Dirac's General Relativity (2)

'General Theory of Relativity' (P. A. M. Dirac 1975, John Wiley & Sons, New York ∙ London ∙ Sydney ∙ Toronto)


8. Geodesics 측지선 (pp. 14-15)

좌표가 𝑧μ인 한 점을 취하라 그리고 그것이 한 track을 따라서 움직인다고 상상하라; 우리는 그러면 그것이 어떤 매개변수 𝜏의 한 힘수를 갖도록 한다. 𝑑𝑧μ/𝑑𝜏 = 𝑢μ 라고 놓아라.
    그 track의 각 점마다 한 vector 𝑧μ가 있다. 우리가 그 track을 따라 가는 만큼 그 vector 𝑧μ는 평행이동에 의해 이동한다. 만일 우리에게 그 최초의 점과 그 vector 𝑧μ의 최초의 값이 주어진다면 그 전체의 track이 결정된다. 우리는 바로 그 최초 점을 𝑧μ으로부터 𝑧μ + 𝑢μ𝑑𝜏로 이동시켜야 하며, 그러면 그 vector 𝑢μ가 평행이동에 의해서 이 새로운 점으로 이동하며, 그러면 그 점은 다시 새로운 𝑢μ에 의해서 고쳐진 방향으로 다시 이동하고, 기타 등등이다. 그 track뿐만 아니라 그것에 따르는 매개변수 𝜏도 결정된다. 이런 방식으로 생성된 한 track을 우리는 한 측지선(geodesic)이라고 부른다.
    만일 그 vector 𝑢μ가 처음부터 한 영벡터라면, 그것은 항상 영벡터로 남아있고 그 track은 한 영측지선이라고 불린다. 만일 그 vector 𝑢μ가 처음부터 timelike (즉, 𝑢μ𝑢μ>0)라면, 그것은 항상 timelike이고, 우리는 한 시간류측지선을 갖는다. 만일 처음부터 spacelike(즉, 𝑢μ𝑢μ<0)라면 항상 한 공간류측지선을 갖는다.
    우리는 (7.11)𝐵μ = 𝑢μ𝑑𝑥𝜎 = 𝑑𝑧𝜎를 적용함으로써 한 측지선의 방정식을 얻는다. 이리하여
𝑑𝑢ν/𝑑𝜏 + 𝛤νμ𝜎𝑢μ𝑑𝑧𝜎/𝑑𝜏 = 0         (8.1)
또는
𝑑2𝑧ν/𝑑𝜏2 + 𝛤νμ𝜎(𝑑𝑧μ/𝑑𝜏)(𝑑𝑧𝜎/𝑑𝜏) = 0.         (8.2)
    한 시간류측지선을 위해서 우리는 최초의 𝑢μ에 그 길이가 unity(單位圓)가 되도록 한 인자를 곱할 수 있디. 이것은 단지 𝜏의 축척의 한 변화량만을 요한다. 그 vector 𝑢μ는 이제 길이 unity만을 갖는다. 그것은 바로 속도벡터 𝑣μ = 𝑑𝑧μ/𝑑𝑠 이고, 그 매개변수 𝜏는 고유시간 𝑠가 되었다.
    방정식 (8.1)은 다음 식이 된다.
𝑑𝑣μ/𝑑𝑠 + 𝛤μν𝜎𝑣ν𝑣𝜎 = 0.         (8.3)
    방정식 (8.2)은 다음 식이 된다.
𝑑2𝑧μ/𝑑𝑠2 + 𝛤μν𝜎(𝑑𝑧ν/𝑑𝑠)(𝑑𝑧𝜎/𝑑𝑠) = 0.         (8.4)
    우리는 중력적 이외의 어떤 힘에 의해서도 작용받지 않는 한 입자의 세계선이 시간류측지선이라는 가정을 만든다. 이것은 Newton의 첫번째 운동법칙을 대치 한다. 방정식 (8.4)는 가속도를 수정하며 또한 그 운동 방정식을 제공한다.
    우리는 또한 한 광선의 경로는 한 영측지선이라는 가정을 만든다. 그것은 그 경로를 따르는 어떤 매개변수 𝜏를 참조하는 방정식 (8.2)에 의해 수정된다. 그 고유시간 𝑠𝑑𝑠가 사라지므로 이제는 사용될 수 없다.

9. The staionary property of geodesics 측지선의 정상성 (pp. 16-17)

영측지선이 아닌 한 측지선은, 만일 양 끝점을 고정으로 유지하는 그 track의 한 작은 variation을 만든다면, 그 끝점 𝑃와 𝑄을 갖는 그 track의 한 section을 따라서 취해진 ∫𝑑𝑠 는 stationary(정상적)하다는 성질을 갖는다.
    그 track의 좌표가 𝑧μ인 각 점이 그 좌표가 𝑧μ + δ𝑧μ로 되도록 이동한다고 우리로 하여금 상상하라. 만일 𝑥μ가 그 track을 따르는 한 요소를 표시한다고 하면,
𝑑𝑠2 = 𝑔μν𝑑𝑥μ𝑑𝑥ν.
따라서
2 𝑑𝑠 δ(𝑑𝑠) = 𝑑𝑥μ𝑑𝑥ν δ𝑔μν + 𝑔μν𝑑𝑥μδ𝑑𝑥ν + 𝑔μν𝑑𝑥νδ𝑑𝑥μ
= 𝑑𝑥μ𝑑𝑥ν 𝑔μν,λδ𝑥λ + 2𝑔μλ𝑑𝑥μδ𝑑𝑥λ.
이제는
δ𝑑𝑥λ = 𝑑δ𝑥λ.
그래서, 𝑑𝑥μ = 𝑣μ𝑑𝑠의 도움으로,
δ(𝑑𝑠) = [(1/2)𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν δ𝑥λ + 𝑔μλ𝑣μ𝑑δ𝑥λ/𝑑𝑠]𝑑𝑠.
여기에서
δ∫𝑑𝑠 = ∫δ(𝑑𝑠) = ∫[(1/2)𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν δ𝑥λ + 𝑔μλ𝑣μ𝑑δ𝑥λ/𝑑𝑠]𝑑𝑠.
부분적분에 의해서, 끝 점 𝑃와 𝑄에서 δ𝑥λ = 0라는 조건을 사용하면, 우리는 다음을 얻는다.
δ∫𝑑𝑠 = ∫[(1/2)𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν - 𝑑/𝑑𝑠 (𝑔μλ𝑣μ)]δ𝑥λ𝑑𝑠.         (9.1)
임의의 δ𝑥λ와 소멸하기 위한 이것을 위한 조건은
𝑑/𝑑𝑠 (𝑔μλ𝑣μ) - (1/2)𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν = 0.         (9.2)
이제는
𝑑/𝑑𝑠 (𝑔μλ𝑣μ) = 𝑔μλ𝑑𝑣μ/𝑑𝑠 + 𝑔μν,λ𝑣μ𝑣ν
= 𝑔μλ𝑑𝑣μ/𝑑𝑠 + (1/2)(𝑔λμ,ν + 𝑔λν,μ)𝑣μ𝑣ν
그래서 조건 (9.2)는 다음이 된다.
𝑔μλ𝑑𝑣μ/𝑑𝑠 + 𝛤λμν𝑣μ𝑣ν = 0.
이것에 𝑔λ𝜎를 곱하면, 그것은 다음이 된다.
𝑑𝑣𝜎/𝑑𝑠 + 𝛤𝜎μν𝑣μ𝑣ν = 0,
위는 바로 한 측지선을 위한 조건 (8.3)이다.
    이 작업은 한 측지선을 위해서 (9.1)이 사라지고 또한 ∫𝑑𝑠가 stationary하다는 것을 보여준다. 거꾸로, 만일 우리가 ∫𝑑𝑠가 stationary하다고 가정하면, 우리는 그 track은 한 측지선이라고 추론할 수 있다.이렇게 우리는, 영측지선의 경우 외에는, 그 stationary 조건을 한 측지선의 정의로서 사용할 수 있다.

  [comment] 정상성은 불변고정임을 뜻합니다. '미분기하학' 중 'MC Forum 73'의 Theorem I-9와 같은 내용인데, 이 책의 표현이 더욱 아름답습니다!

10. Covariant differentiation 공변미분 (pp. 17-20)

𝑆를 스칼라장이라고 하자. 우리가 Section 3에서 본 것처럼 그 도함수 𝑆는 한 공변벡터이다. 이제는 𝐴μ를 벡터장이라고 하자. 도함수 𝐴μ,ν는 한 tensor인가?
    우리는 𝐴μ이 한 좌표계 변화 아래서 어딴께 변환하는가를 검토해야만 한다. Section의 표기법으로는, 𝐴μ는 다음으로
𝐴μ' = 𝐴ρ𝑥ρ,μ'
방정식 (3.5)과 같이 변환하며, 그러므로
𝐴μ',ν' = (𝐴ρ𝑥ρ,μ'),ν'
= 𝐴ρ,𝜎𝑥𝜎,ν'𝑥ρ,μ' + 𝐴ρ𝑥ρ,μ'ν'.
만일 우리가 한 tensor를 위한 올바른 변환 법칙을 갖아야 란다면 그 마지막 항은 여기에 있어서는 안된다. 그래서 𝐴μν는 nontensor이다.
    우리는, 그렇지만, 한 tensor를 얻기 위해서 그 미분 과정을 조정할 수 있다. 우리가 그 vector 𝐴μ를 그 점 𝑥에다 취하고, 평행이동해서 𝑥 + 𝑑𝑥로 이동시키도록 하라. 그것은 아직도 한 vector이다. 우리는 그것을 𝑥 + 𝑑𝑥에 있는 vector 𝐴μ로부터 빼면 그 차이는 한 vector일 것이다. 그것은, 일계(the first order)로는, 다음 식이다.
𝐴μ(𝑥 + 𝑑𝑥) - [𝐴μ(𝑥) + 𝛤αμν𝐴α𝑑𝑥ν] = (𝐴μ,ν - 𝛤αμν𝐴α)𝑑𝑥ν.
이 양은 어떤 vector 𝑑𝑥ν에서도 한 vector이다; 그러므로, Section 4의 몫정리(Quotient Theorem)에 의해서, 그 계수
𝐴μ,ν - 𝛤αμν𝐴α
는 한 tensor이다. 사람들은 그것이 좌표계의 한 변화 아래서 올바르게 변환한다는 것을 직접적으로 쉽게 증명할 수 있다.     그것은 𝐴μ의 공변도함수라 불리고 다음으로 씌여진다.
𝐴μ:ν = 𝐴μ,ν - 𝛤αμν𝐴α.         (10.1)
쉼표가 바로 한 보통 도함수를 나타내듯이, 한 아래첨자 앞의 기호 colon(:)은 항상 한 공변벡터를 표시할 것이다.
𝐵ν를 두번째 vector라고 하라. 우리는 외적 𝐴μ𝐵ν를 공변도함수를 다음과 같이 정의한다. (𝐴μ𝐵ν):𝜎 = 𝐴μ:𝜎𝐵ν + 𝐴μ𝐵ν:𝜎.
        (10.2) 명백히 그것은 세 첨자를 갖는 한 tensor이다. 그것은 다음의 값을 갖는다.
(𝐴μ𝐵ν):𝜎 = (𝐴μ,ν - 𝛤αμ𝜎𝐴α)𝐵ν + 𝐴μ(𝐵μ,𝜎 - 𝛤αν𝜎𝐵α)
= (𝐴μ𝐵ν),𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝐴α𝐵ν - 𝛤αν𝜎𝐴μ𝐵α.
    𝑇μν를 두 첨자를 가진 한 tensor라고 하자. 그것은 𝐴μ𝐵ν같은 항들의 한 합으로서 표현할 수 있어서, 그 공변도함수는
𝑇μν:𝜎 = 𝑇μν,𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝑇αν - 𝛤αν𝜎𝑇μα.         (10.3)
그 규칙은 임의의 수의 아래첨자를 가진 한 tensor 𝑌μν...의 공변도함수까지 연장될 수 있다:
𝑌μν...:𝜎 = 𝑌μν... ,𝜎 - 각 첨자를 위한 한 𝛤 .         (10.4)
우리는 각 𝛤 항들에서 그 첨자들이 가기에 충분한 첨자 균형을 만들어야만 한다.
    한 scala의 경우는 𝑌에서 그 첨자의 수가 영인 일반 공식 (10.4)에 포함된다.
𝑌:𝜎 = 𝑌,𝜎.         (10.5)
    우리가 (10.3)을 기본텐서 𝑔μν에 적용하도록 하자. 그것은 (7.6)으로부터 다음을 부여한다.
𝑔μν:𝜎 = 𝑔μν,𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝑔αν - 𝛤αν𝜎𝑔μα
= 𝑔μν,𝜎 - 𝛤νμ𝜎 - 𝛤μν𝜎 = 0.
이와 같이 그 𝑔μν는 공변미분하에서는 상수들로서 계산된다.
    공식 (10.2)는 한 벡터곱을 미분하기위해 사용하는 보통의 규칙이다. 우리는 이 규칙이 두 vector의 스칼라곱을 공변도함수를 위해서도 유지된다고 가정한다. 그래서
(𝐴μ𝐵μ):𝜎 = 𝐴μ:𝜎𝐵μ + 𝐴μ𝐵μ:𝜎.
우리는 (10.5)(10.1)에 따라서 다음을 얻는다.
(𝐴μ𝐵μ):𝜎 = 𝐴μ:𝜎𝐵μ + 𝐴μ(𝐵μ,𝜎 - 𝛤αμ𝜎𝐵α;
그리고 여기에서
𝐴μ,𝜎𝐵μ = 𝐴μ:𝜎𝐵μ - 𝐴α 𝛤μα𝜎𝐵μ.
아것은 어떠한 𝐵μ를 위해서도 유지되므로, 우리는 다음을 얻는다.
𝐴μ:𝜎 = 𝐴μ:𝜎 + 𝛤μα𝜎𝐴α.         (10.7)
이것이 한 반변벡터를 위한 공변미분의 기본 공식이다. 공변벡터를 위한 기본 공식 (10.1)에서와 같은 Christoffel 기호가 나타나지만, 그러나 이제는 + 기호가 있다. 첨자의 조정은 완전히 균형잡는 필요조건에 의해 결정된다.
    우리는 그 formalism이 어떤 수의 위첨자와 아래 첨자를 갖는 어떤 tensor의 공변도함수를 포함하도록 연장할 수 있다. 한 𝛤 항이 각 첨자마다 나타나는데, 그 첨자가 위첨자면 + 이고 아래첨자이면 - 기호와 함께 한다. 만일 우리가 두 첨자를 축약하면, 해당하는 𝛤 항들은 소거된다.
    한 곱셈의 공변미분을 위한 공식은
(𝑋𝑌):𝜎 = 𝑋:𝜎𝑌 + 𝑋𝑌:𝜎,         (10.8)
어떤 종류의 tensor 양인 𝑋𝑌와 더불어 꽤 일반적으로 유지된다. 그 𝑔μν가 상수로 산정되기 때문에, 우리는 공변미분을 하기 전에 첨자를 위나 아래쪽으로 이동시킬 수 있으며 우리가 그것들을 나중에 이동시켰더라도 그 결과는 동일하다.
    nontensor의 공변미분은 아무런 의미가 없다.
    물리학의 법칙들은 모든 좌표계에서 유효해야만 한다. 그들이 그래서 tensor 방정식들로서 표현될 수 있어야만 한다. 그들이 한 field 양의 도함수를 포함할 때마다, 그것은 한 공변도함수이어야 한다. 물리학의 장방정식들은 모두 공변도함수에 의해서 보통 도함수들이 대치되어 재작성되어야 한다. 예를 들면, 한 scala를 위한 d'Alembert 방정식 □𝑉 = 0은 공변형식으로는 다음이 된다.
𝑔μν𝑉:μ:ν = 0.
이것은, (10.1)(10.5)로부터, 다음을 제공한다.
𝑔μν(𝑉,μν - 𝛤αμν𝑉) = 0.
    사람들이 평평한 공간(중력장을 무시하는 것을 의미하는)에서 작업을 하더라도, 곡선좌표계를 사용하고 있고 그것들이 모든 좌표계에서 통용되기를 바란다면, 반드시 자신의 방정식을 공변도함수의 항목들로 작성해야만 한다.

  [comment] d'Alembert 방정식은 수직 구속력은 일어나는 운동에 일을 해주지 않는다는 고전역학 원리의 기술입니다; (10.6)은 원문에 원래 없습니다.

11. The curvature tensor 곡률텐서 (pp. 20-21)

우리는 (10.8)의 곱셈 법칙에서 공변미분이 일반미분과 대단히 유사하다는 것을 안다. 그러나 일반 미분에는 중요한 성질이 있는데, 그것은 우리가 두 미분을 이어서 수행하는데 그 순서와 무관한데, 공변미분에서는, 일반적으로, 그것이 유효하지 않다는 것이다.
    먼저 한 스칼라장 𝑆을 고려해보자. 우리는 공식 (10.1)로부터 다음을 갖는다.
𝑆:μ:ν = 𝑆:μ,ν - 𝛤αμν𝑆
= 𝑆,μν - 𝛤αμν𝑆,         (11.1)
이것은 μν간에 대칭적이라서, 이경우에는 공변미분의 순서는 무관하다.     이제 한 vector 𝐴ν를 가지고 그것에다 두 공변미분들을 적용하자. 공식 (10.3)으로부터 𝑇ν𝜌를 위해 𝐴ν:𝜌로서 우리는 다음을 얻는다.
𝐴ν:𝜌:𝜎 = 𝐴ν:𝜌,𝜎 - 𝛤αν𝜎𝐴α:𝜌 - 𝛤α𝜌𝜎𝐴ν:α
= (𝐴ν,𝜌 - 𝛤αν𝜌𝐴α),𝜎 - 𝛤αν𝜎(𝐴α,𝜌 - 𝛤βα𝜌𝐴β) - 𝛤α𝜌𝜎(𝐴ν,α - 𝛤βνα𝐴β)
= 𝐴ν,𝜌,𝜎 - 𝛤αν𝜌𝐴α,𝜎 - 𝛤αν𝜎𝐴α,𝜌 - 𝛤α𝜌𝜎𝐴ν,α - 𝐴β (𝛤βν𝜌,𝜎 - 𝛤αν𝜎 𝛤βα𝜌 - 𝛤α𝜌𝜎 𝛤βνα)
여기에서 𝜌𝜎를 교환하고 그 앞의 표현에서 뺄셈을 하라. 그 결과는 다음이다.
𝐴ν:𝜌:𝜎 - 𝐴ν:𝜎:𝜌 = 𝐴β𝑅βν𝜌𝜎,         (11.2)
여기에서
𝑅βν𝜌𝜎 = 𝛤βν𝜎,𝜌 - 𝛤βν𝜌,𝜎 + 𝛤αν𝜎𝛤βα𝜌 - 𝛤αν𝜌𝛤βα𝜎.         (11.3)
    (11.2)의 좌변이 한 tensor이다. 따라서 (11.2)의 우변이 한 tensor가 된다. 이것은 어떤 vector 𝐴βㅇ[도 유효하다; 그러므로, Section 4의 몫정리에 의해서 𝑅βν𝜌𝜎도 한 tensor이다. 그것은 Riemann-Christoffel tensor 또는 곡률텐서라고 불린다.
    그것은 명백하게 다음의 성질을 가진다.
𝑅βν𝜌𝜎 = -𝑅βν𝜎𝜌.         (11.4)
또한, 우리는 (11.3)으로 쉽게 다음을 안다.
𝑅βν𝜌𝜎 + 𝑅β𝜌𝜎ν + 𝑅β𝜎ν𝜌 = 0..         (11.5)
    첨자 β를 내리고 그것을 첫번째 첨자로 하자. 우리는 다음을 얻는다.
𝑅μν𝜌𝜎 = 𝑔μβ𝑅βν𝜌𝜎 = 𝑔μβ𝛤βν𝜎,𝜌 + 𝛤αν𝜎𝛤μ𝜎𝜌 - <𝜌𝜎>,
여기에서 그 기호 <𝜌𝜎>𝜌𝜎 가 교환된 앞의 항들을 표시한다. 그래서
𝑅μν𝜌𝜎 = 𝛤μν𝜎,𝜌 - 𝑔μβ,𝜌𝛤βν𝜎 + 𝛤μβ𝜎𝛤βν𝜎 - <𝜌𝜎>
= 𝛤μν𝜎,𝜌 - 𝛤βμ𝜎𝛤βν𝜎 - <𝜌𝜎>,
(7.6)으로부터다. 그래서 (7.5)으로부터
𝑅μν𝜌𝜎 = (1/2)[𝑔μ𝜎,ν𝜌 - 𝑔ν𝜎,μ𝜌 - 𝑔μ𝜌,ν𝜎 + 𝑔ν𝜌,μ𝜎] + 𝛤μβ𝜎𝛤βν𝜎 - 𝛤βμ𝜌𝛤βν𝜎,         (11.6)
어떤 이상의 대칭들이 나타난다; 즉
𝑅μν𝜌𝜎 = -𝑅νμ𝜌𝜎         (11.7)
그리고
𝑅μν𝜌𝜎 = 𝑅𝜌𝜎μν = 𝑅𝜎𝜌νμ.         (11.8)
모든 이런 대칭의 결과는 𝑅μν𝜌𝜎의 256 성분들의 오직 20 만이 독립적이다.

  [comment] '미분기하학' 중 'MC Forum 74'의 관련 내용을 보면, 상호 보완적인 측면이 있어서 좋은 참고가 됩니다.

12. The condition for flat space 평평한 공간의 조건 (p. 22)

만일 공간이 평평하면, 우리는 직선적인이므로 𝑔μν가 상수인 한 좌표계를 선택할 수 있다. 그 tensor 𝑅μν𝜌𝜎는 사라진다.
    역으로, 만일 𝑅μν𝜌𝜎이 사라지면, 사람들은 그 공간이 평평하다는 것을 증명할 수 있다. 한 점 𝑥에 고정된 vector 𝐴μ를 가지고 평행이동에 의해 점 𝑥 + 𝑑𝑥로 옮기자. 그 다음에 그것을 평행이동에 의해 점 𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝛿𝑥로 옮겨라. 만일 𝑅μν𝜌𝜎가 사라지면, 우리가 그 점을 처음에는 𝑥 + 𝛿𝑥로 옮겼다가, 그 다음에 점 𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝛿𝑥로 옮긴 것처럼 그 결과는 같아야만 한다. 이리하여 우리는 한 vector를 한 먼 점으로 옮길 수 있고 또한 우리가 얻은 결과는 그 먼 점으로으로 경로와 무관하다. 그러므로, 만일 우리가 𝑥에의 원래 vector 𝐴μ를 평행이동에 의해 옮긴다면, 우리는 𝐴μ:ν = 0 을 만족하는 한 벡터장을 얻거나, 혹은
𝐴μ,ν = 𝛤𝜎μν𝐴𝜎.         (12.1)
    그러한 한 벡터장은 한 scalar의 기울기(gradient)가 될 수 있을까? (12.1)에서 𝐴μ = 𝑆 이라고 놓자. 우리는 다음을 얻는다.
𝑆,μν = 𝛤𝜎μν𝑆,𝜎.         (12.2)
아래첨자 안에서의 𝛤𝜎μν의 대칭성때문에, 우리는 𝑆,μν와 같은 값으로서 𝑆,νμ를 갖으며 또한 방정식 (12.2)는 적분가능하다. (12.2)를 만족하는 독립적인 네 scalar들을 취하자 그리고 그것들이 새 좌표계의 좌표 𝑥α'이 되도록 하자. 그러면
𝑥α',μν = 𝛤𝜎μν𝑥α',𝜎.
    변환 법칙 (3.7)에 따라서,
𝑔μλ = 𝑔α'β'𝑥α'𝑥β'.
이 방정식을 𝑥ν에 대해서 미분하면, 우리는 (7.6)으로부터 다음을 얻는다.
𝑔μλ,ν - 𝑔α'β',ν𝑥α'𝑥β' = 𝑔α'β'(𝑥α',μν𝑥β' + 𝑥α'𝑥β',λν)
= 𝑔α'β'(𝛤𝜎μν𝑥α',𝜎𝑥β' + 𝑥α'𝛤𝜎λν𝑥β',𝜎)
= 𝑔𝜎λ𝛤𝜎μν + 𝑔μ𝜎𝛤𝜎λν
= 𝛤λμν + 𝛤μλν = 𝑔μλ,ν
그래서
𝑔α'β',ν𝑥α'𝑥β' = 0.
그것은 𝑔α'β',ν = 0 으로 된다. 새 좌표계에 참조하는 기본텐서는 상수이다. 이렇게 우리는 직선좌표계를 참조하는 평평한 공간을 갖는다.

13. The Bianchi relations 비앙키 관계식 (p. 23)

한 tensor의 이계 공변도함수를 다루기 위해서, 먼저 그 tensor가 두 vector 𝐴μ𝐵τ의 외적인 경우를 취하라. 우리는 다음을 갖는다.
(𝐴μ𝐵τ):𝜌:𝜎 = (𝐴μ:𝜌𝐵τ + 𝐴μ𝐵τ:𝜌):𝜎 = 𝐴μ:𝜌:𝜎𝐵τ + 𝐴μ:𝜌𝐵τ:𝜌 + 𝐴μ:𝜎𝐵τ:𝜌 + 𝐴μ𝐵τ:𝜌:𝜎,
이제 𝜌𝜎를 교환하고 뺄셈을 하라. 우리는 (11.2)로부터 다음을 얻는다.
(𝐴μ𝐵τ):𝜌:𝜎 - (𝐴μ𝐵τ):𝜎:𝜌 = 𝐴α𝑅αμ𝜌𝜎𝐵τ + 𝐴μ𝑅ατ𝜌𝜎𝐵α.
한 일반 tensor 𝑇μτ𝐴μ𝐵τ 같은 항들의 합으로서 표현될 수 있으며, 따라서 그것은 다음을 만족시켜야만 한다.
𝑇μτ:𝜌:𝜎 - 𝑇μτ:𝜎:𝜌 = 𝑇ατ𝑅αμ𝜌𝜎 + 𝑇μα𝑅ατ𝜌𝜎.         (13.1)
    이제 𝑇μτ를 한 vector의 공변도함수 𝐴μ:τ로 취하라. 우리는 다음을 갖는다.
𝐴μ:τ:𝜌:𝜎 - 𝐴μ:τ:𝜎:𝜌 = 𝐴α:τ𝑅αμ𝜌𝜎 + 𝐴μ:α𝑅ατ𝜌𝜎.
이 공식 안에서 τ, 𝜌, 𝜎의 순환치환(약어: cyc perm)을 만들고 또한 세 방정식을 합해서 다음을 얻었다. 그 좌변은 아래가 되고,
𝐴μ:𝜌:𝜎:τ - 𝐴μ:𝜎:𝜌:τ + cyc perm = (𝐴α𝑅αμ𝜌𝜎) + cyc perm = 𝐴α:τ𝑅αμ𝜌𝜎 + 𝐴α𝑅αμ𝜌𝜎:τ + cyc perm.         (13.2)
그 우변은 아래가 된다.
𝐴α:τ𝑅αμ𝜌𝜎 + cyc perm,         (13.3)
(11.5)로부터 남아있는 항들이 소거되기 때문이다. (13.2)의 첫째 항은 (13.3)와 소거되어서 우리에게는 다음이 남아있다.
𝐴α𝑅αμ𝜌𝜎:τ + cyc perm = 0.
인자 𝐴α가 이 방정식에서 줄곧 나타나므로 소거될 수 있겠다. 우리에게는 다음이 남는다.
𝑅αμ𝜌𝜎:τ + 𝑅αμ𝜎τ:𝜌 + 𝑅αμτ𝜌:𝜎 = 0.         (13.4)
곡률텐서는 또한 Srction 11의 모든 대칭 관계와 더불어 이 미분방정식을 만족한다. 그들은 Bianchi 관계식이라고 알려져 있다.

   [comment] 원문에는 Bianci라 되어 있으나, 이탈리아 수학자 Luigi Bianchi(1856~1928)의 이름이므로 정정했습니다.

14. The Ricci tensor 리치텐서 (pp. 24-25)

𝑅μν𝜌𝜎안의 두 첨자를 축약하자. 만일 우리가 비대칭인 두개를 취하면, 물론, 우리는 영을 얻는다. 만일 우리가 임의의 다른 두개를 취하면, 대칭성 (11.4), (11.7)(11.8) 때문에, 부호와는 별개인, 같은 결과를 얻는다. 첫번째와 마지막을 가지고 다음으로 놓도록 하자.
𝑅μν𝜌μ = 𝑅ν𝜌.
그것은 Ricci tensor라 불린다. (11.8)𝑔μ𝜎를 곱함으로써, 우리는 다음을 얻는다.
𝑅ν𝜌 = 𝑅𝜌ν.        (14.1)
Ricci tensor는 대칭적이다.
    우리는 또다시 축약하여 다음을 형성할 수 있다고 한다.
𝑔ν𝜌𝑅ν𝜌 = 𝑅νν = 𝑅.
𝑅은 한 scalar이며 또한 스칼라곡률 또는 전체곡률이라고 불린다. 그것은 삼치원에서 한 구의 표면을 양으로 하는 방식으로 정의되며, 사람들이 한 직접 계산에 의해서 검사할 수 있다.     Bianchi 관계식 (13.4)는 다섯 첨자를 포함한다. 두번 축약을 해서 한 nondummy 첨자를 갖는 한 관계식을 얻자. τ = α로 놓고 𝑔μ𝜌를 곱하라. 그 결과는
𝑔μ𝜌(𝑅αμ𝜌𝜎:α + 𝑅αμ𝜎α:𝜌 + 𝑅αμα𝜌:𝜎) = 0
또는
(𝑔μ𝜌𝑅αμ𝜌𝜎) + (𝑔μ𝜌𝑅αμ𝜎α):𝜌 + (𝑔μ𝜌𝑅αμα𝜌):𝜎 = 0.        (14.2)
이제
𝑔μ𝜌𝑅αμ𝜌𝜎 = 𝑔μ𝜌𝑔αβ𝑅βμ𝜌𝜎 = 𝑔μ𝜌𝑔αβ𝑅μβ𝜎𝜌 = 𝑔αβ𝑅β𝜎 = 𝑅α𝜎.
사람들은 대칭적인 𝑅α𝜎 때문에 하나가 다른 것 위에 있는 첨자들로 쓸 수 있다. 방정식 (14.2)는 이제 다음이 된다.
𝑅α𝜎:α + (𝑔μ𝜌𝑅μ𝜎):𝜌 - 𝑅:𝜎 = 0
2𝑅α𝜎:α - 𝑅:𝜎 = 0,
그것은 Ricci tensor를 위한 Bianchi 관계식이다. 만일 우리가 그 첨자 𝜎를 올리면, 우리는 다음을 얻는다.
[𝑅𝜎α - (1/2)𝑔𝜎α𝑅] = 0.       (14.3)
    Ricci tensor를 위한 명시적 표현은, (11.3)으로부터
𝑅μν = 𝛤αμα,ν - 𝛤αμν,α - 𝛤αμν𝛤βαβ + 𝛤αμβ𝛤βν𝜎.        (14.4)
여기의 첫째항은 μν안에서 대칭적으로 나타나지는 않으며, 반면에 다른 세항들은 명백하게 그렇다. 첫번째 항이 실제로 대칭적임을 수립하려면 우리는 약간의 계산이 필요하다.
    determinant 𝑔를 미분하기 위해서 우리는 그 안의 각 요소 𝑔λμ를 미분하고 그 cofactor 𝑔𝑔λμ를 곱하여야 한다. 이리하여
𝑔 = 𝑔𝑔λμ𝑔λμ,ν.         (14.5)
여기에서
𝛤μνμ = 𝑔λμ𝛤λνμ = (1/2)𝑔λμ(𝑔λν,μ + 𝑔λμ,ν - 𝑔μν,λ) = (1/2)𝑔λμ𝑔λμ,ν = (1/2)𝑔-1𝑔 = (1/2)(log 𝑔).         (14.6)
이것은 (14.4)의 첫째항이 대칭적임을 명백하게 만든다.

   [comment] Dirac 특유의 아주 간결하면서도 엄밀한 추론인데, 나중에 다시 Einstein -물질 존재-장방정식에 나옵니다.

go to top