Dirac's General Relativity (1)

'General Theory of Relativity' (P. A. M. Dirac 1975, John Wiley & Sons, New York ∙ London ∙ Sydney ∙ Toronto)



    Paul Dirac(1902~1984)은 영국의 이론물리학자로서 양자역학의 창시자 중 한사람입니다. 그는 수학 학부를 수석 졸업한 후, 일반상대성 이론에 매료되었고 Einstein을 가장 존경하였는데 박사 과정에서 교수의 권유로 양자역학을 연구하게 되었습니다. 그는 1928년 특수상대론적 양자역학인 'Dirac 방정식'을 발표하여 반물질을 예견하였고, 3년 뒤에 반물질인 양전자가 실제로 발견되었습니다. 반물질의 발견은 "20세기 물리학의 한 승리"라고 일컬어지며, 이 공로로 Dirac은 1933년에 Schrödinger와 함께 최연소로 노벨물리학상을 수상했습니다. Einstein도 Dirac의 수학을 존경했다고 하는데, 그는 나중에 '양자역학 강의들' (1964)를 통해 일반상대론적 양자역학이 굽은 표면에서는 불가능하나, 평평한 표면에서는 가능할 것이라고 추론했습니다. 이제 Dirac이 1975년에 교육용으로 저술한 '일반상대성 이론'-1996년 Princeton 대학 재출간-을 소개하고자 합니다.

    그런데 놀랍게도, 그 구성이 35 Sections인데 내용은 69 pages입니다! 아주 과묵했다는 Dirac이 대단히 간결하고 함축적으로 요약하여 기술하는 터에, 아름다운 수학적 엄밀성(rigor)을 갖추었음에도 불구하고, 입문 과정의 물리학도들에게는 꽤 난해하여 선행 학습이 필요한 듯이 보입니다. 저의 판단으로는 이 책은 최소한 제가 앞서 해설한 '텐서 해석 개론'과 '벡터와 텐서'를 이해하는 수준에 한해서 일반상대성의 학습에 도움이 될 수 있다고 여겨집니다. 한편 수학자 Richard Faber의 '미분기하학과 상대성 이론 입문' (1983)의 참고문헌이기도 하므로, 자상한 입문서인 Faber의 책을 학습한 후에, 이를 공고히 하면서 더 넓은 주제로 확장하려는 경우에는 아주 적합하다고 하겠습니다. 그래서 비교적 적은 분량인 이 Dirac의 명저를 학습하면서 짧은 코멘트와 함께 번역-수시 업데이트-함으로써, 그 함축적 의미를 계속 음미하고자 합니다.

1. Special Relativity 특수상대성 (pp. 1-3)

우리는 시공간 물리학을 위해서 4개의 좌표인 시간 𝑡 그리고 세 공간 좌표 𝑥, 𝑦, 𝑧 가 필요하다.
𝑡 = 𝑥0,    𝑥 = 𝑥1,    𝑦 = 𝑥2,    𝑧 = 𝑥3
우리가 그 네 좌표를 위의 식과 같이 함으로써, 그 좌표들은 𝑥μ로 쓸 수 있으며, 그 첨자 μ0, 1, 2, 3 값을 갖는다. 일반상대성 이론 전부에서 첨자들의 "균형 잡기"을 유지할 수 있도록 첨자를 위에다 썼다. 그 균형 잡기의 정확한 의미는 조금 뒤에 분명해 질 것이다.
    원래 고려했던 점과 가까운 점의 좌표를 𝑥μ + d𝑥μ라 하도록 하자. 그 이동을 형성하는 네개 양의 d𝑥μ는 vector의 성분으로 간주할 수 있다. 특수상대성의 법칙은 우리가 좌표들의 비선형 비균질의 변환을 가능하게 한다. 만일 우리가 빛의 속도가 1인 거리와 시간의 단위계를 선택한다면, 이들은 다음 식은 불변량이다라는 그러한 것이다.
(d𝑥0)2 - (d𝑥1)2 - (d𝑥2)2 - (d𝑥3)2         (1.1)
    앞의 d𝑥μ와 같은 방식으로 좌표 변환을 하는 네 양들인 𝐴μ의 모든 집합은 한 반변벡터(contravariant vector)라고 부르는 것을 형성한다. 그 불변량인 다음 식은 그 vector의 길이의 제곱이라고 부를 수 있다.
(𝐴0)2 - (𝐴1)2 - (𝐴2)2 - (𝐴3)2 = (𝐴, 𝐴)        (1.2)
두번째 반변벡터인 𝐵μ와 함께, 우리는 스칼라곱인 불변량의 다음 식을 갖는다.
𝐴0𝐵0 - 𝐴1𝐵1 - 𝐴2𝐵2 - 𝐴3𝐵3 = (𝐴, 𝐵) .        (1.3)
    그러한 불변량을 쓰는 편리한 방법을 얻기 위하여 우리는 아래첨자의 도구를 도입한다. 다음으로 정의하라.
𝐴0 = 𝐴0,  𝐴1 = -𝐴1,  𝐴2 = -𝐴2,  𝐴3 = -𝐴3.         (1.4)
그러면 (1.2)의 좌변은 𝐴μ𝐴μ라고 쓸 수 있으며, 가기서는 μ의 네 값들의 합이 수행되는 것으로 이해된다. 똑같은 표기법으로 우리는 (1.3) 𝐴μ𝐵μ나 또는 다르게 𝐴μ𝐵μ라고 쓸 수 있다.
    (1.4)에 의해서 도입된 네개의 양 𝐴μ도 역시 vector의 성분들로서 간주될 수 있다. 그들의 좌표 변화에 따른 변환 법칙은 𝐴μ와 다른데, 부호가 다른 까닭이며, 그 vector를 한 공변벡터(covariant vector)라고 부른다.
    두 반변벡터 𝐴μ𝐵μ로부터 우리는 16개의 양 𝐴μ𝐵ν를 형성할 수 있다. 첨자 ν는, 이 작업에 나타나는 다른 그리스 첨자들처럼, 네 값 0, 1, 2, 3을 갖는다. 이 열여섯개의 양들은 2차 tensor의 성분을 형성한다. 그것은 가끔 vector 𝐴μ와 𝐵μ의 외적이라고 하며, 이는 내적이라 부르는 스칼라곱 (1.3)과 구별된다.
    tensor 𝐴μ𝐵ν는 그 성분간에 특별한 관계가 있으므로 다소 특별한 tensor이다. 그러나 2차 일반 tensor를 얻기 위해서 이런 방법으로 구성된 몇개의 tensor들을 더할 수 있다; 말하자면,
𝑇μν = 𝐴μ𝐵ν + 𝐴'μ𝐵'ν + 𝐴"μ𝐵"ν +  . . .         (1.5)
그 일반 tensor에 관해서 중요한 것은 좌표 변환에 있어서 그 성분들이 𝐴μ𝐵ν와 같은 방식으로 변환한다는 것이다.
    우리는 𝑇μν에서 (1.5)의 우변에서 각 항에다 낮추는 과정을 통해서 첨자 중의 하나를 내릴 수 있다. 이렇게 우리는 𝑇μν 혹은 𝑇μν를 형성할 수 있다. 우리는 𝑇μν를 얻기 위해 양쪽을 낮출 수 있다.
     𝑇μν에서 우리는 μ = ν라고 놓으면 𝑇μμ를 얻는다. 이것은 μ의 네 값으로 합하여야 한다. 합은 한 항에 두번 발생하는 첨자에 항상 적용된다. 이렇게 𝑇μμ는 scalar이다. 그것은 𝑇μμ와 같다.
    우리는 이 과정을 계속해서 두개 이상의 vector를 함께 곱할 수 있는데, 그들의 첨자가 모두 다르게끔 주의해야 한다. 만일 vector들이 모두 반변벡터이면, 우리는 모든 첨자가 위인 한 tensor를 얻는다. 우리는 어떤 첨자를 내릴 수 있고 그러면 어떤 첨자는 위에 있고 어떤 것은 아래에 있는 일반 tensor를 얻는다.
    우리는 한 아래첨자를 위첨자와 같도록 놓을 수 있다. 우리는 그러면 이 첨자에 대해 모든 값을 합해야 한다. 그 첨자는 한 dummy가 된다. 우리에게는 그러면 원래 것보다 두개가 적게 작용하는 첨자를 갖는 한 tensor가 남겨진다. 이 과정을 축약(contraction)이라고 부른다. 이렇게, 만일 우리가 4차 tensor 𝑇μνρσ로 시작한다면, 축약하는 한 방법으로 ρ = σ로 놓으면, 그것은 2차 tensor 𝑇μνρρ를 주어서, 오직 16개 성분만을 갖는데, 이는 μν의 네 값에서 나온 것들이다.우리는 scalar 다시 축약하여 𝑇μμρρ를 얻을 수도 있겠는데, 거기에는 단 한개의 성분만 있다.
    이 단계에서 첨자의 균형 잡기의 가치를 알 수 있다. 한 방정식에서 모든 유효한 첨자는 그 방정식의 각 항에서 오직 한번만 나타나며, 그리고 항상 위 또는 항상 아래이다. 한 항에서 두번 발생한 첨자는 한 dummy로서, 그 것은 반드시 한번은 위에 그리고 한번은 아래에 나타나야만 한다. 그것은 그 항에서 이미 언급되지 않은 그리스 문자로 대치될 수 있다. 따라서 𝑇μνρρ = 𝑇μναα. 첨자는 한 항에서 두번 이상 나타나면 안된다.

  [comment] 필요시에는 특수상대성 'MC Forum 63' 과 공변벡터와 반변벡터 'MC Forum 84' 의 해설을 참고하시기 바랍니다.

2. Oblique axes 사교축(斜交軸) (pp. 3-5)

일반상대성의 formalism으로 나아가기 전에 직선 사교좌표축을 참조하는 한 중간적 formalism-특수상대성을 고려하는 것이 편리하다.
    만일 우리가 사교좌표축으로 변환을 한다면, (1.1)에서 언급한 각각의 𝑑𝑥μ는 새로운 𝑑𝑥μ의 선형 함수가 되며 그리고 (1.1)의 이차형식은 새로운 𝑑𝑥μ에서 일반적 이차형식이 된다. 우리는 다음과 같이 그것을 쓸 수 있는데,
𝑔μν𝑑𝑥μ𝑑𝑥ν        (2.1)
거기서는 μν 모두에 대해서 합이 된다. 물론 우리는 𝑔μν = 𝑔νμ를 갖는데, 이는 이차 형식 (2.1)에서는 𝑔μν𝑔νμ가 어떤 차이도 보이지 않을 것이기 때문이다. 그래서 열개의 독립적인 계수의 𝑔μν가 있다.
    하나의 일반 반변벡터는 네개의 성분 𝐴μ를 갖는데 그 성분들은 사교축의 어떠한 변환에서도 𝑑𝑥μ와 같이 변환한다. 그래서
𝑔μν𝐴μ𝐴ν
는 불변량이다. 그것은 vector 𝐴μ의 길이의 제곱이다.
    𝐵μ를 두번째의 반변벡터라고 하면; 𝐴μ + λ𝐵μ도 아직 다른 반변벡터이고, 어떤 값의 수인 λ와도 그렇다. 그 길이의 제곱은
𝑔μν(𝐴μ + λ𝐵μ)(𝐴ν + λ𝐵ν) = 𝑔μν𝐴μ𝐴ν + λ(𝑔μν𝐴μ𝐵ν + 𝑔μν𝐴ν𝐵μ) + λ2𝑔μν𝐵μ𝐵ν,
이 식은 모든 λ의 값에 대해서 불변량이어야 한다. 그것은 λ로부터 독립적인 항과 λλ2의 계수들은 개별적으로 불변량이어야 한다. λ의 계수는.
𝑔μν𝐴μ𝐵ν + 𝑔μν𝐴ν𝐵μ = 2𝑔μν𝐴μ𝐵ν,
왜냐하면 우리는 좌변의 둘째 항에서 μν를 교환하고 다음에 𝑔μν = 𝑔νμ를 사용할 수 있다. 이렇게 우리는 𝑔μν𝐴μ𝐵ν가 하나의 불변량이라는 것을 발견한다. 그것은 𝐴μ와 𝐵μ의 스칼라곱이다.
    𝑔𝑔μν의 determinant라고 하자. 그것은 0이 되서는 안되는데; 그렇지 않으면 시공간의 네 축들은 독립적인 방향을 제공하지 못해 좌표축으로 적합하지 않게 된다. 앞의 section의 직교좌표축에서는 𝑔μν의 대각 요소들은 1, -1,-1, -1이고 비대각요소들은 모두가 0이므로, 𝑔 = -1이다. 사교좌표축에서도 𝑔는 음수임에 틀림없는 바, 왜나하면 사교좌표축은 연속적인 과정에 의해 직교좌표축으로부터 얻어지는데, 결과적으로 계속적으로 변화하는 𝑔가 되고, 또한 𝑔는 0 값을 통과할 수 없기 때문이다.
    아래 첨자를 갖고 있는 공변백터 𝐴μ는 다음에 의해서 정의한다.
𝐴μ = 𝑔μν𝐴ν.         (2.2)
그 determinant 𝑔0이 아니므로, 이 방정식들은 𝐴ν를 위해서 𝐴μ로 풀 수 있다. 그 결과는 다음이어야 한다.
𝐴ν = 𝑔μν𝐴μ.         (2.3)
𝑔μν은 해당하는 𝑔μν의 determinant에서 그 determinant로 나눈 𝑔μν의 cofactor(餘因子)와 같다. 그것은 𝑔μν = 𝑔νμ인 식을 따른다.
    (2.2)식의 𝐴ν(2.3)에서 주어진 값으로 치환하도록 하자. 우리는 (2.3)속의 dummy μ를 다른 그리스 문자, 말하자면 ρ로, 같은 항에 세개의 μ를 갖지 않도록 대치하여야만 한다. 우리는 다음을 얻는다.
𝐴μ = 𝑔μν𝑔νρ𝐴ρ.
이 방정식은 모든 네 양들인 𝐴μ를 갖어야 하므로, 우리는 다음을 추론할 수 있다.
𝑔μν𝑔νρ = 𝑔μ𝑔ρ,         (2.4)
거기에서
𝑔μρ = 1 (μ = ρ 면),      𝑔μρ = 0 (μ ≠ ρ 면)         (2.5)
    (2.2) 공식은 한 tensor의 뤼첨자를 낮추는 데 사용될 수 있다. 유사하게 (2.3)은 모든 아래첨자를 높이는 사용될 수 있다. (2.4)(2.5)를 근거로, 만일 한 첨자가 낮춰졌다가 다시 높여진다면, 그 결과는 원래의 tensor와 같다. 𝑔μρ는 단지 μ를 위한 ρ의 하나의 대입할 항을 만들거나,
𝑔μρ𝐴μ = 𝐴ρ,
혹은 ρ를 위한 μ의 하나의 대입할 항을 만든다.
𝑔μρ𝐴ρ = 𝐴μ.

    만일 우리가 𝑔μν에 있는 μ에 첨자를 올리는 규칙을 적용하면, 우리는 다음을 얻는다.
𝑔αν = 𝑔αμ𝑔μν.
만일 𝑔αν에서 우리는 𝑔μν의 대칭성때문에 첨자 하나를 다른 것의 위에 쓸 수 있는 것을 고려한다면, 이것은 (2.4)식과 일치한다. 나아가 우리는 같은 규칙에 의해 첨자 ν를 올릴 수 있고 그래서 우리는 다음을 얻는데
𝑔αβ = 𝑔νβ𝑔αν,
이것은 (2.5)로부터 곧바로 따르는 하나의 결과이다. 첨자를 올리고 내리는 규칙들은 𝑔μν, 𝑔νμ, 𝑔μν에 있는 모든 첨자들에게 적용된다.

  [comment] 특수상대성의 Minkowski 시공간 도표가 사교좌표계에 속합니다.

3. Cuvilinear coordinates 곡선 좌표 (pp. 5-7)

우리는 이제 곡선 좌표계로 넘어간다. 우리는 공간의 한 점에 있는 양들을 다루게 될 것이다. 그러한 양은 여러가지 성분을 가질수 있는데, 그 성분들은 그 점에서 그 축들을 참조한다. 공간의 모든 점에서 같은 본성의 양이 있을 수 있다. 그러면 그것은 한 field quantity가 된다.
    만일 우리가 그러한 하나의 양 𝑄 (혹은 그것이 몇개가 있으면 그 성분들 중 하나)을 취하면, 우리는 그 네개의 좌표들 중 모든 것에 대해서 미분할 수 있다. 우리는 그 결과를 다음으로 쓴다.
∂𝑄/∂𝑥μ = 𝑄,μ.
쉼표 앞에 있는 한 아래첨자는 항상 이런 방식으로 한 도함수를 나타낸다. 우리는 첨자 μ를 좌변의 분모에 있는 위첨자와 균형을 맞추기 위해 아래에 넣는다. 우리는 𝑄에서의 변화가, 점 𝑥μ에서 근방(neighborhood)의 점 𝑥μ + 𝛿𝑥μ로 갈 때, 𝑄의 변화가 다음이 됨을 주목함으로써 첨자들이 균형을 이루는 것을 볼 수 있다.
𝛿𝑄 = 𝑄,μ𝛿𝑥μ,         (3.1)
    우리는 한 점에 위치한 vector들과 tensor들을 가질 것인데, 그것들은 그 점에서 축들을 참조하는 다양한 성분들과 함께 한다. 우리가 우리의 좌표계를 바꿀 때는, 그 성분들이 앞 section에서와 똑같은 법칙에 따라 변할 것인데, 그 점과 관계된 축들의 변화에 의존할 것이다. 우리는 전과 마찬가지로, 첨자를 올리고 내리는 𝑔μν𝑔μν를 가질 것이다. 그러나 그것들은 더 이상 상수들이 아니다. 그것들은 점에서 점으로 변화한다. 그것들은 field quantitity들이다.
    좌표계에서 특별한 변화의 효과를 보도록 하자. 네개의 𝑥'들로된 각각이 한 함수인 새로운 곡선 좌표 𝑥'μ를 취하라. 그들은 더 편리하게는, 주 기호에 보다 첨자에 prime을 붙여서 𝑥μ'로 쓸 수 있다.
    𝑥μ에 작은 변화량을 만들면, 우리는 반변벡터의 성분들을 구성하는 네개 양의 𝛿𝑥μ를 얻는다. 새 좌표축들을 참조하면, 이 vector는 다음의 성분들을 가지며
𝛿𝑥μ' = (∂𝑥μ'/∂𝑥ν)𝛿𝑥ν = 𝑥μ'𝛿𝑥ν,
이 때 표기법 (3.1)에 따른다. 이것은 임의의 반변벡터 𝐴ν의 변환을 위한 법칙을 부여해서; 즉,
𝐴μ' = 𝑥μ'𝐴ν.         (3.2)
두 축의 시스템을 교환하고 첨자들을 바꾸면, 우리는 다음을 얻는다.
𝐴λ = 𝑥λ,μ'𝐴μ'.         (3.3)
    우리는 편미분의 법칙으로부터 다음 식을 성립함을 아는데
(∂𝑥λ/∂𝑥μ')(∂𝑥μ'/∂𝑥ν) = 𝑔νλ,
이 식은 표기법 (2.5)와 함께 한다. 이렇게 하여
𝑥λ,μ'𝑥μ' = 𝑔νλ.         (3.4)
이것은 우리로 하여금 두 방정식 (3.2)(3.3)이 일치하는 것을 보여주는데, 왜나하면 만일 우리가 (3.3)의 우변으로 (3.2)식을 대입하면, 우리는 다음을 얻기 때문이다.
𝑥λ,μ'𝑥μ'𝐴ν = 𝑔νλ𝐴ν = 𝐴λ.
    공변벡터 𝐵μ가 어떻게 변환하는가를 보기 위하여, 우리는 𝐴μ𝐵μ가 불변량이라는 조건을 이용한다. 이렇게 하여 (3.3)의 도움으로,
𝐴μ'𝐵μ' = 𝐴λ𝐵λ = 𝑥λ,μ'𝐴μ'𝐵λ.
이 결과는 네개의 𝐴μ'의 모든 값에서 유지되어야만 하고; 그러므로 우리는 𝐴μ'의 계수들을 소거해서 다음을 얻는다.
𝐵μ' = 𝑥λ,μ'𝐵λ.         (3.5)
우리는 공식 (3.2)(3.5)를 임의의 위첨자와 아래첨자를 갖는 모든 tensor를 변환하기 위해 사용할 수 있다. 우리는 바로 𝑥μ'같은 계수를 각 위첨자를 위해서 그리고 𝑥λ,μ' 같은 계수는 각 아래첨자를 위해서 사용하여야 하고 또한 모든 첨자들의 균형을 잡아야만 한다. 예로써,
𝑇α'β'γ' = 𝑥α'𝑥β'𝑥ν,γ'𝑇λμν.         (3.6)
이 법칙에 따라 변환하는 모든 양들은 한 tensor이다. 이것은 한 tensor의 정의로서 간주될 수 있다.
    한 tensor의 λμ 같은 두 첨자간에 대칭적인가 혹은 비대칭적인가는 의미가 있음를 주의해야 한다. 그것은 대칭성은 좌표의 변화에도 보존되기 때문이다.
    공식 (3.4)는 다음으로 쓸 수 있다.
𝑥λ,α'𝑥β'𝑔α'β' = 𝑔νλ..
그것은 바로 𝑔νλ.가 한 tensor임을 보여준다. 우리는 또한 임의의 vector 𝐴μ𝐵ν를 위해서 다음을 갖는다.
𝑔α'β'𝐴α'𝐵β' = 𝑔μν𝐴μ𝐵ν = 𝑔μν𝑥μ,α'𝑥ν,β'𝐴α'𝐵β'.
이것은 𝐴α', 𝐵β'의 모든 값에 유효하므로, 우리는 다음을 추론한다.
𝑔α'β' = 𝑔μν𝑥μ,α'𝑥ν,β'.         (3.7)
이것은 𝑔μν가 한 tensor임을 보여준다. 유사하게 𝑔μν도 한 tensor이다. 그것들은 기본텐서(fundamental tensors)라고 불리운다.
    만일 𝑆가 임의의 sacala field quantity라고 한다면, 그것은 네 𝑥μ나 혹은 네 𝑥μ'의 함수라고 간주할 수 있다. 편미분의 법칙으로부터 다음이 성립한다.
𝑆,μ' = 𝑆,λ'𝑥λ,μ'.
여기에서 서\ 𝑆,λ'는 방정식 (3.5)𝐵λ처럼 변환하며, 이와 같이 한 스칼라장의 도함수는 한 공변벡터장(covariant vector field)이다.

  [comment] (3.1)에 처음 나오는 𝛿는 변분법(Calculus of Variations)의 분석에서 사용하는 변분(the variation)을 나타내는 기호입니다.

4. Nontensors (pp. 8-9)

우리는 한 tensor가 아닌 각종의 위아래 첨자가 있는 하나의 양 𝑁μνρ를 가질 수 있다. 만일 그것이 한 tensor라면 (3.6)에서 예시된 법칙에 따라서 좌표계의 변화 아래에서 변환하여야만 한다. 어떤 다른 법칙과 함께 하면 그것은 한 tensor가 아니다. 한 tensor는 만일 한 좌표계에서 사라지면, 모든 좌표계에서도 사라지는 특성을 갖는다.이것은 한 nontensor를 위해서는 유지되지 않는다.
    한 nontensor를 위해서는 우리는 한 tensor를 위한 것과 같은 규칙에 의해 첨자를 올리고 내릴 수 있디. 그래서. 예를 들면,
𝑔αν𝑁μνρ = 𝑁μαρ.
이 규칙의 일관성은 다른 좌표계로 변환하는 변환 법칙으로부터 아주 독립적이다. 비슷하게, 우리는 위와 아래 첨자를 같이 놓음으로써 한 nontensor를 축약할 수 있다.
    우리는 tensors와 nontensors가 같은 방정식에서 함께 나타나도록 할 수 있다. 첨자를 균형잡는 규칙들도 tensors와 nontensors에 똑같이 적용된다.

THE QUOTIENT THEOREM 몫정리
𝛲λμν 모든 vector 𝛢λ에 대해서 𝛢λ𝛲λμν가 한 tensor라고 상상하라. 그러면 𝛲λμν는 한 tensor이다.
    이를 증명하기 위해서는, 𝛢λ𝛲λμν = 𝑄μν라고 써라. 우리에게 이것이 한 tensor라고 주어졌다; 그러므로
𝑄βγ = 𝑄μ'ν'𝑥μ',β𝑥ν',γ.
이리하여
𝛢α𝛲αβγ = 𝛢λ'𝛲λ'μ'ν'𝑥μ',β𝑥ν',γ.
𝛢λ가 한 vector이므로, 우리는 (3.2)로부터 다음을 갖는다.
𝛢λ' = 𝛢α𝑥λ',α.
그래서
𝛢α𝛲αβγ = 𝛢α𝑥λ',α𝛲λ'μ'ν'𝑥μ',β𝑥ν',γ.
이 방정식은 모든 𝛢α의 값에 유해해야 하므로,
𝛲αβγ = 𝛲λ'μ'ν'𝑥λ',α𝑥μ',β𝑥ν',γ,
𝛲αβγ가 한 tensor임을 보여준다.
    이 정리는 만일 𝛲λμν가 어떤 수의 첨자로 대치되거나, 그 첨자들이 일부가 위에 있어도 유효하다.

  [comment] nontensor의 대표적인 예는 다음에 나오는 Christoffel 기호입니다.

5. Curved space 굽은 공간 (p. 9)

사람들은 하나의 굽은 이차원 공간을 유클리드 삼차원 공간속에 매립된 한 곡면으로서 쉽게 상상할 수 있다. 같은 방식으로, 사람들은 더 고차원의 평평한 공간 속에 매립된 하나의 사차원 공간을 가질 수 있다. 그러한 하나의 굽은 공간은 한 Riemann 공간이라고 불리운다. 그것의 한 작은 영역은 근사적으로 평평하다.
    Einstein은 물리적 공간은 이 특성의 것이라고 가정하였고 그것에 의해서 그의 중력 이론의 기초를 쌓았다.
    굽은 공간을 다루기 위해서는 사람들은 어떤 직선계의 축을 도입할 수가 없다. 사람들은 곡면좌표를 사용해야만 하는데, 그것은 section 3에서 다루었었던 그런한 것들이다. 그 sectiond의 전체 formalism은 굽은 공간에 적용될 수 있으니, 왜냐하면 모든 방정식들은 그 곡률에 의해 방해받지 않는 국소적인 것들이기 때문이다.
    한 점 𝑥μ와 근방의 점 𝑥μ + 𝑑𝑥μ의 불변거리 𝑑𝑠는 다음에 의해 주어지는데
𝑑𝑠2 = 𝑔μν𝑑𝑥μ𝑑𝑥ν
이는 (2.1)과 같다. 𝑑𝑠는 timelike interval(시간성 간격)에서는 실수이고, spacelike interval(공간성 간격)에서는 허수이다.
    곡선좌표계의 한 network와 더불어 그 𝑔μν는 좌표의 함수들로서, 거리의 모든 요소들을 고정한다; 그래서 그것들은 그 metric(계량)을 고정한다. 그것들은 좌표계와 그 공간의 곡률 둘 다를 결정한다.

  [comment] 일반상대성 이론의 formalism에 대한 개념적으로 요약한 기술입니다.

6. Parallel displacement 평행이동 (pp. 10-12)

우리가 한 점 𝑃에 위치한 한 vector 𝐴μ를 갖고있다고 가정하라. 만일 그 공간이 휘어져있다면, 우리는 다른 한 점 𝑄에 한 평행 vector에게 한 의미를 부여할 수 없으니, 이는 사람들이 삼차원 유클리드 공간 안의 휘어진 이차원 공간의 예를 생각하면 쉽게 알 수 있다. 그렇지만, 만일 우리가 한 점 𝑃'를 한 점 𝑃에 가깝게 취한다면, 𝑃'에 한 평행 vevtor가 있는데, 이는 이계(second order)의 불확실성과 더불어, 일계(first order)로서 𝑃에서 𝑃'까지 거리를 계산한다. 이렇게 우리는 𝑃에서 𝑃'로의 그 vector 𝐴μ를 자신에게 평행하게 유지하고 또한 그 길이를 상수로서 유지하면서 이동하는 데에 의미를 부여할 수 있다.
    우리는 이 평행이동의 과정에 의해서 한 경로를 따라 계속해서 그 vector를 이송할 수 있다. 𝑃'에서 𝑄로의 한 경로를 취해서, 우리는 이 경로에 대해 𝑃에서의 원래 vector에 평행인 𝑄에서의 한 vector로 결국 끝날 수 있다. 그러나 하나의 다른 경로는 한 다른 결과를 줄 것이다. 𝑄에서의 한 평행 vector에 대한 절대적인 의미는 없다. 우리가 𝑃에서의 한 vector를 평행이동에 의해서 닫힌 loop를 따라서 이송한다면, 우리는 결국 일반적으로 다른 방향인 𝑃에서의 한 vector로 마치게 될 것이다.
    우리는 우리의 사차원적 물리적 공간이 하나의 더 높은 차원; 말하자면 𝑁차원의 평평한 공간 속에 매립되었다고 가정함으로써 한 vector의 평행이동을 위한 방정식을 얻을 수 있다. 이 𝑁차원적 공간 안에서 우리는 직선좌표계 𝑍𝑛(𝑛 = 1, 2,..., 𝑁)을 도입한다. 이 좌표들은 직교할 필요는 없고, 단지 직선이어야 한다. 두 근방인 점들 사이의 불변거리 𝑑𝑠는 다음에 의해 주어진다.
𝑑𝑠2 = h𝑛𝑚𝑑𝑧𝑛𝑑𝑧𝑚.        (6.1)
여기서 𝑛, 𝑚 = 1, 2,..., 𝑁으로 합산된다 . 그 h𝑛𝑚들은, 앞의 𝑔𝑛𝑚과는 달리 상수들이다. 우리는 그것들을 그 𝑁차원 공간에서 첨자를 내리는데 사용할 수가 있다; 이리하여
𝑑𝑧𝑛 = h𝑛𝑚𝑑𝑧𝑚.
    물리적 공간은 평평한 𝑁차원 공간에서 사차원의 "곡면"을 형성한다. 그 곡면에 있는 각 점 𝑥μ은 𝑁차원 공간에서 한 definte point(定點) 𝑦𝑛을 결정한다. 각 좌표 𝑦𝑛는 네 𝑥들; 말하자면 𝑦𝑛(𝑥)의 한 함수이다. 그 곡면의 함수는 𝑁𝑦𝑛(𝑥)들로부터 네 𝑥들을 소거함으로써 주어질 수 있겠다.
    𝑦𝑛(𝑥)를 매개변수 𝑥μ에 대해서 미분함으로써, 우리는 다음을 얻는다.
∂𝑦𝑛(𝑥)/∂𝑥μ = 𝑦𝑛.
그 곡면에서 𝛿𝑥μ만큼 차이로 이웃하는 두 점들을 위해서, 우리는 다음을 갖는다.
𝛿𝑦𝑛 = 𝑦𝑛𝛿𝑥μ.        (6.2)
그들간 거리의 제곱은, (6.1)로부터
𝑑𝑠2 = h𝑛𝑚𝛿𝑦𝑛𝛿𝑦𝑚 = h𝑛𝑚𝑦𝑛𝑦𝑚𝛿𝑥μ𝛿𝑥ν.
우리는 그것을 다음 식으로 적을 수 있는데
𝑑𝑠2 = 𝑦𝑛𝑦𝑛,ν𝛿𝑥μ𝛿𝑥ν.
그것은 h𝑛𝑚가 불변량이기 때문이다. 우리는 또한 다음을 갖는다.
𝑑𝑠2 = 𝑔μν𝛿𝑥μ𝛿𝑥ν.
여기에서
𝑔μν = 𝑦𝑛𝑦𝑛,ν.        (6.3)
    물리적 공간에서 한 반변벡터 𝛢μ를 취하라, 그것은 그 점 𝑥에 위치한다. 그 성분 𝛢μ들은 (6.2)𝛿𝑥μ와 같다. 그것들은 𝑁차원 공간에서 한 반변벡터 𝛢𝑛를 부여할 것이다. 그래서
𝛢𝑛 = 𝑦𝑛𝛢μ.        (6.4)
이 vector 𝛢𝑛은, 물론, 그 곡면안에 놓여 있다.
    지금 그 vector 𝛢𝑛를 곡면 안에 있는 근방의 한 점 𝑥 + 𝑑𝑥으로 이동하라, 그때 그것이 자신에게 평행하도록 유지하도록 한다.(물론, 그것은 그 성분을 일정 하게 유지하는 것을 의미한다.) 그것은 그 새로운 점에서는, 그 곡면의 곡률로 인해서, 더 이상 그 곡면 안에 놓여 있지 않을 것이다. 그러나 우리는 그 곡면에 놓여있는 한 definite vector(定벡터)를 얻기 위하여, 그것을 그 곡면에다 射影할(project) 수 있다.
    그 projection 과정은 그 vector를 한 접선 부분과 한 법선 부분의 두 부분으로 나누는 것인데, 그 법선 부분을 버리게 된다. 그러므로
𝛢𝑛 = 𝛢𝑛tan + 𝛢𝑛nor.         (6.5)
이제 만일 𝛫μ가 그 곡면의 𝑥 좌표계를 참고하는 𝛢𝑛tan의 성분을 나타낸다면, 우리는 (6.4)에 따라서 다음을 갖는다.
𝛢𝑛tan = 𝛫μ𝑦𝑛(𝑥 + 𝑑𝑥),        (6.6)
여기서 새 점 𝑥 + 𝑑𝑥에서 취해진 계수 𝑦𝑛를 함께 한다.
    𝛢𝑛nor는 점 𝑥 + 𝑑𝑥에서 모든 접선벡터과 직교하도록 정의되므로, 따라서 (6.6)의 우측변과 같은 모든 vector에 직교하는데, 𝛫μ가 무엇이든간에 무관하다. 이리하여
𝛢𝑛nor𝑦𝑛,μ(𝑥 + 𝑑𝑥) = 0.
만일 우리가 지금 (6.5)𝑦𝑛,ν(𝑥 + 𝑑𝑥)를 곱하면, 𝛢𝑛nor 항은 없어지고 우리에게 다음이 남는다.
𝛢𝑛𝑦𝑛,ν(𝑥 + 𝑑𝑥) = 𝛫μ𝑦𝑛(𝑥 + 𝑑𝑥)𝑦𝑛,ν(𝑥 + 𝑑𝑥) = 𝑔μν𝛫μ(𝑥 + 𝑑𝑥)
이는 (6.3)으로 부터이다. 이리하여 𝑑𝑥 안의 일차(first order)에
𝛫ν(𝑥 + 𝑑𝑥) = 𝛢𝑛[𝑦𝑛,ν(𝑥) + 𝑦𝑛,ν,𝜎𝑑𝑥𝜎] = 𝛢μ𝑦𝑛[𝑦𝑛,ν + 𝑦𝑛,ν,𝜎𝑑𝑥𝜎] = 𝛢ν + 𝛢μ𝑦𝑛𝑦𝑛,ν,𝜎𝑑𝑥𝜎.
𝛫ν𝛢ν가 점 (𝑥 + 𝑑𝑥)으로 평행이동의 결과이다. 우리는 다음과 같이 놓을 수 있다.
𝛫ν - 𝛢ν = 𝑑𝛢ν,
여기서 𝑑𝛢는 평행이동에서의 𝛢ν의 변화량을 나타낸다. 그래서 우리는 다음을 갖는다.
𝑑𝛢ν = 𝛢μ𝑦𝑛𝑦𝑛,ν,𝜎𝑑𝑥𝜎.         (6.7)

  [comment] 4차원->𝑁차원 공간의 매립과 접선∙법선 vector 개념은 'MC Forum 74' 2차원->3차원 공간의 경우로부터 유추 해석됩니다.

7. Christoffel symbols 크리스토펠기호 (pp. 12-14)

(6.3)을 미분함으로써 우리는 다음 식을 얻는다.(두번 미분하는 두번째 쉼표는 생략한다)
𝑔μν,𝜎 = 𝑦𝑛,μ𝜎𝑦𝑛,ν + 𝑦𝑛𝑦𝑛,ν𝜎 = 𝑦𝑛,μ𝜎𝑦𝑛 + 𝑦𝑛,ν𝜎𝑦𝑛,         (7.1)
그것은 그 h𝑛𝑚가 불변하므로, 우리가 첨자 𝑛을 자유롭게 위와 아래로 움직일 수 있기 때문이다. (7.1)에서 μ𝜎를 교환하면 우리는 다음을 얻는다.
𝑔𝜎ν,μ = 𝑦𝑛,𝜎μ𝑦𝑛 + 𝑦𝑛,νμ𝑦𝑛,𝜎,         (7.2)
(7.1)에서 ν𝜎를 교환하면
𝑔μ𝜎,ν = 𝑦𝑛,μν𝑦𝑛,𝜎 + 𝑦𝑛,𝜎ν𝑦𝑛.         (7.3)
이제 (b)(7.1) + (7.3) - (7.2)를 취하고 2로 나누면, 그 결과는
(1/2)(𝑔μν,𝜎 + 𝑔μ𝜎,ν - 𝑔ν𝜎,μ) = 𝑦𝑛,ν𝜎𝑦𝑛.         (7.4)
    다음으로 놓아라.
𝛤μν𝜎 = (1/2)(𝑔μν,𝜎 + 𝑔μ𝜎,ν - 𝑔ν𝜎,μ).         (7.5)
그것은 Christoffel 제1종 기호라고 불린다. 그것은 마지막 두 첨자간에 대칭이다. 이것은 nontensor이다. (7.5)의 간략한 결과는
𝛤μν𝜎 + 𝛤νμ𝜎 = 𝑔μν,𝜎.         (7.6)
    우리는 이제 (7.6)이 다음으로 쓰여질 수 있음을 안다.
𝑑𝛢ν = 𝛢μ𝛤μν𝜎𝑑𝑥𝜎. 린         (7.7)
모든 𝛮-차원의 공간에 대한 참조는 지금은 사라졌다, 그것은 Christoffel 기호는 오로지 물리적 공간의 metric(計量) 𝑔μν만을 포함하기 때문이다.
    우리는 평행이동에 의해서는 한 vector의 길이가 변화지 않는 다고 추론할 수 있다. 우리는 다음을 갖는다.
𝑑(𝑔μν𝐴μ𝐴ν) = 𝑔μν𝐴μ𝑑𝐴ν + 𝑔μν𝐴ν𝑑𝐴μ + 𝐴μ𝐴ν𝑔μν,𝜎𝑑𝑥𝜎
= 𝐴ν𝑑𝐴ν + 𝐴μ𝑑𝐴μ + 𝐴α𝐴β𝑔αβ,𝜎𝑑𝑥𝜎
= 𝐴ν𝛢μ𝛤μν𝜎𝑑𝑥𝜎 + 𝐴μ𝛢ν𝛤νν𝜎𝑑𝑥𝜎 + 𝐴α𝐴β𝑔αβ,𝜎𝑑𝑥𝜎
= 𝐴ν𝛢μ𝑔μν,𝜎𝑑𝑥𝜎 + 𝐴α𝐴β𝑔αβ,𝜎𝑑𝑥𝜎.         (7.8)
이제 𝑔αμ,𝜎𝑔μν + 𝑔αμ𝑔μν,𝜎 = (𝑔αμ𝑔μν),𝜎 = 𝑔α𝑔ν,𝜎 = 0.𝑔βν를 곱하면, 우리는 다음을 얻는다.
𝑔αβ,𝜎 = -𝑔αμ𝑔βν𝑔μν,𝜎.         (7.9)
이것은 𝑔αβ의 도함수를 𝑔μν의 도함수로서 나타내는 중요한 공식이다. 그것은 우리가 다음을 추론할 수 있게 하며
𝐴α𝐴β𝑔αβ,𝜎 = -𝐴μ𝛢ν𝑔μν,𝜎
따라서 (7.8)의 표현은 소멸한다. 이리하여 그 vector의 길이는 상수이다. 특별하게, 영벡터(즉, 길이가 0인 vector)는 평행이동에도 한 영벡터로 남는다.
    이러한 그 vector 길이의 불변성은 또한 기하적 논의로부터 나온다. 우리가 vector 𝛢μ(6.5)에 따라서 접선과 법선 부분으로 나누었을 때, 법선 부분은 무한소이고 접선 부분에 수직이다. 그것은, 일계 미분에서는, 그 vector의 전체 길이는 그 접선 부분과 같음이 된다.
    임의의 vector의 길이의 불변성은 임의의 두 vector 𝐴μ𝐵ν의 스칼라곱 𝑔μν𝐴μ𝐵ν의 불변성을 필요로 한다. 이것은 임의의 매개변수 𝜆 값에 대한 𝐴 + 𝜆𝐵 의 길이의 불변성으로부터도 추론될 수 있다.
    종종 Christoffel 기호의 첫번째 첨자를 올리는 것이 유용하므로 다음 식을 형성한다.
𝛤μν𝜎 = 𝑔μ𝜆𝛤𝜆ν𝜎.
그것은 그래서 제2종 Christoffel 기호라고 불린다. 그것은 두 아래첨자들 사이에서 대칭이다. Section 4에서 설명한대로, 이 올리기는 한 nontensor에서조차 완전히 허용될 수 있다.
    식 (7.7)은 다음으로 다시 쓸 수 있다.
𝑑𝛢ν = 𝛤μν𝜎𝛢μ𝑑𝑥𝜎.         (7.10)
그것이 공변성분을 참조하는 표준 공식이다.두번째 vector 𝐵ν를 위해 다음을 갖는다.
𝑑(𝛢ν𝐵ν) = 0
𝛢ν𝑑𝐵ν = -𝐵ν𝑑𝛢ν = -𝐵ν𝛤μν𝜎𝛢μ𝑑𝑥𝜎
= -𝐵μ𝛤νμ𝜎𝛢ν𝑑𝑥𝜎
이것은 임의의 𝛢ν에 대해서 유지되야하므로 우리는 다음을 얻는다.
𝑑𝐵ν = -𝛤νμ𝜎𝐵μ𝑑𝑥𝜎.         (7.11)
이것이 반변성분들을 참조하는 평행이동을 위한 표준 공식이다.

  [comment] '텐서 해석' 중에서 'MC Forum 67' 일반좌표계의 미분 관련 내용이 참고가 됩니다.

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