Vectors and Tensors (4)

Daniel Fleish  A Student's Guide to Vectors and Tensors  (Cambridge University Press  2012)


6. Tensor applications 텐서 응용 (1)      6.2 The electromagnetic field tensor 전자기장 텐서          ∘  오늘날 통신에 사용하는 기술들은 스코틀랜드의 James Clerk Maxwell에 의해 1860년대에 합성된, 지금은 'Maxwell 방정식'이라고 불리는          방정식들로부터 직접적으로 유래합니다. Maxwell의 방정식들은 적분형과 미분형으로 쓰여질 수 있습니다. 적분형은 전기장과 자기장들이          표면이나 경로에서의 거동을 기술하는데, 미분형은 특정 위치에 대해서 기술합니다. 미분형들은 대부분 vector와 tensor 연산에 관련되어서          스칼라곱, 발산, 회전 그리고 편도함수들을 포함합니다. 미분형 Maxwell 방정식들은 보통 다음과 같이 쓰여집니다.              ∙  전기장을 위한 Gauss의 법칙: 𝛻 ∙ 𝛦 = 𝜌/𝜖0, [𝛦: 전기장, 𝜌: 전하 밀도, 𝜖0: 진공 유전율]              ∙  자기장을 위한 Gauss의 법칙: 𝛻 ∙ 𝐵 = 0, [𝐵: 자기장]              ∙  Faraday의 법칙: 𝛻 ⨯ 𝛦 = -∂𝐵/∂𝑡,              ∙  Ampere-Mawell 법칙: 𝛻 ⨯ 𝐵 = 𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜖0∂𝛦/∂𝑡. [𝜇0: 진공 투자율, 𝐽: 는 전류 밀도]          추가로 전자기장의 작용을 충분히 나타내려면 "연속 방정식(continuity equation)"이라는 부르는 다음 식이 하나 더 필요합니다.              ∙  연속 방정식: ∂𝜌/∂𝑡 = -𝛻 ∙ 𝐽,      ∘  여기에 앞에서 나온 'MC Forum 59' 에서의 '파동방정식과 전자기파의 속도'를 참조하면 다음의 앞 두 관계식이 성립함을 알 수 있습니다.              𝛻2𝛦 = 𝜇0𝜖0(∂2𝛦/∂𝑡2),  𝛻2𝐵 = 𝜇0𝜖0(∂2𝐵/∂𝑡2),  𝛻2𝛢 = (1/𝑣2)(∂2𝛢/∂𝑡2) [𝛢: 일반적 파동, 𝑣: 파동의 속도]       (6.10-12)      ∘  즉, 관찰자와 무관하게 전자기파의 속도는 𝑣 = 1/√(𝜇0𝜖0) ≈ 3*108 m/s 입니다. 이 사실은 Einstein으로 하여금 마침내 특수상대성 이론을          도출하게끔 만들었습니다. 특수상대성 이론에 도달하기 위하여, Einstein은 다음의 두 공준들(postulates)을 굳건히 믿었습니다.              1) 물리의 법칙들(the laws of physics)은 모든 관성계(즉, 가속하지 않는)에서 동일하여야만 한다.                    2) 진공에서의 광속은 일정하며 또한 원인(source)나 관찰자의 움직임과 무관하다.          이에 대한 굳건한 믿음이 직관에 반하는 결론들에도 불구하고 Einstein으로 하여금 공간의 거리와 시간의 간격은 절대적이지 않고 관찰자의          상대적이 움직임에 의존한다는 것을 알 수 있도록 하였습니다.      ∘  먼저, 특수상대성의 내용을 간략하게 수식으로 살펴보기로 하겠습니다. 한 원점에 시간 𝑡를 측정하는 시계가 있는 Cartesian 좌표계에 대해서              𝑥축 방향으로 등속 𝑣 로 움직이며 원점에 자신의 시계가 있는 primed 좌표계를 가정하기로 합니다. 다음의 Galielan 관계식이 성립합니다.                𝑡' = 𝑡,   𝑥' = 𝑥 - 𝑣𝑡,   𝑦' = 𝑦,   𝑧' = 𝑧  [이는 primed 좌표계가 오직 𝑥축 방향으로만 움직이기 때문임]           Einstein에 의하면, unprimed 좌표계에서 빛이 광속 𝑐 로 시간 𝑡 동안 진행한 거리 방정식은 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑐𝑡2 이 되며, primed 좌표계에서의           방정식은 𝑥'2 + 𝑦'2 + 𝑧'2 = 𝑐𝑡'2 이 되며, 광속 𝑐가 항상 같다는 두번째 공준에 따라서 다음 식이 성립해야만 합니다..                𝑐𝑡2 - 𝑥2 - 𝑦2 - 𝑧2 = 𝑐𝑡'2 - 𝑥'2 - 𝑦'2 - 𝑧'2  [일부 text들에서는 + - 기호들을 반대로 표기하기도 함]      ∘  편의성을 위해서 단일한 '4-vector'의 표기법을 도입해서, 𝑥0 = 𝑐𝑡,  𝑥1 = 𝑥,  𝑥2 = 𝑦,  𝑥3 = 𝑧. 거리 단위 사차원 좌표계를 도입합니다.           이 표기법을 이용하면, 시공간 간격(space-time interval) 𝑑𝑠 는 다음처럼 쓸 수 있습니다.                 (𝑑𝑠)2 = (𝑑𝑥0)2 - (𝑑𝑥1)2 - (𝑑𝑥2)2 - (𝑑𝑥3)2.              관성좌표계들 사이에서 시공간 간격은 불변량이 되는 다음의 변환식은 네덜란드의 Hendrik Lorentz를 기려서 'Lorentz 변환'이라 불립니다.                  𝑥'0 = 𝛾(𝑥0 - 𝛽𝑥1),  𝑥'1 = 𝛾(𝑥1 - 𝛽𝑥0),  𝑥'2 = 𝑥2,  𝑥'2 = 𝑥2.  [𝛽 = ∣𝑣∣/𝑐,  𝛾 = 1/√(1 - (𝑣2/𝑐2) = 1/√(1 - 𝛽2)]           그 시공간 간격의 이 형식은 metric tensor를 사용하여 다음처럼 쓸 수 있습니다,                (𝑑𝑠)2 = 𝑔𝛼𝛽𝑑𝑥𝛼𝑑𝑥𝛽.  [이 tensor 𝑔𝛼𝛽는 평평한 시공간을 위한 Minkowski 계량(metric)에 해당함]             위의계량은 행렬 형식으로는, 다음이 됩니다;  𝑔 =                            ⌈  1    0    0    0  ⌉               ┃ 0   -1    0    0  ┃                ┃ 0    0   -1    0  ┃                 ⌊  0    0    0   -1  ⌋      ∘  특수상대성은 전자기학에서 전하량은 한 scalar(기준계간에서 불변량임)이며 Maxwell 방정식들과 Lorentz 힘법칙이 모든 관성 기준계들간에서           진실임이 실험적으로 입증되었습니다. 따라서 전자기장 방정식의 한 tensor version과 Lorentz 힘법칙의 4-vector version이 필요로 하는데,           후자의 "4-전류(four current)"라 불리는 전류 밀도 𝐽 는 다음의 4-vector로 표현될 수 있습니다.                𝐽 = (𝑐𝜌, 𝐽𝑥, 𝐽𝑦, 𝐽𝑧).  [𝜌: 전하 밀도]      ∘  이 4-전류를 가지고 전기장과 자기장의 성분들을 하나의 tensor인 "전자기장 텐서" 방정식으로 만들 수 있습니다. 반변 vesion 𝐹𝛼𝛽 =                ⌈   0    -𝐸𝑥/𝑐   -𝐸𝑦/𝑐   -𝐸𝑧/𝑐  ⌉               ┃ 𝐸𝑥/𝑐      0     -𝐵𝑧      𝐵𝑦   ┃                ┃ 𝐸𝑦/𝑐     𝐵𝑧      0      -𝐵𝑥   ┃.          (6.13)                ⌊  𝐸𝑧/𝑐    -𝐵𝑦     𝐵𝑥       0     ⌋      ∘  이 tensor의 공변 version은 metric tensor를 이용해서 첨자를 내리면 구할 수 있습니다. 그래서 공변 vesion 𝐹𝛼𝛽 =                ⌈   0      𝐸𝑥/𝑐    𝐸𝑦/𝑐    𝐸𝑧/𝑐  ⌉               ┃ -𝐸𝑥/𝑐      0     -𝐵𝑧     𝐵𝑦   ┃                ┃ -𝐸𝑦/𝑐     𝐵𝑧      0     -𝐵𝑥   ┃.          (6.14)                ⌊  -𝐸𝑧/𝑐    -𝐵𝑦     𝐵𝑥     0     ⌋      ∘  또다른 유용한 tensor는 dual-반변-전자기장 텐서 입니다, 그 tensor 𝔉𝛼𝛽 =                ⌈   0     -𝐵𝑥     -𝐵𝑦      -𝐵𝑧    ⌉               ┃ 𝐵𝑥      0       𝐸𝑧/𝑐    -𝐸𝑦/𝑐  ┃                ┃ 𝐵𝑦    -𝐸𝑧/𝑐     0        𝐸𝑥/𝑐  ┃.          (6.15)                ⌊  𝐵𝑧     𝐸𝑦/𝑐    -𝐸𝑥/𝑐      0    ⌋      ∘  Maxwell 방정식들이 다음의 두 개의 tensor 방정식으로 표현될 수 있는 것도 좋은 점입니다.                ∂𝐹𝛼𝛽/∂𝑥𝛼 = 𝜇0𝐽𝛽,   ∂𝔉𝛼𝛽/∂𝑥𝛼 = 0.          (6.16-17)         먼저, 전기장을 위한 Gauss의 법칙은 Eq. (6.16)에 𝛽 = 0을 취하면:                ∂𝐹𝛼0/∂𝑥𝛼 = 𝜇0𝐽0,   ∂(0)/∂(𝑐𝑡) + ∂(𝐸𝑥/𝑐)/∂𝑥 + ∂(𝐸𝑦/𝑐)/∂𝑦 + ∂(0)∂(𝐸𝑧/𝑐)/∂𝑧 = 𝜇0(𝑐𝜌).                            ∂(𝐸𝑥)/∂𝑥 + ∂(𝐸𝑦)/∂𝑦 + ∂(0)∂(𝐸𝑧)/∂𝑧 = 𝜇0(𝑐2𝜌), 그런데 𝑐2 = 1/(𝜖0𝜇0) 이므로,                  ∂(𝐸𝑥)/∂𝑥 + ∂(𝐸𝑦)/∂𝑦 + ∂(0)∂(𝐸𝑧)/∂𝑧 = (𝜇0/𝜖0𝜇0)𝜌. 그러므로, 𝛻 ∙ 𝛦 = 𝜌/𝜖0.         Ampere-Maxwell 법칙은 Eq. (6.16)에 𝛽 = 1, 2, 3을 취하면:                ∂𝐹𝛼1/∂𝑥𝛼 = 𝜇0𝐽1,  ∂𝐹𝛼2/∂𝑥𝛼 = 𝜇0𝐽2,  ∂𝐹𝛼3/∂𝑥𝛼 = 𝜇0𝐽3.                여기에 Eq. (6.16)로부터 값을 찾아서 dummy 지수 𝛼에 합산을 하고, 여기에서 좌우변을 정리합니다.                ∂(-𝐸𝑥/𝑐)/∂(𝑐𝑡) + ∂(0)/∂𝑥 + ∂(𝐵𝑧)/∂𝑦 + ∂(-𝐵𝑦)/∂𝑧 = 𝜇0(𝐽𝑥),  ∂(𝐵𝑧)/∂𝑦 - ∂(𝐵𝑦)/∂𝑧 = 𝜇0(𝐽𝑥) + (1/𝑐2)∂(𝐸𝑥)/∂𝑡,                ∂(-𝐸𝑦/𝑐)/∂(𝑐𝑡) + ∂(-𝐵𝑧)/∂𝑥 + ∂(0)/∂𝑦 + ∂(𝐵𝑥)/∂𝑧 = 𝜇0(𝐽𝑦),  ∂(𝐵𝑥)/∂𝑧 - ∂(𝐵𝑧)/∂𝑥 = 𝜇0(𝐽𝑦) + (1/𝑐2)∂(𝐸𝑦)/∂𝑡,                ∂(-𝐸𝑧/𝑐)/∂(𝑐𝑡) + ∂(𝐵𝑦)/∂𝑥 + ∂(-𝐵𝑥)/∂𝑦 + ∂(0)/∂𝑧 = 𝜇0(𝐽𝑧),  ∂(𝐵𝑦)/∂𝑥 - ∂(𝐵𝑥)/∂𝑦 = 𝜇0(𝐽𝑧) + (1/𝑐2)∂(𝐸𝑧)/∂𝑡,                     앞의 항들이 vector 𝐵의 회전임을 인식하고, 또다시 𝑐2 = 1/(𝜖0𝜇0) 이므로, 𝛻 ⨯ 𝐵 = 𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜖0∂𝛦/∂𝑡.          자기장을 위한 Gauss의 법칙은 Eq. (6.17)에 𝛽 = 0을 취하고 앞에서 유사한 방식으로 정리를 하면:                ∂𝔉𝛼0/∂𝑥𝛼 = 0,  ∂(0)/∂(𝑐𝑡) + ∂(𝐵𝑥)/∂𝑥 + ∂(𝐵𝑦)/∂𝑦 + ∂(𝐵𝑧)/∂𝑧 = 0,  𝛻 ∙ 𝐵 = 0,          끝으로, Faraday의 법칙은 Eq. (6.17)에 𝛽 = 1, 2, 3을 취하고 Ampere-Maxwell 방정식과 유사한 방식으로 정리하면:                ∂𝔉𝛼1/∂𝑥𝛼 = 0,  ∂𝔉𝛼2/∂𝑥𝛼 = 0,  ∂𝔉𝛼3/∂𝑥𝛼 = 0, 전처럼 (6.15)에 대입하고, 합산하고, 다시 정리합니다.                ∂(-𝐵𝑥)/∂(𝑐𝑡) + ∂(0)/∂𝑥 + ∂(-𝐸𝑧/𝑐)/∂𝑦 + ∂(𝐸𝑦/𝑐)/∂𝑧 = 0,  ∂(𝐸𝑦)/∂𝑧 - ∂(𝐸𝑧)/∂𝑦 = ∂(𝐵𝑥)/∂𝑡,                ∂(-𝐵𝑦)/∂(𝑐𝑡) + ∂(𝐸𝑧/𝑐)/∂𝑥 + ∂(0)/∂𝑦 + ∂(-𝐸𝑥/𝑐)/∂𝑧 = 0,  ∂(𝐸𝑧)/∂𝑥 - ∂(𝐸𝑥)/∂𝑧 = ∂(𝐵𝑦)/∂𝑡,                 ∂(-𝐵𝑧)/∂(𝑐𝑡) + ∂(-𝐸𝑦/𝑐)/∂𝑥 + ∂(𝐸𝑥/𝑐)/∂𝑦 + ∂(0)/∂𝑧 = 0,  ∂(𝐸𝑥)/∂𝑦 - ∂(𝐸𝑦)/∂𝑥 = ∂(𝐵𝑧)/∂𝑡.                앞의 항들이 vector 𝐸의 회전임을 인식하면, 𝛻 ⨯ 𝛦 = -∂𝐵/∂𝑡,   ▮      ∘  마침내, 우리는 이제 등속으로 움직이는 관성계들 간의 다른 관찰자에 의한 전자기장의 거동을 tensor 방정식으로 기술할 수 있겠습니다.          먼저 𝑥 축을 따라서 등속 𝑣 로 움직이는 경우를 위한 Lorentz 변환 행렬(transform matrix) 𝛢 =                ⌈  𝛾   -𝛾𝛽   0    0  ⌉               ┃-𝛾𝛽   𝛾    0    0  ┃                ┃ 0     0    1    0  ┃.          (6.18)                 ⌊  0    0    0    1   ⌋          그래서 primed 좌표계로 변환하기 위해서는 다음식을 사용해야 합니다.               𝐹' = 𝛢 𝐹 𝛢𝑇.          여기서 𝐹 는 Eq. (6.13)이며, 행렬간의 곱셉을 실행 한 결과는 다음과 같습니다. 𝐹' =                ⌈          0            -𝐸𝑥/𝑐            𝛾(𝐸𝑦/𝑐 - 𝛽𝐵𝑧)  -𝛾(𝐸𝑧/𝑐 - 𝛽𝐵𝑦)  ⌉               ┃       𝐸𝑥/𝑐              0            -𝛾(𝐵𝑧 - 𝛽𝐸𝑦/𝑐)   𝛾(𝐵𝑦 + 𝛽𝐸𝑧/𝑐)  ┃                ┃𝛾(𝐸𝑦/𝑐 - 𝛽𝐵𝑧)  𝛾(𝐵𝑧 - 𝛽𝐸𝑦/𝑐)               0                  -𝐵𝑥      ┃.                 ⌊ 𝛾(𝐸𝑧/𝑐 + 𝛽𝐵𝑦) -𝛾(𝐵𝑦 + 𝛽𝐸𝑧/𝑐)             𝐵𝑥                  0         ⌋      ∘  위의 결과와 원래 식 Eq. (6.13)과 전기장과 자기장을 비교해 보면 다음이 됩니다.               𝐸'𝑥 = 𝐸𝑥,               𝐸'𝑦 = 𝑐𝛾(𝐸𝑦/𝑐 - 𝛽𝐵𝑧),          (6.19)                𝐸'𝑧 = 𝑐𝛾(𝐸𝑧/𝑐 + 𝛽𝐵𝑦),               𝐵'𝑥 = 𝐵𝑥,               𝐵'𝑦 = 𝛾(𝐵𝑦 + 𝛽𝐸𝑧/𝑐),          (6.20)                𝐵'𝑧 = 𝛾(𝐵𝑧 - 𝛽𝐸𝑦/𝑐 ),      ∘  이것은 어떤 뜻 깊은 결과입니다. 왜냐하면 이는 전기장과 자기장이 관찰자의 움직임에 의존하는 것을 가르키기 때문입니다.          먼저 𝐸𝑥 = 𝐸𝑦 = 𝐸𝑧 = 0 일 경우를 살펴보면, unprimed 좌표계의 한 관찰자에게는 전기장이 없지만 변환된 primed 좌표계의 한 관찰자에게는            전기자기장의 존재를 알 수 있습니다. 즉, 𝐸'𝑦 = -𝑐𝛾𝛽𝐵𝑧와 𝐸'𝑧 = 𝑐𝛾𝛽𝐵𝑦 입니다. 𝐵𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐵𝑧 = 0 인 경우에도 primed 좌표계의 한 관찰자는          𝐵'𝑦 = 𝛾𝐵𝑦𝐸𝑧/𝑐 와 𝐵'𝑧 = 𝛾𝛽𝐸𝑦/𝑐 를 보게 됩니다. 이런 경우들은 전자기장이 "독립적인 존재를 갖고 있지 않다."는 배후의 추론을 알려줍니다, p.s. 'A Student's Guide to Vectors and Tensors'(Daniel A. Fleisch 2012, Cambridge University Press) Chapter 6.2 내용입니다.        이 글을 제외한 나머지 내용들은 1월1일부터 6일까지 썼는데, 빠뜨렸던 전자기장 tensor를 나중에 학습한 것입니다.        (행렬 표기는 각 운영 시스템에 따라 다르게 보이는데, 여기서는 아이패드 iOS 13.3 기준으로 맞춤)

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