Vectors and Tensors (5)

Daniel Fleish  A Student's Guide to Vectors and Tensors  (Cambridge University Press  2012)


6. Tensor applications 텐서 응용 (2)      6.3 The Riemann curvature tensor 리만 곡률텐서            ∘  일반상대성에서 가장 중요한 tensor는 Riemann 곡률텐서인데, 줄여서 Riemann tensor 혹은 수학자 Christoffel이 따로 발견한 공로를 기념하여          Riemann-Christoffel tensor라고도 부릅니다.이 tensor의 중요성은 Riemann 곡률텐서가 영이면 유클리드(평평한) 공간의 필요충분조건이 되고,          영이 아닌 성분이 "휘어짐의 보증(the hallmark of curvature)"이라는 데에서 유래합니다. 대부분의 책들은 "평행운송(parallel transport)"이나          "교환자(cummutator)"를 사용하는 두가지 방법으로 유도합니다. "평행운송"이란 vector의 크기와 방향을 바꾸지 않고 하는 이동을 지칭합니다.      ∘  휘어진 공간에서는 "같은 방향을 가르키기"를 정의하기 어렵습니다. 지구 표면의 이차원 공간을 예를 들면 Ecuador의 Quito에서 북쪽을 향하는          vector는 북극을 지나 반대면에 도달하면 "아래로" 남쪽을 가르킵니다. 이번엔 북쪽을 향하되 적도를 따라 움직이는 또 다른 여행을 상상하면          먼 여정을 지나 Indonesia에 도착했을 때, 아직도 그 vector는 북쪽을 가르키고 있습니다. 모두 평행운송을 통한 이동이었지만, 채택한 경로에          따라서 달라질 수 있습니다. 따라서, vector의 평행운송의 결과가 다를 때마다, 당신이 휘어진 공간을 다루고 있다고 확신할 수 있습니다.          ∘   정의상, "평행운송"이란 공변미분 값이 영인 경우의 운송으로 정의됩니다. 공변미분은 두개 항으로, 첫번째항은 보통의 편미분이고 두번째항은          Christoffel 기호릏 포함하는 항임을 기억하십시요. 한 vector를 작은 순환으로 운송하면서 공변벡터를 영으로 유지하는 것이 Riemann tensor를          구하는 것이 한 방법입니다.*        ∘   Riemann 곡률텐서는 한 vector의 공변미분의 "교환자(commutator)"로부터 자연스럽게 나옵니다. 여기서 "교환자"란 처음 한 순서로 연산을 한 후,          다음에는 역으로 하는 두번 연산의 결과로 나오는 차이를 가리킵니다. 만일 하나의 연산을 A라 하고 다른 연산을 B라고 한다면, 그 교환자는            [AB] = AB - BA 관계식으로 정의됩니다. Riemann 곡률텐서를 구할 경우에 그 연산은 공변미분이 됩니다. 그것은 평평한 공간에서는 공변미분의          순서가 아무런 차이가 없으므로, 교환자의 값은 반드시 영을 산출합니다. 또한 공변미분에 대해 적용한 교환자의 모든 영이 아닌 결과는 공간의          휘어짐의 속성이 될 수 있습니다.      ∘   곡률텐서를 구하기 위해서, 우리는 먼저 vector 𝐕𝛼의 𝒙𝛽에 대해서 공변미분을 취합니다. 𝐕𝛼;𝛽 = ∂𝐕𝛼 /∂𝒙𝛽 - 𝛤𝜎𝛼𝛽𝐕𝜎.  (6.21)  <- 𝐕𝛼𝛽 로도 표기          이번에는 𝒙𝛾에 대해서 𝐕𝛼𝛽의 다른 공변미분을 취합니다.  𝐕𝛼𝛽;𝛾 = ∂𝐕𝛼𝛽 /∂𝒙𝛾 - 𝛤𝜏𝛼𝛾𝐕𝜏𝛽 - 𝛤𝜂𝛽𝛾𝐕𝛼𝜂.  (6.22)  이제 여기에 Eq.(6.21)를 대입하면,              𝐕𝛼𝛽;𝛾 = ∂2𝐕𝛼 /∂𝒙𝛾∂𝒙𝛽 - (∂𝛤𝜎𝛼𝛽 /∂𝒙𝛾)𝐕𝜎 - 𝛤𝜎𝛼𝛽(∂𝐕𝜎 /∂𝒙𝛾) - 𝛤𝜏𝛼𝛾(∂𝐕𝜏 /∂𝒙𝛽 - 𝛤𝜎𝜏𝛽𝐕𝜎) - 𝛤𝜂𝛽𝛾(∂𝐕𝛼 /∂𝒙𝜂 - 𝛤𝜎𝛼𝜂𝐕𝜎).  (6.23)          이는 vector 𝐕𝜎가 𝒙𝛽방향으로 작은 단계를 간 후에 𝒙𝛾방향으로 작은 단계를 간 것인데, 또다시 거꾸로의 순서로 가보고 두 결과를 비교합니다..                𝐕𝛼;𝛾 = ∂𝐕𝛼 /∂𝒙𝛾 - 𝛤𝜎𝛼𝛾𝐕𝜎.   (6.24);  𝐕𝛼𝛾;𝛽 = ∂𝐕𝛼𝛾 /∂𝒙𝛽 - 𝛤𝜏𝛼𝛽𝐕𝜏𝛾 - 𝛤𝜂𝛾𝛽𝐕𝛼𝜂.  (6.25)              𝐕𝛼𝛾;𝛽 = ∂2𝐕𝛼 /∂𝒙𝛽∂𝒙𝛾 - (∂𝛤𝜎𝛼𝛾 /∂𝒙𝛽)𝐕𝜎 - 𝛤𝜎𝛼𝛾(∂𝐕𝜎 /∂𝒙𝛽) - 𝛤𝜏𝛼𝛽(∂𝐕𝜏 /∂𝒙𝛾 - 𝛤𝜎𝜏𝛾𝐕𝜎) - 𝛤𝜂𝛾𝛽(∂𝐕𝛼 /∂𝒙𝜂 - 𝛤𝜎𝛼𝜂𝐕𝜎).  (6.26)          두 결과를 비교할 때, 편미분의 순서는 관계 없이 결과가 동일하며, 또한 Christoffel 기호 아래 지수의 순서도 무관함-대칭성-을 적용하면,              𝐕𝛼𝛽;𝛾- 𝐕𝛼𝛾;𝛽= -(∂𝛤𝜎𝛼𝛽 /∂𝒙𝛾)𝐕𝜎+ (∂𝛤𝜎𝛼𝛾 /∂𝒙𝛽)𝐕𝜎+𝛤𝜏𝛼𝛾𝛤𝜎𝜏𝛽𝐕𝜎-𝛤𝜏𝛼𝛽𝛤𝜎𝜏𝛾𝐕𝜎= (∂𝛤𝜎𝛼𝛾 /∂𝒙𝛽 - ∂𝛤𝜎𝛼𝛽 /∂𝒙𝛾 +𝛤𝜏𝛼𝛾𝛤𝜎𝜏𝛽-𝛤𝜏𝛼𝛽𝛤𝜎𝜏𝛾)𝐕𝜎.  (6.27)          이 괄호 안의 식을 다음처럼 정의합니다. Riemann 곡률텐서:  𝐑𝜎𝛼𝛽𝛾 ≡ ∂𝛤𝜎𝛼𝛾 /∂𝒙𝛽 - ∂𝛤𝜎𝛼𝛽 /∂𝒙𝛾 + 𝛤𝜏𝛼𝛾𝛤𝜎𝜏𝛽 - 𝛤𝜏𝛼𝛽𝛤𝜎𝜏𝛾.  (6.28)       ∘   Riemann 곡률텐서와 연관된 또하나의 tensor는 "리치텐서(Ricci tensor)"인데, 𝜎와 𝛽를 같은 합지수로 놓음으로써 구할 수 있습니다.          그래서 4차원의 경우에, 리치텐서:  𝐑𝛼𝛾 ≡ 𝐑𝜎𝛼𝜎𝛾 = 𝐑1𝛼1𝛾 + 𝐑2𝛼2𝛾 + 𝐑3𝛼3𝛾 + 𝐑4𝛼4𝛾.  (6.30)  <- 4차원에서의 계산 예      ∘   metric tensor로써 Ricci tensor텐서의 한 지수를 올리고 다른 지수와 같이 만들어서 축약하고, 이를 "Ricci scalar"라고 정의합니다.          리치스칼라:  𝐑 ≡ 𝑔𝛼𝛾𝐑𝛼𝛾 = 𝐑𝛾𝛾 = 𝐑11 + 𝐑22 + 𝐑33 + 𝐑44.  (6.31)  <- 4차원에서의 계산 예      ∘   마지막으로, "Einstein tensor"로 알려진 tensor는 Ricci tensor 및 Ricci scalar와 metric tensor의 결합으로써 쓰여질 수 있습니다.          Einstein tensor:  𝐆𝛼𝛾 ≡ 𝐑𝛼𝛾 - (1/2)𝐑𝑔𝛼𝛾.  (6.32)   이 tensor는 일반상대성에 다음과 같이 나타납니다.      ∘   마침내, 그 유명한 "Einstein 장방정식(Einstein's field equation)": 𝐆𝜇𝜈 + 𝚲𝑔𝜇𝜈 = (8𝜋𝐺/𝑐4)𝐓𝜇𝜈,  (6.33)   <- 𝐺: 중력상수, 𝑐: 광속          여기에서 𝐓𝜇𝜈는 "에너지운동량텐서(the energy-momentum tensor)"이고,  또한 𝚲는 Einstein이 정적인 우주를 유지하기 위해 도입했었던          "우주상수(the cosmological constant)"입니다. 이것이 바로  "물질은 시공간에게 구부러지는 방법을 알려주고, 시공간은 물질에게 움직이는          방법을 알려준다."는 일반상대성의 간결한 언급 내용 중의 첫번째 반을 제공하는 방정식입니다.          ∘   Riemann 곡률텐서의 내용을 충분한 내용을 숙지하기 위해서, 하나의 구의 표면인 이차원 공간을 고려해서 그 값을 구해보기로 합니다.  ◂              ds2 = 𝑎2d𝜃2 + 𝑎2sin2(𝜃)d𝜙2,  𝑔𝜃𝜃= 𝑎2,  𝑔𝜃𝜙= 𝑔𝜙𝜃= 0,  𝑔𝜙𝜙= 𝑎2sin2(𝜃).  (6.34);   𝛤𝑙𝑖𝑗 = (1/2)𝑔𝑘𝑙 [∂𝑔𝑖𝑘 /∂𝑥𝑗 + ∂𝑔𝑗𝑘 /∂𝑥𝑖 - ∂𝑔𝑖𝑗 /∂𝑥𝑘]   (5.23)              𝛤𝜃𝜃𝜃 = (1/2)[𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜃) + 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜃) + 𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜃) + 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜃) - 𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜃) - 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜙)],              𝛤𝜃𝜃𝜙 = (1/2)[𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜙) + 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜙) + 𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜙𝜃 /∂𝜃) + 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃) - 𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜃) - 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜙)],              𝛤𝜃𝜙𝜃 = (1/2)[𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜃) + 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃) + 𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜙) + 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜙) - 𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜃) - 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜙𝜃 /∂𝜙)],              𝛤𝜙𝜃𝜃 = (1/2)[𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜃) + 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜃) + 𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜃) + 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜃) - 𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜃) - 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜙)],              𝛤𝜙𝜃𝜙 = (1/2)[𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜃𝜃 /∂𝜙) + 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜙) + 𝑔𝜃𝜙(𝑔𝜙𝜃 /∂𝜃) + 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃) - 𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜃) - 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜙)],              𝛤𝜙𝜙𝜃 = (1/2)[𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜙𝜃 /∂𝜃) + 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃) + 𝑔𝜃𝜙(𝑔𝜃𝜃 /∂𝜙) + 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜃𝜙 /∂𝜙) - 𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜙𝜃 /∂𝜃) - 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜙𝜃 /∂𝜙)],              𝛤𝜃𝜙𝜙 = (1/2)[𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜙𝜃 /∂𝜙) + 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜙) + 𝑔𝜃𝜃(𝑔𝜙𝜃 /∂𝜙) + 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜙) - 𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃) - 𝑔𝜙𝜃(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜙)],              𝛤𝜙𝜙𝜙 = (1/2)[𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜙𝜃 /∂𝜙) + 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜙) + 𝑔𝜃𝜙(𝑔𝜙𝜃 /∂𝜙) + 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜙) - 𝑔𝜃𝜙(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃) - 𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜙)].          그 가운데서 ∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃 이외의 편미분값은 0이 되므로, 또한 Eq. (6.34)의 메트릭텐서 값을 사용하여 0이 아닌 것들을 구합니다.              𝛤𝜙𝜃𝜙 = 𝛤𝜙𝜙𝜃 = (1/2)𝑔𝜙𝜙(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃) = (1/2){1/𝑎2sin2(𝜃)}{2𝑎2sin2(𝜃)cos(𝜃) = cos(𝜃)/sin(𝜃) = cot(𝜃)              𝛤𝜃𝜙𝜙 = (1/2)-𝑔𝜃𝜃(∂𝑔𝜙𝜙 /∂𝜃) = -(1/2)(1/𝑎2){2𝑎2sin2(𝜃)cos(𝜃) = -sin(𝜃)cos(𝜃)          위 크리스토펠 기호 값으로 리만곡률텐서 값을 구합니다. 𝐑𝜎𝛼𝛽𝛾 ≡ ∂𝛤𝜎𝛼𝛾 /∂𝒙𝛽 - ∂𝛤𝜎𝛼𝛽 /∂𝒙𝛾 + 𝛤𝜏𝛼𝛾𝛤𝜎𝜏𝛽 - 𝛤𝜏𝛼𝛽𝛤𝜎𝜏𝛾; [좌측 𝜎 = 𝜃, 우측 𝜎 = 𝜙]                𝐑𝜃𝜃𝜃𝜃=∂𝛤𝜃𝜃𝜃 /∂𝜃-∂𝛤𝜃𝜃𝜃 /∂𝜃+𝛤𝜃𝜃𝜃𝛤𝜃𝜃𝜃+𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜃𝜙𝜃-𝛤𝜃𝜃𝜃𝛤𝜃𝜃𝜃-𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜃𝜙𝜃,         𝐑𝜙𝜃𝜃𝜃=∂𝛤𝜙𝜃𝜃 /∂𝜃-∂𝛤𝜙𝜃𝜃 /∂𝜃+𝛤𝜃𝜃𝜃𝛤𝜙𝜃𝜃+𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜙𝜙𝜃-𝛤𝜃𝜃𝜃𝛤𝜙𝜃𝜃-𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜙𝜙𝜃,                  𝐑𝜃𝜃𝜃𝜙=∂𝛤𝜃𝜃𝜙 /∂𝜃-∂𝛤𝜃𝜃𝜃 /∂𝜙+𝛤𝜃𝜃𝜙𝛤𝜃𝜃𝜃+𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜃𝜙𝜃-𝛤𝜃𝜃𝜃𝛤𝜃𝜃𝜙-𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜃𝜙𝜙,        𝐑𝜙𝜃𝜃𝜙=∂𝛤𝜙𝜃𝜙 /∂𝜃-∂𝛤𝜙𝜃𝜃 /∂𝜙+𝛤𝜃𝜃𝜙𝛤𝜙𝜃𝜃+𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜙𝜙𝜃-𝛤𝜃𝜃𝜃𝛤𝜙𝜃𝜙-𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜙𝜙𝜙,                  𝐑𝜃𝜃𝜙𝜃=∂𝛤𝜃𝜃𝜃 /∂𝜙-∂𝛤𝜃𝜃𝜙 /∂𝜃+𝛤𝜃𝜃𝜃𝛤𝜃𝜃𝜙+𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜃𝜙𝜙-𝛤𝜃𝜃𝜙𝛤𝜃𝜃𝜃-𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜃𝜙𝜃,        𝐑𝜙𝜃𝜙𝜃=∂𝛤𝜙𝜃𝜃 /∂𝜙-∂𝛤𝜙𝜃𝜙 /∂𝜃+𝛤𝜃𝜃𝜃𝛤𝜙𝜃𝜙+𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜙𝜙𝜙-𝛤𝜃𝜃𝜙𝛤𝜙𝜃𝜃-𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜙𝜙𝜃,                   𝐑𝜃𝜙𝜃𝜃=∂𝛤𝜃𝜙𝜃 /∂𝜙-∂𝛤𝜃𝜙𝜃 /∂𝜙+𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜃𝜃𝜃+𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜃𝜙𝜃-𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜃𝜃𝜃-𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜃𝜙𝜃,       𝐑𝜙𝜙𝜃𝜃=∂𝛤𝜙𝜙𝜃 /∂𝜃-∂𝛤𝜙𝜙𝜃 /∂𝜃+𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜙𝜃𝜃+𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜙𝜙𝜃-𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜙𝜃𝜃-𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜙𝜙𝜃,                𝐑𝜃𝜃𝜙𝜙=∂𝛤𝜃𝜃𝜙 /∂𝜙-∂𝛤𝜃𝜃𝜙 /∂𝜙+𝛤𝜃𝜃𝜙𝛤𝜃𝜃𝜙+𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜃𝜙𝜙-𝛤𝜃𝜃𝜙𝛤𝜃𝜃𝜙-𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜃𝜙𝜙,     𝐑𝜙𝜃𝜙𝜃=∂𝛤𝜙𝜃𝜙 /∂𝜙-∂𝛤𝜙𝜃𝜙 /∂𝜃+𝛤𝜃𝜃𝜙𝛤𝜙𝜃𝜙+𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜙𝜙𝜙-𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜙𝜃𝜙-𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜙𝜙𝜃,                 𝐑𝜃𝜙𝜃𝜙=∂𝛤𝜃𝜙𝜙 /∂𝜃-∂𝛤𝜃𝜙𝜃 /∂𝜙+𝛤𝜃𝜙𝜙𝛤𝜃𝜃𝜃+𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜃𝜙𝜃-𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜃𝜃𝜙-𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜃𝜙𝜙,     𝐑𝜙𝜙𝜃𝜙=∂𝛤𝜙𝜙𝜙 /∂𝜃-∂𝛤𝜙𝜙𝜃 /∂𝜙+𝛤𝜃𝜙𝜙𝛤𝜙𝜃𝜃+𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜙𝜙𝜃-𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜙𝜃𝜙-𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜙𝜙𝜙,                    𝐑𝜃𝜙𝜙𝜃=∂𝛤𝜃𝜙𝜃 /∂𝜙-∂𝛤𝜃𝜙𝜙 /∂𝜃+𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜃𝜃𝜙+𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜃𝜙𝜙-𝛤𝜃𝜙𝜙𝛤𝜃𝜃𝜃-𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜃𝜙𝜃,     𝐑𝜙𝜙𝜙𝜃=∂𝛤𝜙𝜙𝜃 /∂𝜙-∂𝛤𝜙𝜙𝜙 /∂𝜃+𝛤𝜃𝜙𝜃𝛤𝜙𝜃𝜙+𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜙𝜙𝜙-𝛤𝜃𝜙𝜙𝛤𝜙𝜃𝜃𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜙𝜙𝜃,                              𝐑𝜃𝜙𝜙𝜙=∂𝛤𝜃𝜙𝜙 /∂𝜙-∂𝛤𝜃𝜙𝜙 /∂𝜙+𝛤𝜃𝜙𝜙𝛤𝜃𝜃𝜙+𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜃𝜙𝜙-𝛤𝜃𝜙𝜙𝛤𝜃𝜙𝜙-𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜃𝜙𝜙, 𝐑𝜙𝜙𝜙𝜙=∂𝛤𝜙𝜙𝜙 /∂𝜙-∂𝛤𝜙𝜙𝜙 /∂𝜙+𝛤𝜃𝜙𝜙𝛤𝜙𝜃𝜙+𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜙𝜙𝜙 - 𝛤𝜃𝜙𝜙𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜙𝜙𝜙.          이 가운데서 0이 아닌 Riemann 곡률텐서를 찾아서, 앞에서 계산한 해당 Christoffel 기호 값을 대입합니다.                𝐑𝜃𝜙𝜃𝜙 = ∂𝛤𝜃𝜙𝜙 /∂𝜃 - 𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜃𝜙𝜙  =  [sin2(𝜃) - cos2(𝜃)] - [-cos2(𝜃)] =  sin2(𝜃),                                𝐑𝜃𝜙𝜙𝜃 = -𝛤𝜙𝜙𝜙𝛤𝜃𝜙𝜃 + 𝛤𝜙𝜙𝜃𝛤𝜃𝜙𝜙  = -[sin2(𝜃) - cos2(𝜃)] + [-cos2(𝜃)] = -sin2(𝜃),                                                                                                           𝐑𝜙𝜃𝜃𝜙 = ∂𝛤𝜙𝜃𝜙 /∂𝜃 + 𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜙𝜙𝜃  = -[1 + cot2(𝜃)] + cot2(𝜃) = -1              𝐑𝜙𝜃𝜙𝜃 = -𝛤𝜙𝜃𝜙 /∂𝜃 - 𝛤𝜙𝜃𝜙𝛤𝜙𝜙𝜃. =  [1 + cot2(𝜃)] - cot2(𝜃) =  1   ▮         ※  [보충 해설]  Riemann curvatire tensor and Gauss curvature 리만 곡률텐서와 가우스곡률                 이미 '미분기하학 4: Riemann 곡률텐서' (<-바로가기)에서 해설한 바 같이 Riemann 곡률텐서는 앞에서 학습했던 Richard Faber의 GR              (Differential Geometry & Relativity Theory)에서는  Gauss 공식 중 제2기본형식과 Weingarten 방정식을 사용해 Riemann 곡률텐서에              메트릭텐서를 곱하여  𝐑𝑚𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑚h𝐑h𝑖𝑗𝑘 라고 정의하고, Gauss 곡률  𝐊 = 𝑅1212/𝑔  [𝑔: det(𝑔𝑖𝑗] 방정식을 유도하고 있습니다.              하지만, 대부분의 일반상대론 책들은 이 책처럼 공변미분(covariant differentiation)의 평행운송(parallel transport) 방식으로 유도하므로                        Riemann 곡률텐서 자체에 수직성분이 어떻게 포함되어 있는지에 대한 수학적 표현이 보이지 않는 것에 주목하여야 합니다.**                                                                               *  'A First Corurse in General Relativity' (Schutz 2009, Cambridge University Press)에 상세한 내용이 있다는 주석이 있음. ** Riemann 곡률텐서에 대해서는 일반 GR 책들보다 미분기하학의 수학적 해석이 더 아름답게-고급으로- 생각됨. p.s. 'A Student's Guide to Vectors and Tensors'(Daniel A. Fleisch 2012, Cambridge University Press) Chapter 6.3 내용 및 추가임.

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