Dirac's General Relativity (2)

'General Theory of Relativity' (P. A. M. Dirac 1975, John Wiley & Sons, New York ∙ London ∙ Sydney ∙ Toronto)


8. Geodesics 측지선(測地線) (pp. 14-15)

좌표가 𝑧μ인 한 점을 취하라 그리고 그것이 한 track을 따라서 움직인다고 상상하라; 우리는 그러면 그것이 어떤 매개변수 𝜏의 한 힘수를 갖도록 한다. 𝑑𝑧μ/𝑑𝜏 = 𝑢μ 라고 놓아라.
    그 track의 각 점마다 한 vector 𝑧μ가 있다. 우리가 그 track을 따라 가는 만큼 그 vector 𝑧μ는 평행이동에 의해 이동한다. 만일 우리에게 그 최초의 점과 그 vector 𝑧μ의 최초의 값이 주어진다면 그 전체의 track이 결정된다. 우리는 바로 그 최초 점을 𝑧μ으로부터 𝑧μ + 𝑢μ𝑑𝜏로 이동시켜야 하며, 그러면 그 vector 𝑢μ가 평행이동에 의해서 이 새로운 점으로 이동하며, 그러면 그 점은 다시 새로운 𝑢μ에 의해서 고쳐진 방향으로 다시 이동하고, 기타 등등이다. 그 track뿐만 아니라 그것에 따르는 매개변수 𝜏도 결정된다. 이런 방식으로 생성된 한 track을 우리는 한 측지선(geodesic)이라고 부른다.
    만일 그 vector 𝑢μ가 처음부터 한 영벡터라면, 그것은 항상 영벡터로 남아있고 그 track은 한 영측지선이라고 불린다. 만일 그 vector 𝑢μ가 처음부터 timelike (즉, 𝑢μ𝑢μ>0)라면, 그것은 항상 timelike이고, 우리는 한 시간류측지선을 갖는다. 만일 처음부터 spacelike(즉, 𝑢μ𝑢μ<0)라면 항상 한 공간류측지선을 갖는다.
    우리는 (7.11)𝐵μ = 𝑢μ𝑑𝑥𝜎 = 𝑑𝑧𝜎를 적용함으로써 한 측지선의 방정식을 얻는다. 이리하여
𝑑𝑢ν/𝑑𝜏 + 𝛤νμ𝜎𝑢μ𝑑𝑧𝜎/𝑑𝜏 = 0         (8.1)
또는
𝑑2𝑧ν/𝑑𝜏2 + 𝛤νμ𝜎(𝑑𝑧μ/𝑑𝜏)(𝑑𝑧𝜎/𝑑𝜏) = 0.         (8.2)
    한 시간류측지선을 위해서 우리는 최초의 𝑢μ에 그 길이가 unity(單位圓)가 되도록 한 인자를 곱할 수 있디. 이것은 단지 𝜏의 축척의 한 변화량만을 요한다. 그 vector 𝑢μ는 이제 길이 unity만을 갖는다. 그것은 바로 속도벡터 𝑣μ = 𝑑𝑧μ/𝑑𝑠 이고, 그 매개변수 𝜏는 고유시간 𝑠가 되었다.
    방정식 (8.1)은 다음 식이 된다.
𝑑𝑣μ/𝑑𝑠 + 𝛤μν𝜎𝑣ν𝑣𝜎 = 0.         (8.3)
    방정식 (8.2)은 다음 식이 된다.
𝑑2𝑧μ/𝑑𝑠2 + 𝛤μν𝜎(𝑑𝑧ν/𝑑𝑠)(𝑑𝑧𝜎/𝑑𝑠) = 0.         (8.4)
    우리는 중력적 이외의 어떤 힘에 의해서도 작용받지 않는 한 입자의 세계선이 시간류측지선이라는 가정을 만든다. 이것은 Newton의 첫번째 운동법칙을 대치 한다. 방정식 (8.4)는 가속도를 수정하며 또한 그 운동 방정식을 제공한다.
    우리는 또한 한 광선의 경로는 한 영측지선이라는 가정을 만든다. 그것은 그 경로를 따르는 어떤 매개변수 𝜏를 참조하는 방정식 (8.2)에 의해 수정된다. 그 고유시간 𝑠𝑑𝑠가 사라지므로 이제는 사용될 수 없다.

9. The staionary property of geodesics 측지선의 정상성(定常性) (pp. 16-17)

영측지선이 아닌 한 측지선은, 만일 양 끝점을 고정으로 유지하는 그 track의 한 작은 variation을 만든다면, 그 끝점 𝑃와 𝑄을 갖는 그 track의 한 section을 따라서 취해진 ∫𝑑𝑠 는 stationary(정상적)하다는 성질을 갖는다.
    그 track의 좌표가 𝑧μ인 각 점이 그 좌표가 𝑧μ + δ𝑧μ로 되도록 이동한다고 우리로 하여금 상상하라. 만일 𝑥μ가 그 track을 따르는 한 요소를 표시한다고 하면,
𝑑𝑠2 = 𝑔μν𝑑𝑥μ𝑑𝑥ν.
따라서
2 𝑑𝑠 δ(𝑑𝑠) = 𝑑𝑥μ𝑑𝑥ν δ𝑔μν + 𝑔μν𝑑𝑥μδ𝑑𝑥ν + 𝑔μν𝑑𝑥νδ𝑑𝑥μ
= 𝑑𝑥μ𝑑𝑥ν 𝑔μν,λδ𝑥λ + 2𝑔μλ𝑑𝑥μδ𝑑𝑥λ.
이제는
δ𝑑𝑥λ = 𝑑δ𝑥λ.
그래서, 𝑑𝑥μ = 𝑣μ𝑑𝑠의 도움으로,
δ(𝑑𝑠) = [(1/2)𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν δ𝑥λ + 𝑔μλ𝑣μ𝑑δ𝑥λ/𝑑𝑠]𝑑𝑠.
그러므로
δ∫𝑑𝑠 = ∫δ(𝑑𝑠) = ∫[(1/2)𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν δ𝑥λ + 𝑔μλ𝑣μ𝑑δ𝑥λ/𝑑𝑠]𝑑𝑠.
부분적분에 의해서, 끝 점 𝑃와 𝑄에서 δ𝑥λ = 0라는 조건을 사용하면, 우리는 다음을 얻는다.
δ∫𝑑𝑠 = ∫[(1/2)𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν - 𝑑/𝑑𝑠 (𝑔μλ𝑣μ)]δ𝑥λ𝑑𝑠. (9.1)
임의의 δ𝑥λ와 소멸하기 위한 이것을 위한 조건은
𝑑/𝑑𝑠 (𝑔μλ𝑣μ) - (1/2)𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν = 0. (9.2)
이제는
𝑑/𝑑𝑠 (𝑔μλ𝑣μ) = 𝑔μλ𝑑𝑣μ/𝑑𝑠 + 𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν
= 𝑔μλ𝑑𝑣μ/𝑑𝑠 + (1/2)(𝑔λμ,ν + 𝑔λν,μ)𝑣μ𝑣ν
그래서 조건 (9.2)는 다음이 된다.
𝑔μλ𝑑𝑣μ/𝑑𝑠 + 𝛤λμν𝑣μ𝑣ν = 0.
이것에 𝑔λ𝜎를 곱하면, 그것은 다음이 된다.
𝑑𝑣𝜎/𝑑𝑠 + 𝛤𝜎μν𝑣μ𝑣ν = 0,
위는 바로 한 측지선을 위한 조건 (8.3)이다.
    이 작업은 한 측지선을 위해서 (9.1)이 사라지고 또한 ∫𝑑𝑠가 stationary하다는 것을 보여준다. 거꾸로, 만일 우리가 ∫𝑑𝑠가 stationary하다고 가정하면, 우리는 그 track은 한 측지선이라고 추론할 수 있다.이렇게 우리는, 영측지선의 경우 외에는, 그 stationary 조건을 한 측지선의 정의로서 사용할 수 있다.

  [comment] 정상성은 불변고정임을 뜻합니다. '미분기하학' 중 'MC Forum 73'의 Theorem I-9와 같은 내용인데, 이 책의 표현이 더욱 아름답습니다!

10. Covariant differentiation 공변미분 (pp. 17-20)

𝑆를 스칼라장이라고 하자. 우리가 Section 3에서 본 것처럼 그 도함수 𝑆는 한 공변벡터이다. 이제는 𝐴μ를 벡터장이라고 하자. 도함수 𝐴μ,ν는 한 tensor인가?
    우리는 𝐴μ이 한 좌표계 변화 아래서 어딴께 변환하는가를 검토해야만 한다. Section의 표기법으로는, 𝐴μ는 다음으로
𝐴μ' = 𝐴ρ𝑥ρ,μ'
방정식 (3.5)과 같이 변환하며, 그러므로
𝐴μ',ν' = (𝐴ρ𝑥ρ,μ'),ν'
= 𝐴ρ,𝜎𝑥𝜎,ν'𝑥ρ,μ' + 𝐴ρ𝑥ρ,μ'ν'.
만일 우리가 한 tensor를 위한 올바른 변환 법칙을 갖아야 란다면 그 마지막 항은 여기에 있어서는 안된다. 그래서 𝐴μν는 nontensor이다.
    우리는, 그렇지만, 한 tensor를 얻기 위해서 그 미분 과정을 조정할 수 있다. 우리가 그 vector 𝐴μ를 그 점 𝑥에다 취하고, 평행이동해서 𝑥 + 𝑑𝑥로 이동시키도록 하라. 그것은 아직도 한 vector이다. 우리는 그것을 𝑥 + 𝑑𝑥에 있는 vector 𝐴μ로부터 빼면 그 차이는 한 vector일 것이다. 그것은, 일계(the first order)로는, 다음 식이다.
𝐴μ(𝑥 + 𝑑𝑥) - [𝐴μ(𝑥) + 𝛤αμν𝐴α𝑑𝑥ν] = (𝐴μ,ν - 𝛤αμν𝐴α)𝑑𝑥ν.
이 양은 어떤 vector 𝑑𝑥ν에서도 한 vector이다; 그러므로, Section 4의 몫정리(Quotient Theorem)에 의해서, 그 계수
𝐴μ,ν - 𝛤αμν𝐴α
는 한 tensor이다. 사람들은 그것이 좌표계의 한 변화 아래서 올바르게 변환한다는 것을 직접적으로 쉽게 증명할 수 있다.     그것은 𝐴μ의 공변도함수라 불리고 다음으로 씌여진다.
𝐴μ:ν = 𝐴μ,ν - 𝛤αμν𝐴α.         (10.1)
쉼표가 바로 한 보통 도함수를 나타내듯이, 한 아래첨자 앞의 기호 colon(:)은 항상 한 공변벡터를 표시할 것이다.
𝐵ν를 두번째 vector라고 하라. 우리는 외적 𝐴μ𝐵ν를 공변도함수를 다음과 같이 정의한다. (𝐴μ𝐵ν):𝜎 = 𝐴μ:𝜎𝐵ν + 𝐴μ𝐵ν:𝜎.
        (10.2) 명백히 그것은 세 첨자를 갖는 한 tensor이다. 그것은 다음의 값을 갖는다.
(𝐴μ𝐵ν):𝜎 = (𝐴μ,ν - 𝛤αμ𝜎𝐴α)𝐵ν + 𝐴μ(𝐵μ,𝜎 - 𝛤αν𝜎𝐵α)
= (𝐴μ𝐵ν),𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝐴α𝐵ν - 𝛤αν𝜎𝐴μ𝐵α.
    𝑇μν를 두 첨자를 가진 한 tensor라고 하자. 그것은 𝐴μ𝐵ν같은 항들의 한 합으로서 표현할 수 있어서, 그 공변도함수는
𝑇μν:𝜎 = 𝑇μν,𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝑇αν - 𝛤αν𝜎𝑇μα.         (10.3)
그 규칙은 임의의 수의 아래첨자를 가진 한 tensor 𝑌μν...의 공변도함수까지 연장될 수 있다:
𝑌μν...:𝜎 = 𝑌μν... ,𝜎 - 각 첨자를 위한 한 𝛤 .         (10.4)
우리는 각 𝛤 항들에서 그 첨자들이 가기에 충분한 첨자 균형을 만들어야만 한다.
    한 scala의 경우는 𝑌에서 그 첨자의 수가 영인 일반 공식 (10.4)에 포함된다.
𝑌:𝜎 = 𝑌,𝜎.         (10.5)
    우리가 (10.3)을 기본텐서 𝑔μν에 적용하도록 하자. 그것은 (7.6)으로부터 다음을 준다.
𝑔μν:𝜎 = 𝑔μν,𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝑔αν - 𝛤αν𝜎𝑔μα
= 𝑔μν,𝜎 - 𝛤νμ𝜎 - 𝛤μν𝜎 = 0.
이와 같이 그 𝑔μν는 공변미분하에서는 상수들로서 계산된다.
    공식 (10.2)는 한 벡터곱을 미분하기위해 사용하는 보통의 규칙이다. 우리는 이 규칙이 두 vector의 스칼라곱을 공변도함수를 위해서도 유지된다고 가정한다. 그래서
(𝐴μ𝐵μ):𝜎 = 𝐴μ:𝜎𝐵μ + 𝐴μ𝐵μ:𝜎.
우리는 (10.5)(10.1)에 따라서 다음을 얻는다.
(𝐴μ𝐵μ):𝜎 = 𝐴μ:𝜎𝐵μ + 𝐴μ(𝐵μ,𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝐵α;
그리고 그러므로
𝐴μ,𝜎𝐵μ = 𝐴μ:𝜎𝐵μ - 𝐴α 𝛤μα𝜎𝐵μ.
아것은 어떠한 𝐵μ를 위해서도 유지되므로, 우리는 다음을 얻는다.
𝐴μ:𝜎 = 𝐴μ:𝜎 + 𝛤μα𝜎𝐴α.         (10.7)
이것이 한 반변벡터를 위한 공변미분의 기본 공식이다. 공변벡터를 위한 기본 공식 (10.1)에서와 같은 Christoffel 기호가 나타나지만, 그러나 이제는 + 기호가 있다. 첨자의 조정은 완전히 균형잡는 필요조건에 의해 결정된다.
    우리는 그 formalism이 어떤 수의 위첨자와 아래 첨자를 갖는 어떤 tensor의 공변도함수를 포함하도록 연장할 수 있다. 한 𝛤 항이 각 첨자마다 나타나는데, 그 첨자가 위첨자면 + 이고 아래첨자이면 - 기호와 함께 한다. 만일 우리가 두 첨자를 축약하면, 해당하는 𝛤 항들은 소거된다.
    한 곱셈의 공변미분을 위한 공식은
(𝑋𝑌):𝜎 = 𝑋:𝜎𝑌 + 𝑋𝑌:𝜎,         (10.8)
어떤 종류의 tensor 양인 𝑋𝑌와 더불어 꽤 일반적으로 유지된다. 그 𝑔μν가 상수로 산정되기 때문에, 우리는 공변미분을 하기 전에 첨자를 위나 아래쪽으로 이동시킬 수 있으며 우리가 그것들을 나중에 이동시켰더라도 그 결과는 동일하다.
    nontensor의 공변미분은 아무런 의미가 없다.
    물리학의 법칙들은 모든 좌표계에서 유효해야만 한다. 그들이 그래서 tensor 방정식들로서 표현될 수 있어야만 한다. 그들이 한 field 양의 도함수를 포함할 때마다, 그것은 한 공변도함수이어야 한다. 물리학의 장방정식들은 모두 공변도함수에 의해서 보통 도함수들이 대치되어 재작성되어야 한다. 예를 들면, 한 scala를 위한 d'Alembert 방정식 □𝑉 = 0은 공변형식으로는 다음이 된다.
𝑔μν𝑉:μ:ν = 0.
이것은, (10.1)(10.5)로부터, 다음을 제공한다.
𝑔μν(𝑉,μν - 𝛤αμν𝑉) = 0.
    사람들이 평평한 공간(중력장을 무시하는 것을 의미하는)에서 작업을 하더라도, 곡선좌표계를 사용하고 있고 그것들이 모든 좌표계에서 통용되기를 바란다면, 반드시 자신의 방정식을 공변도함수의 항목들로 작성해야만 한다.

  [comment] 순번 (10.6)은 원문에 원래 없습니다.

11. The curvature tensor 곡률텐서 (pp. 20-21)

우리는 (10.8)의 곱셈 법칙에서 공변미분이 일반미분과 대단히 유사하다는 것을 안다. 그러나 일반 미분에는 중요한 성질이 있는데, 그것은 우리가 두 미분을 이어서 수행하는데 그 순서와 무관한데, 공변미분에서는, 일반적으로, 그것이 유효하지 않다는 것이다.
    먼저 한 스칼라장 𝑆을 고려해보자. 우리는 공식 (10.1)로부터 다음을 갖는다.
𝑆:μ:ν = 𝑆:μ,ν - 𝛤αμν𝑆
= 𝑆,μν - 𝛤αμν𝑆,         (11.1)
이것은 μν간에 대칭적이라서, 이경우에는 공변미분의 순서는 무관하다.     이제 한 vector 𝐴ν를 가지고 그것에다 두 공변미분들을 적용하자. 공식 (10.3)으로부터 𝑇ν𝜌를 위해 𝐴ν:𝜌로서 우리는 다음을 얻는다.
𝐴ν:𝜌:𝜎 = 𝐴ν:𝜌,𝜎 - 𝛤αν𝜎𝐴α:𝜌 - 𝛤α𝜌𝜎𝐴ν:α
= (𝐴ν,𝜌 - 𝛤αν𝜌𝐴α),𝜎 - 𝛤αν𝜎(𝐴α,𝜌 - 𝛤βα𝜌𝐴β) - 𝛤α𝜌𝜎(𝐴ν,α - 𝛤βνα𝐴β)
= 𝐴ν,𝜌,𝜎 - 𝛤αν𝜌𝐴α,𝜎 - 𝛤αν𝜎𝐴α,𝜌 - 𝛤α𝜌𝜎𝐴ν,α - 𝐴β (𝛤βν𝜌,𝜎 - 𝛤αν𝜎 𝛤βα𝜌 - 𝛤α𝜌𝜎 𝛤βνα)
여기에서 𝜌𝜎를 교환하고 그 앞의 표현에서 뺄셈을 하라. 그 결과는 다음이다.
𝐴ν:𝜌:𝜎 - 𝐴ν:𝜎:𝜌 = 𝐴β𝑅βν𝜌𝜎,         (11.2)
여기에서
𝑅βν𝜌𝜎 = 𝛤βν𝜎,𝜌 - 𝛤βν𝜌,𝜎 + 𝛤αν𝜎𝛤βα𝜌 - 𝛤αν𝜌𝛤βα𝜎.         (11.3)
    (11.2)의 좌변이 한 tensor이다. 따라서 (11.2)의 우변이 한 tensor가 된다. 이것은 어떤 vector 𝐴βㅇ[도 유효하다; 그러므로, Section 4의 몫정리에 의해서 𝑅βν𝜌𝜎도 한 tensor이다. 그것은 Riemann-Christoffel tensor 또는 곡률텐서라고 불린다.
    그것은 명백하게 다음의 성질을 가진다.
𝑅βν𝜌𝜎 = -𝑅βν𝜎𝜌.         (11.4)
또한, 우리는 (11.3)으로 쉽게 다음을 안다.
𝑅βν𝜌𝜎 + 𝑅β𝜌𝜎ν + 𝑅β𝜎ν𝜌 = 0..         (11.5)
    첨자 β를 내리고 그것을 첫번째 첨자로 하자. 우리는 다음을 얻는다.
𝑅μν𝜌𝜎 = 𝑔μβ𝑅βν𝜌𝜎 = 𝑔μβ𝛤βν𝜎,𝜌 + 𝛤αν𝜎𝛤μ𝜎𝜌 - <𝜌𝜎>,
여기에서 그 기호 <𝜌𝜎>𝜌𝜎 가 교환된 앞의 항들을 표시한다. 그래서
𝑅μν𝜌𝜎 = 𝛤μν𝜎,𝜌 - 𝑔μβ,𝜌𝛤βν𝜎 + 𝛤μβ𝜎𝛤βν𝜎 - <𝜌𝜎>
= 𝛤μν𝜎,𝜌 - 𝛤βμ𝜎𝛤βν𝜎 - <𝜌𝜎>,
(7.6)으로부터다. 그래서 (7.5)으로부터
𝑅μν𝜌𝜎 = (1/2)[𝑔μ𝜎,ν𝜌 - 𝑔ν𝜎,μ𝜌 - 𝑔μ𝜌,ν𝜎 + 𝑔ν𝜌,μ𝜎] + 𝛤μβ𝜎𝛤βν𝜎 - 𝛤βμ𝜌𝛤βν𝜎,         (11.6)
어떤 이상의 대칭들이 나타난다; 즉
𝑅μν𝜌𝜎 = -𝑅νμ𝜌𝜎         (11.7)
그리고
𝑅μν𝜌𝜎 = 𝑅𝜌𝜎μν = 𝑅𝜎𝜌νμ.         (11.8)
모든 이런 대칭의 결과는 𝑅μν𝜌𝜎의 256 성분들의 오직 20 만이 독립적이다.

  [comment] '미분기하학' 중 'MC Forum 74'의 관련 내용을 보면, 상호 보완적인 측면이 있어서 좋은 참고가 됩니다.

12. The condition for flat space 평평한 공간의 조건 (p. 20)


( ...  'Modern Cosmology Forum 87' 에서 작성 중 ... )

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