝜇)𝑣𝜇 = -𝜌𝑣𝜇:𝜇.                               (25.8)
이것은 물질의 한 요소의 세계선을 따라서 어떻게 𝜌가 변화하는가를 교정하는 한 조건이다. 그것은 𝜌가 한 요소의 세계선으로부터 한 근방의 요소의 세계선으로 제멋대로 변화하도록 허용한다. 이리하여 우리는 𝜌를, 시공간의 한 관(tube)을 형성하는 세계선의 한 packet을 제외하고는, 사라지도록 할 수 있겠다. 그러한 packet은 한 한정된 크기의 물질의 한 입자를 구성하기도 한다. 그 입자의 바깥에서는 우리는 𝜌 = 0 를 갖으며 또한 Einstein의 빈 공간을 위한 장방정식이 유효하다.
        만일 누가 그 일반적 장방정식 (25.7)을 가정하면, 그것으로부터 다음 두 가지를 추론할 수 있다는 것을 주목해야 한다: (a) 그 질량은 보존되며 또한 (b) 그 질량은 측지선을 따라서 움직인다. 이것을 위해서는 우리는 Bianchi 관계식으로부터 (좌변):𝜈 은 사라지는 것을 주목해야하고, 그래서 그 방정식을 다음을 제공한다.                                 
(𝜌𝑣𝜇𝑣𝜈):𝜈= 0, 
혹은                                 
𝑣𝜇(𝜌𝑣𝜈):𝜈 + 𝜌𝑣𝜇𝑣𝜈:𝜈 = 0.                               (25.9)
이 방정식에 𝑣𝜇를 곱하라. 둘째 항은 (25.2)로부터 영을 주고 우리에게는 (𝜌𝑣𝜈):𝜈 = 0 이 남는데, 그것은 바로 보존 방정식 (25.3)이다. 방정식 (25.9)는 이제 𝑣𝜇𝑣𝜈:𝜈 = 0 으로 축소되는데, 그것은 측지선 방정식이다. 이리하여 한 입자가 한 측지선을 따라 움직인다는 분리된 가정을 할 필요가 없다. 작은 입자와 더불어서는 그 입자 주위의 공간에 대한 Einstein의 빈 공간을 위한 방정식의 적용에 의하여 그 움직임은 한 측지선을 따르는 상태에 있도록 제한된다.

   [comment] 아래첨자 tensor들을 사용하는 'MC Forum 77'  일반상대성(GR) 4: Einstein 장방정식 7-2 내용을 비교-참조하시기 바랍니다.

26. The gravitational action principle 중력의 작용 원리 (pp. 48-50) 


다음의 scalar를 도입하라.                                 
𝐼 = 𝑅√ 𝑑4𝑥 = 0.                                (26.1) 
위 scalar는 어떤 사차원 부피에다가 적분된 것이다. 그 𝑔𝜇𝜈안에 𝑔𝜇𝜈과 그 경계에서 상수인 일계 미분을 유지하는 작은 변분(variations) 𝛿𝑔𝜇𝜈를 만들라. 우리는 임의의 𝛿𝑔𝜇𝜈를 위하여 𝛿𝐼 = 0 로 놓으면 Einstein의 진공 방정식을 제공한다는 것을 발견할 것이다.
         우리는 (14.4)로부터 다음을 갖는다.                                 
𝑅 = 𝑔𝜇𝜈𝑅𝜇𝜈 = 𝑅* - 𝐿,
거기에서                                 
𝑅* = 𝑔𝜇𝜈(𝛤𝜎𝜇𝜎,𝜈 - 𝛤𝜎𝜇𝜈,𝜎)                                (26.2)
그리고                                 
𝐿 = 𝑔𝜇𝜈(𝛤𝜎𝜇𝜈𝛤𝜌𝜎𝜌 - 𝛤𝜌𝜇𝜎𝛤𝜎𝜈𝜌).                                (26.3)
𝐼 𝑔𝜇𝜈의 이계 도함수들을 포함하는데, 이 이계 도함수들이 𝑅* 안에 나타나기 때문이다. 그러나 그것들은 오직 선형적으로만 발생하므로, 그것들은 부분 적분을 통해서 제거될 수 있다. 우리는 다음을 갖는다.                                 
𝑅*√ = (𝑔𝜇𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎√),𝜈 - (𝑔𝜇𝜈𝛤𝜎𝜇𝜈√),𝜎 - (𝑔𝜇𝜈√),𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎 + (𝑔𝜇𝜈√),𝜎𝛤𝜎𝜇𝜈.                                (26.4)
첫번째 두 항들은 완전한 미분들이므로, 그것들은 𝐼에 아무것도 기여할 것이 없다.* 우리는 그러므로 (26.4)의 마지막 두 항들만을 유지할 필요가 있다. (22.5)(22.4)의 도움으로 그것들은 다음이 된다.                                  
𝑔𝜈𝛽𝛤𝜇𝛽𝜈𝛤𝜎𝜇𝜎√ + (-2𝑔𝜈𝛽𝛤𝜇𝛽𝜎 + 𝑔𝜇𝜈𝛤𝛽𝜎𝛽)𝛤𝜎𝜇𝜈√.
이것은 (26.3)으로부터 바로 2𝐿√이다. 그래서 (26.1)은 다음이 된다.                                  
𝐼 = 𝐿√ 𝑑4𝑥, 
위는 오직 그 𝑔𝜇𝜈와 그들의 일계 도함수만을 포함한다. 그것은 이 첫째 도함수안에서 2차의 동차(homogeneous)이다.
         𝓛 = 𝐿√ 이라고 놓아라. 우리는 이것을 그것을 (나중에 결정될 한 적당한 숫자의 계수와 더불어서) 중력장을 위한 그 작용 밀도로 취한다. 그것은 한 scalar 밀도는 아니다. 그러나 그것은 한 scalar 밀도인 𝑅√보다는 더 편리한데, 왜냐하면 그것이 𝑔𝜇𝜈의 이계 도함수를 갖지 않기 때문이다.
         동역학의 보통의 idea들에 따르면, 작용이란 그 Lagrangian의 시간 적분이다. 우리는 다음을 갖는다.                                   
𝐼 =  𝓛 𝑑4𝑥 = 𝑑0𝑥  𝓛 𝑑1𝑥 𝑑2𝑥 𝑑3𝑥
그래서 그 Lagrangian은  명백하게                                  
𝓛 𝑑1𝑥 𝑑2𝑥 𝑑3𝑥.
이렇게 𝓛은 (삼차원에서는) Lagrangian 밀도로 이와 함께 (사차원에서는) 작용 밀도로 간주될 수 있겠다. 우리는 𝑔𝜇𝜈를 동적 좌표로서 그리고 그 시간 도함수를 그 속도로 간주할 수 있겠다. 우리는 그러면 그 Lagrangian을 속도 안의 이차적(비동치적 nonhomogeneous)이라는 것을 아는데, 그것은 보통의 동력학에서는 일반적으로 그러하다.
         우리는 이제 𝓛를 바꾸어야만 한다. 우리는, (20.6)을 사용해서, 다음을 갖는다.            
𝛿(𝛤𝛼𝜇𝜈 𝛤𝛽𝛼𝛽𝑔𝜇𝜈√) = 𝛤𝛼𝜇𝜈 𝛿(𝛤𝛽𝛼𝛽𝑔𝜇𝜈√) + 𝛤𝛽𝛼𝛽𝑔𝜇𝜈√ 𝛿𝛤𝛼𝜇𝜈 
= 𝛤𝛼𝜇𝜈 𝛿(𝑔𝜇𝜈,𝛼) + 𝛤𝛽𝛼𝛽 𝛿(𝛤𝛼𝜇𝜈𝑔𝜇𝜈√) - 𝛤𝛽𝛼𝛽 𝛤𝛼𝜇𝜈 𝛿(𝑔𝜇𝜈√)    
= 𝛤𝛼𝜇𝜈 𝛿(𝑔𝜇𝜈,𝛼) - 𝛤𝛽𝛼𝛽 𝛿(𝑔𝜇𝜈√),𝜈 - 𝛤𝛽𝛼𝛽 𝛤𝛼𝜇𝜈 𝛿(𝑔𝜇𝜈√).                                (26.5)
위는 (22.5)의 도움을 받는다. 다시                                  
𝛿(𝛤𝛽𝜇𝛼 𝛤𝛼𝜈𝛽𝑔𝜇𝜈√) = 2(𝛿𝛤𝛽𝜇𝛼)𝛤𝛼𝜈𝛽𝑔𝜇𝜈√ + 𝛤𝛽𝜇𝛼 𝛤𝛼𝜈𝛽 𝛿(𝑔𝜇𝜈√) 
= 2𝛿(𝛤𝛽𝜇𝛼)𝑔𝜇𝜈√)𝛤𝛼𝜈𝛽 - 𝛤𝛽𝜇𝛼 𝛤𝛼𝜈𝛽 𝛿(𝑔𝜇𝜈√)     
= -𝛿(𝑔𝜈𝛽,𝛼√)𝛤𝛼𝜈𝛽 - 𝛤𝛽𝜇𝛼 𝛤𝛼𝜈𝛽 𝛿(𝑔𝜇𝜈√).                                (26.6)
위는 (22.3)의 도움을 받는다. (26.5)로부터 (26.6)을 빼면 , 우리는 다음을 얻는다.                                 
𝛿𝓛 = 𝛤𝛼𝜇𝜈 𝛿(𝑔𝜇𝜈√),𝛼 - 𝛤𝛽𝛼𝛽 𝛿(𝑔𝛼𝜈√),𝜈 + (𝛤𝛽𝜇𝛼 𝛤𝛼𝜈𝛽 - 𝛤𝛽𝛼𝛽 𝛤𝛼𝜇𝜈) 𝛿(𝑔𝜇𝜈√).                                (26.7)
여기의 첫번째 두 항은 한 완전한 미분 형식의 차이이다. *                                  
-𝛤𝛼𝜇𝜈,𝛼 𝛿(𝑔𝜇𝜈√) + 𝛤𝛽𝛼𝛽,𝜈 𝛿(𝑔𝛼𝜈√).    
그래서 우리는 다음을 얻는다.                                 
𝛿𝐼 = 𝛿 𝓛 𝑑4𝑥 = 𝑅𝜇𝜈 𝛿(𝑔𝜇𝜈√) 𝑑4𝑥,                                (26.8)
위는 (14.4)에 의해 주어진 𝑅𝜇𝜈와 함께 한다. 임의의 𝛿𝑔𝜇𝜈와 더불어 양 𝛿(𝑔𝜇𝜈√)도 역시 독립적이고 또한 임의적이어서, (26.8)이 사라지는 조건은 (24.1) 형식안의 Einstein의 법칙으로 유도된다.
         우리는 (7.9)와 같은 방법으로, 다음을 추론할 수 있다.                                   
𝛿𝑔𝜇𝜈 = -𝑔𝜇𝛼𝑔𝜈𝛽 𝛿𝑔𝛼𝛽.                                (26.9)
또한, 우리는 (20.5)에 부합하도록 다음을 추론한다.                                 
𝛿√ = (1/2)√𝑔𝛼𝛽 𝛿𝑔𝛼𝛽.                                (26.10)
이리하여                                  
𝛿(𝑔𝜇𝜈√) = -[𝑔𝜇𝛼𝑔𝜈𝛽 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑔𝛼𝛽]√ 𝛿𝑔𝛼𝛽.
그래서 우리는 (26.8)을, 대안적으로, 다음으로 쓸 수 있다.                                  
𝛿𝐼 = - 𝑅𝜇𝜈[𝑔𝜇𝛼𝑔𝜈𝛽 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑔𝛼𝛽]√ 𝛿𝑔𝛼𝛽 𝑑4𝑥
                                 =  - [𝑅𝛼𝛽 - (1/2)𝑔𝛼𝛽𝑅]√ 𝛿𝑔𝛼𝛽 𝑑4𝑥.                                (26.11)
(26.11)이 사라지는 필요조건은 형식 (24.2)으로 Einstein의 법칙을 제공한다.

    [comment] 작용 원리는 최소 작용의 원리 또는 Hamilton의 변분 원리라고도 하며, 고전역학에서는 운동 energy에서 potential을 뺀 Lagrangian을 시간에 따라 적분한 것이 작용(action)입니다; * 완전한 미분(perfect differntial)이란 합산을 하면 상수가 되는 식의 미분-영이 됨-인데 자주 사용됩니다.

27. The action for a continuous distribution of matter 물질의 연속적 분포를 위한 작용 (pp. 50-54) 

우리는 Section 25에서 한 것처럼, 한 점에서 근방의 점으로 계속적으로 변화하는 속도를 갖는 물질의 한 연속적인 분포를 고려할 것이다. 우리는 다음 형식으로 중력장과 상호 작용하는 이 물질을 위한 하나의 작용 원리를 세울 것이다.                                     
𝛿(𝐼𝑔 + 𝐼𝑚) = 0.                               (27.1)
여기에서, 작용의 중력적 부분인, 𝐼𝑔는 어떤 숫자의 계수인 𝜅와 함께하는 앞 section의 그 𝐼이며, 그 작용의 물질 부분인 𝐼𝑚은 이제 결정될 것이다. 그 조건 (27.1)은 물질의 존재에서의 중력장을 위한 Einstein의 방정식 (25.7)과 그 물질을 위한 운동의 측지선 방정식으로 유도되어야만 한다.
             우리는 그것이 𝐼𝑚에 어떻게 영향을 주는 가를 알기 위해서 물질의 한 요소의 위치에다 임의의 변분(variations)을 만들 필요가 생길 것이다.만일 우리가, 그 계량 (metric) 𝑔𝜇𝛼에 대한 어떤 참고도 없이, 순전히 운동학적으로 그 변분을 고려한다면, 그것은 논의를 더욱 분명하게 만든다. 그러면 공변과 반변 vector들 간에 한 실제 구별이 있어서, 우리는 이것에서 다른 것으로 변환할 수 없다. 한 속도는 한 반변벡터 𝑢𝜇의 성분들의 비로써 기술되고, 또한 그것은 그 계량을 불러들이지 않고는 정규화될(normalized) 수 없다.
             물질의 한 연속적인 흐름과 더불어서 각점에서 우리는 한 속도 vector 𝑢𝜇(한 미지의 곱의 계수와 더불어)를 갖는다. 우리는 𝑢𝜇의 방향으로 있으면서 그 공식들에 따라서 그 흐름의 양과 그 속도 두 가지를 결정하는, 한 반변벡터 밀도 𝑝𝜇를 설정할 수 있어서:                                 
 𝑝0 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3
이것는 어떤 시간에서 부피 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3의 요소 내부의 물질의 양이고 또한                                 
 𝑝1 𝑑𝑥0 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3
이것은 어떤 시간 간격 𝑑𝑥0 동안에 표면 요소 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3를 통해서 흐르는 그 양이다. 우리는 그 물질이 보존된다고 가정할 것이고, 그래서                                 
𝑝𝜇,𝜇 = 0.                              (27.2)
       물질의 각 요소가 작은 𝑏𝜇와 더불어 𝑧𝜇에서 𝑧𝜇 + 𝑏𝜇로 이동되었다고 가정하자. 우리는 주어진 한 점 𝑥에서 𝑝𝜇 내의 그 결과적인 변화를 결정하여야만 한다.
               먼저 𝑏0 = 0 인 경우를 취하라. 어떤 한 삼차원 부피 𝑉 내의 물질의 양의 변화는 음(minus)의 𝑉의 경계를 통해 이동된 양이어서:                                 
 𝛿 𝑉 𝑝0 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 = - 𝑝0𝑏𝑟 𝑑𝑆𝑟,
(𝑟 = 1, 2, 3), 여기서 𝑑𝑆𝑟𝑉의 그 경계 표면의 한 요소를 나타낸다, 우리는 Gauss의 정리에 의하여 우측변을 부피 적분으로 변환할 수 있으며 또한 우리는 다음을 발견한다.                                 
𝛿𝑝0 = -(𝑝0𝑏𝑟),𝑟.                               (27.3)
          우리는 이 결과를 𝑏0 ≠ 0 인 경우에까지 일반화하여야만 한다. 우리는 만일 𝑏𝜇𝑝𝜇에 비례한다면, 물질의 각 요소는 그 세계선(world line)을 따라서 이동되며 또한 𝑝𝜇에는 변화가 없다는 조건을 이용한다. (27.3)의 일반화는 명백하게                                  
𝛿𝑝0 = -(𝑝𝑟𝑏0 - 𝑝0𝑏𝑟),𝑟
왜냐하면 𝑏0 = 0 일 때 (27.3)과 일치하며 또한 𝑏𝜇가  𝑝𝜇와 비볘할 때  𝛿𝑝0 = 0를  주기 때문이다. 다른 𝑝𝜇의 성분들을 위한 해당하는 공식이 있어서, 일반적인 결과는 다음과 같다.                                 
𝛿𝑝𝜇 = -(𝑝𝜈𝑏𝜇 - 𝑝𝜇𝑏𝜈),𝜈.                               (27.4)
          물질의 한 영속적인 흐름을 기술하기 위하여 그 양들 𝑝𝜇은 작용 함수에 사용될 기본 변수이다. 그것들은 공식 (27.4)에 따라서 변하여야만 하고, 또한 그러면, 적당한 부분 적분 후에, 우리는 각 𝑏𝑟의 계수를 영과 같게 놓아야만 한다. 이것은 우리에게 그 물질을 위한 운동의 방정식을 제공할 것이다.
          질량 𝑚의 격리된 한 입자를 위한 작용은                                 
-𝑚 𝑑𝑠.                               (27.5)
우리는 특수상대성의 경우를 취함으로써 계수 -𝑚을 위한 필요성을 안다. 그것을 위해서 그 Lagrangian이 (27.5)의 시간 도함수일 수 있겠으니, 즉,                                   
 𝐿 = -𝑚(𝑑𝑠/𝑑𝑥0) = -𝑚[1 - (𝑑𝑥𝑟/𝑑𝑥0) (𝑑𝑥𝑟/𝑑𝑥0)]1/2,
위는 𝑟 = 1, 2, 3 으로 합계된다. 이것은 운동량을 위해 다음을 제공한다.                                    
∂𝐿/∂(𝑑𝑥𝑟/𝑑𝑥0) = -𝑚(𝑑𝑠/𝑑𝑥0)[1 - (𝑑𝑥𝑛/𝑑𝑥0) (𝑑𝑥𝑛/𝑑𝑥0)]-1/2 = 𝑚(𝑑𝑥𝑟/𝑑𝑠), 
위는 그렇게 되어야 마땅하기 때문이다.
          우리는 𝑚𝑝0 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3으로 치환하고 적분함으로써 (27.5)로부터 물질의 한 연속적인 분배를 위한 작용을 얻으며; 이리하여
𝐼𝑚 = - 𝑝0 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 𝑑𝑠.                               (27.6)
    우리는 더욱 이해할 수 있는 형식으로 이것을 구하려면 계량을 사용하고 또한 다음으로 놓는다.                                   
𝑝𝜇 = 𝜌𝜐𝜇√.                               (27.7)
위에서 는 그 밀도를 결정하는 한 scalar이고 또한 𝜐𝜇는 길이가 1이 되게 정규화된 앞의 vector 𝑢𝜇이다. 우리는 다음을 얻는다.                                 
𝐼𝑚 = - 𝜌√𝜐0 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑥3 𝑑𝑠 = - 𝜌√ 𝑑𝑥4.                               (27.8)
왜냐하면 𝜐0 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥0.
          이 작용을 위한 형식은 변분을 적용하기 위하여 적합하지 않으니, 왜냐하면 𝜌, 𝜐𝜇 등이 독립적인 변수들이 아니기 땨문이다. 우리는 𝑝𝜇의 용어로서 그것들을 제거해야만 하며, 그러면 그것들은 (27.4)와 일치하여 변화하게 된다. 우리는 (27.7)로부터 다음을 얻는다.                                   
(𝑝𝜇𝑝𝜇)1/2 = 𝜌√.
그래서 (27.8)은 다음이 된다.                                 
𝐼𝑚 = - (𝑝𝜇𝑝𝜇)1/2 𝑑𝑥4.                               (27.9)
우리는 이 표현을 변화시키기 위해 다음을 사용한다.             
𝛿(𝑝𝜇𝑝𝜇)1/2 = (1/2)(𝑝𝜆𝑝𝜆)-1/2(𝑝𝜇𝑝𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈 + 2𝑝𝜇𝛿𝑝𝜇)
  = (1/2)𝜌𝜐𝜇𝜐𝜈√𝛿𝑔𝜇𝜈 + 𝜐𝜇𝛿𝑝𝜇.    
          작용 원리 (27.1)은 이제, 우리가 거기에 계수 𝜅를 곱한 (26.11)의 도움으로, 다음을 제공한다.                                 
𝛿(𝐼𝑔 + 𝐼𝑚) = - 𝜅{𝑅𝜇𝜈 - (1/2)𝑔𝜇𝜈𝑅} + (1/2)𝜌𝜐𝜇𝜐𝜈]√ 𝛿𝑔𝜇𝜈 𝑑4𝑥 - 𝜐𝜇𝛿𝑝𝜇 𝑑4𝑥.                               (27.10)
𝛿𝑔𝜇𝜈의 계수가 영과 같게 함으로써, 우리는 우리가 𝜅 = (16π)-1 를 취한다면, Einstein의 방정식 (25.7)을 얻는다.  마지막 항은 (27.4)와 더불어서
- 𝜐𝜇(𝑝𝜈𝑏𝜇 - 𝑝𝜇𝑏𝜈),𝜈 𝑑4𝑥  
= - 𝜐𝜇,𝜈(𝑝𝜈𝑏𝜇 - 𝑝𝜇𝑏𝜈) 𝑑4𝑥
= - (𝜐𝜇,𝜈 - 𝜐𝜈,𝜇) 𝑝𝜈𝑏𝜇 𝑑4𝑥
= - (𝜐𝜇:𝜈 - 𝜐𝜈:𝜇) 𝜌𝜐𝜈𝑏𝜇√ 𝑑4𝑥
= - 𝜐𝜇:𝜈𝜌𝜐𝜈𝑏𝜇√ 𝑑4𝑥                     (27.11)
위는 (25.2)로부터 이다. 여기서는 𝑏𝜇의 계수들을 영과 같이 함으로써, 우리는 측지선 방정식 (25.5)를 얻는다.

    [comment] 이제까지의 새로운 전제들이 합쳐져서 최고 난이도를 보입니다!

28. The action for the electromagnetic field 전자기장을 위한 작용 (pp. 54-56)

전자기장의 작용 밀도를 위한 보통의 표현은 다음이다.                                  
(8π)-1(𝐸2 - 𝐻2).   
만일 우리가 Section 23에서 주어진 특수상대성의 사차원의 표기로 그것을 쓴다면, 그것은 다음이 된다.                                 
-(16π)-1𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈,
  이것은 다음의 표현으로 유도된다.                                 
𝐼𝑒𝑚 = -(16π)-1 𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈√ 𝑑4𝑥.                                 (28.1)
위는 일반상대성에서의 불변량의 작용을 위한 것이다. 여기서 우리는 𝐹𝜇𝜈 = 𝜅𝜇,𝜈 - 𝜅𝜈,𝜇 이며, 그래서𝐼𝑒𝑚는 그 𝑔𝜇𝜈와 전자기 potential들의 도함수들의 한 함수라는 것을 고려해야만 한다.
           먼저 그 𝜅𝜎는 상수로 유지하면서, 그 𝑔𝜇𝜈를 변화시켜서, 그 𝐹𝜇𝜈들은 상수이나, 그 𝐹𝜇𝜈들은 아니게 하자. 우리는 다음을 갖는다.
𝛿(𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈√ ) = 𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈 𝛿√ + 𝐹𝜇𝜈𝐹𝛼𝛽√ 𝛿(𝑔𝜇𝛼𝑔𝜈𝛽)   
= (1/2)𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈𝑔𝜌𝜎√ 𝛿𝑔𝜌𝜎 - 2𝐹𝜇𝜈𝐹𝛼𝛽√ 𝑔𝜇𝜌𝑔𝛼𝜎𝑔𝜈𝛽 𝛿𝑔𝜌𝜎  
위는 (26.10)(26.9)의 도움을 받는다. 이리하여                                 
𝛿(𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈√ ) = [(1/2)𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈𝑔𝜌𝜎 - 2𝐹𝜌𝜈𝐹𝜎𝜈]√ 𝛿𝑔𝜌𝜎 = 8π𝐸𝜌𝜎√ 𝛿𝑔𝜌𝜎,                                 (28.2)
여기서 𝐸𝜌𝜎는 다음으로 정의되는 한 대칭 tensor인 전자기장의 stress-energy tensor이다.                                 
4π𝐸𝜌𝜎 = -𝐹𝜌𝜈𝐹𝜎𝜈 + (1/4)𝑔𝜌𝜎𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈.                                 (28.3)
특수상대성에서는 다음인 것을 주목하라.                                 
 4π𝐸00 = 𝐸2 - (1/2)[𝐸2 - 𝐻2] = (1/2)[𝐸2 + 𝐻2],
그래서 𝐸00은 energy 밀도이고, 또한                                  
4π𝐸01 = -𝐹02𝐹12 - 𝐹03𝐹13 = 𝐸2𝐻3 - 𝐸3𝐻2,
그래서 energy의 흐름의 비율을 제공하는 𝐸0𝑛은 Poyting vector이다.
           만일 우리가 고정된 𝑔𝛼𝛽 유지하면서, 그 𝜅𝜇를 변화시킨다면, 우리는 다음을 얻는다.                                  
𝛿(𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈√ ) = 2𝐹𝜇𝜈√ 𝛿𝐹𝜇𝜈 = 4𝐹𝜇𝜈√ 𝛿𝜅𝜇,𝜈 
= 4(𝐹𝜇𝜈√ 𝛿𝜅𝜇),𝜈 - 4(𝐹𝜇𝜈√),𝜈 𝛿𝜅𝜇    
= 4(𝐹𝜇𝜈√ 𝛿𝜅𝜇),𝜈 - 4(𝐹𝜇𝜈:𝜈√ 𝛿𝜅𝜇.                                 (28.4)
위는 (21.3)의 도움과 함께 한다.
           (28.2)(28.4)를 더하고 -16π로 나누어서, 우리는 전체 변분을 위해서 다음을 얻는다. *                                 
𝛿𝐼𝑒𝑚 = [-(1/2).𝐸𝜇𝜈 𝛿𝑔𝜇𝜈 + (4π)-1𝐹𝜇𝜈:𝜈 𝛿𝜅𝜇]√ 𝑑4𝑥.                                 (28.5)

    [comment] 상대론적 전자기학의 학습이 별도로 필요한 듯 합니다; * 앞에서와 같이 완전한 미분 형식은 𝐼 에 기여하는 바가 없으므로 부분 미분의 차이만 남습니다.

  
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