Vectors and Tensors (3)

Daniel Fleish  A Student's Guide to Vectors and Tensors  (Cambridge University Press  2012)



5. Higher-rank tensors 고차수 텐서      5.1 Definitions (advanced) 고급 정의           ∘  A scalar 방향 표시가 없는, 단 하나의 값(a single value)으로, 그 값은 좌표계가 변화할 때에도 불변 양을 표현한다      ∘  A vector 는 (3차원 공간에서) "벡터 성분"이라 부르는 3개 값의 배열로서, 좌표계가 변화할 때에도 그 성분들은 방향 표시기("기저벡터")와         결합해서 불변 양을 형성한다.    𝐀 = 𝐴𝑖𝐞𝑖 = 𝐴𝑖𝐞𝑖  <- 𝐀: 같은 실체인 vector;  𝐴𝑖: 반변성분;  𝐞𝑖: 공변기저벡터;  𝐴𝑖: 공변성분;  𝐞𝑖: 반변기저벡터            𝐴'𝑖 = (∂𝑥'𝑖/∂𝑥𝑗)𝐴𝑖  <-  𝐴'𝑖: 새 좌표계의 반변성분;  𝐴𝑖: 원래 좌표계의 반변성분;  (∂𝑥'𝑖/∂𝑥𝑗):원래 좌표계 축에 접하는 방향의 기저벡터             𝐴'𝑖 = (∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑖)𝐴𝑗  <-  𝐴'𝑖: 새 좌표계의 공변성분;  𝐴𝑖: 원래 좌표계의 공변성분;  (∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑖) 원래 좌표계 축에 수직인 쌍대기저벡터      ∘  차수 𝑛의 tensor 는 (3차원 공간에서) "텐서 성분"이라 부르는 3𝑛개 값의 배열로서, 그 성분들은 좌표계가 변화할 때에도 그 성분들은 다중의         방향 표시기("기저벡터")와 결합해서 불변 양을 형성한다.      5.2 Covariant, contravariant, and mixed tensor 공변, 반변 그라고 혼합텐서       ∘  𝐴'𝑖𝑗 = (∂𝑥𝑖'/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑗'/∂𝑥𝑙)𝐴𝑘𝑙   (5.1)  <- 2차 반변텐서의 변환식      ∘  𝐴'𝑖𝑗 = (∂𝑥𝑘/∂𝑥𝑖')(∂𝑥𝑙/∂𝑥𝑗')𝐴𝑘𝑙   (5.4)  <- 2차 공변텐서의 변환식      ∘  𝐴'𝑖𝑗 = (∂𝑥𝑖'/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑙/∂𝑥𝑗')𝐴𝑘𝑙   (5.5)  <- 2차 혼합텐서의 변환식      5.3 Tensor addition and substraction 텐서의 덧셈과 뺄셈 : 지수가 일치하도록 함      ∘  example) 𝐶𝑘𝑙 =  (∂𝑥'𝑘/∂𝑥𝑖)(∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑙)𝐴𝑖𝑗 + (∂𝑥'𝑘/∂𝑥𝑖)(∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑙)𝐵𝑖𝑗 =  (∂𝑥'𝑘/∂𝑥𝑖)(∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑙)(𝐴𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗) = 𝐶𝑖𝑗      5.4 Tensor multiplication 텐서의 곱셈      ∘  열벡터와 행벡터의 "외적(outer product)" 다음과 같아서, 차수 1의 tensor(vector)의 외적은 차수 2의 tensor가 됩니다.                           ⌈ 𝐴1 ⌉                            ⌈ 𝐴1𝐵1 𝐴1𝐵2 𝐴1𝐵3 ⌉             𝐀 ⊗ 𝐁 =┃𝐴2┃ [ 𝐵1  𝐵2 𝐵3 ] = ┃ 𝐴2𝐵1 𝐴2𝐵2 𝐴2𝐵3┃                                    ⌊ 𝐴3 ⌋                            ⌊ 𝐴3𝐵1 𝐴3𝐵2 𝐴3𝐵3 ⌋                              ∘  어떤 책들에서는 '⊗'으로 외적을 가르키는데, 다른 책들에서는 그냥 다음과 같이 쓰기도 합니다.  𝐴𝑖 𝐵𝑗 = 𝐶𝑖𝑗; 다음은 일례입니다.         𝐴'𝑛𝑜𝐵'𝑝𝑞𝑟 = (∂𝑥'𝑛/∂𝑥𝑖)(∂𝑥𝑙/∂𝑥'𝑜)𝐴𝑖𝑗 (∂𝑥'𝑝/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑙/∂𝑥'𝑞)(∂𝑥𝑚/∂𝑥'𝑟)𝐵𝑘𝑙𝑚 =  (∂𝑥'𝑛/∂𝑥𝑖)(∂𝑥𝑙/∂𝑥'𝑜) (∂𝑥'𝑝/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑙/∂𝑥'𝑞)(∂𝑥𝑚/∂𝑥'𝑟)𝐴𝑖𝑗𝐵𝑘𝑙𝑚         그래서, 만일 𝐴𝑖𝑗𝐵𝑘𝑙𝑚 = 𝐶𝑖𝑘𝑗𝑙𝑚, 𝐴'𝑛𝑜𝐵'𝑝𝑞𝑟 = 𝐶'𝑛𝑝𝑜𝑞𝑟 라면,  𝐶'𝑛𝑝𝑜𝑞𝑟 =  (∂𝑥'𝑛/∂𝑥𝑖)(∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑜) (∂𝑥'𝑝/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑙/∂𝑥'𝑞)(∂𝑥𝑚/∂𝑥'𝑟)𝐶𝑖𝑘𝑗𝑙𝑚  (5.11)      ∘  다른 tensor 곱은 "내적(inner product}"으로 벡터의 스칼라곱의 일반화로서, 위아래 첨자에 같은 지수를 사용하여 수행합니다.         내적을 하면 2개의 차수가 "축약(contract)"됩니다.  𝐶𝑖𝑗𝑗𝑙 = 𝐶𝑖11𝑙 + 𝐶𝑖22𝑙 + 𝐶𝑖33𝑙 = 𝐷𝑖𝑙.  <- 4차 tensor가 2차 tensor로 축약됨      ∘  (5.11) tenso의 네번째 지수f를 𝑛으로 바꾸어 축약을 해보면,  𝐶'𝑛𝑝𝑜𝑛𝑟 =  (∂𝑥'𝑛/∂𝑥𝑖)(∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑜) (∂𝑥'𝑝/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑙/∂𝑥'𝑛)(∂𝑥𝑚/∂𝑥'𝑟)𝐶𝑖𝑘𝑗𝑙𝑚         =  (∂𝑥'𝑛/∂𝑥𝑖) (∂𝑥𝑙/∂𝑥'𝑛)(∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑜)(∂𝑥'𝑝/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑚/∂𝑥'𝑟)𝐶𝑖𝑘𝑗𝑙𝑚 =  (∂𝑥𝑙/∂𝑥𝑖)(∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑜)(∂𝑥'𝑝/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑚/∂𝑥'𝑟)𝐶𝑖𝑘𝑗𝑙𝑚           =  𝛿𝑙𝑖 (∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑜)(∂𝑥'𝑝/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑚/∂𝑥'𝑟)𝐶𝑖𝑘𝑗𝑙𝑚 = (∂𝑥𝑗/∂𝑥'𝑜)(∂𝑥'𝑝/∂𝑥𝑘)(∂𝑥𝑚/∂𝑥'𝑟)𝐶𝑖𝑘𝑗𝑙𝑚           <- 크로네커델타(Kronecker Delta) 함수 𝛿𝑖𝑗 =  (1, 𝑖=𝑗; 0, 𝑖≠𝑗) 사용함; 결과로서 5차 tensor가 3차 tensor로 축약됨      5.5 Metric tensor 계량텐서      ∘  주어진 좌표계에게 "계량을 제공하는(providing metric)" tensor를 기본 또는 계량(fundamental or metric) tensor라고 부릅니다.         보통 "𝑔"가 계량텐서의 기호가 되고, 계량텐서는 반변성분인 𝑔𝑖𝑗 과 공변성분인 𝑔𝑖𝑗를 갖습니다. 계량텐서의 역할을 이해하기 위해서         미분 거리 ds에 의해 분리된 두점 사이의 vecter를 d𝒓이라고 한다면,  미분 거리의 제곱은 다음과 같이 됩니다.  ds2 = d𝒓 ∘ d𝒓 .         d𝒓 = 𝐞𝑖d𝑥𝑖 = 𝐞𝑖d𝑥𝑖  <-  𝐞𝑖 = : 좌표 기저벡터,  𝐞𝑖: 쌍대기저벡터      ∘  (옵션 1)은 반변성분 간 내적이고, (옵션 2)는 공변성분 간 내적이며, (옵션 3)은 반번성분과 공변 성분 간 내적입니다.         ds2 = d𝒓 ∘ d𝒓 = 𝐞𝑖d𝑥𝑖 ∘ 𝐞𝑗d𝑥𝑗 = (𝐞𝑖 ∘ 𝐞𝑗)d𝑥𝑖d𝑥𝑗= 𝑔𝑖𝑗d𝑥𝑖d𝑥𝑗 = 𝐞𝑖d𝑥𝑖 ∘ 𝐞𝑗d𝑥𝑗 = (𝐞𝑖 ∘ 𝐞𝑗)d𝑥𝑖d𝑥𝑗 = 𝑔𝑖𝑗d𝑥𝑖d𝑥𝑗 = 𝐞𝑖d𝑥𝑖 ∘ 𝐞𝑗d𝑥𝑗 = (𝐞𝑖 ∘ 𝐞𝑗)d𝑥𝑖d𝑥𝑗= d𝑥𝑖d𝑥𝑖      ∘  계량텐서는 두점 간의 불변(invariant) 거리와 각도로 공간의 "기하학을 제공합니다(provide the geometry)". 두점 간의 vector가 𝐀 이면,         ∣𝐀∣ = √ (𝐴𝑖𝐞𝑖 ∘ 𝐴𝑗𝐞𝑗) = √ (𝐞𝑖 ∘ 𝐞𝑗)𝐴𝑖𝐴𝑗= √ 𝑔𝑖𝑗𝐴𝑖𝐴𝑗 = √ (𝐴𝑖𝐞𝑖 ∘ 𝐴𝑗𝐞𝑗) = √ (𝐞𝑖 ∘ 𝐞𝑗)𝐴𝑖𝐴𝑗= √ 𝑔𝑖𝑗𝐴𝑖𝐴𝑗 = √ (𝐴𝑖𝐞𝑖 ∘ 𝐴𝑗𝐞𝑗) = √ (𝐞𝑖 ∘ 𝐞𝑗)𝐴𝑖𝐴𝑗= √ 𝐴𝑖𝐴𝑖.           cos 𝜃 = ∣𝐀∣ ∘ ∣𝐁∣ /∣𝐀∣ ∣𝐁∣ = 𝑔𝑖𝑗𝐴𝑖𝐵𝑗 /(√ 𝑔𝑖𝑗𝐴𝑖𝐴𝑗 √ 𝑔𝑖𝑗𝐵𝑖𝐵𝑗) = 𝐴𝑖𝐵𝑖 /(√ 𝐴𝑖𝐴𝑖 √ 𝐵𝑖𝐵𝑖) = 𝑔𝑖𝑗𝐴𝑖𝐵𝑗 /(√ 𝑔𝑖𝑗𝐴𝑖𝐴𝑗 √ 𝑔𝑖𝑗𝐵𝑖𝐵𝑗)      ∘  3차원에서 반변성분과 좌표 기저벡터의 조합인 경우 계량텐서(metric tensor)를 상세히 살펴보면,   ds2 = 𝑔𝑖𝑗d𝑥𝑖d𝑥𝑗 (5.13)         𝐞1 = (∂𝑥'1/∂𝑥1, ∂𝑥'2/∂𝑥1, ∂𝑥'3/∂𝑥1),  𝐞2 = (∂𝑥'1/∂𝑥2, ∂𝑥'2/∂𝑥2, ∂𝑥'3/∂𝑥2),  𝐞3 = (∂𝑥'1/∂𝑥3, ∂𝑥'2/∂𝑥3, ∂𝑥'3/∂𝑥3)  (5.14)                                                                                                                                                    ⌈ 𝑔11 𝑔12 𝑔13 ⌉           𝑔𝑖𝑗 =  (𝐞𝑖 ∘ 𝐞𝑗) = [(∂𝑥'1/∂𝑥𝑖) (∂𝑥'1/∂𝑥𝑗) + (∂𝑥'2/∂𝑥𝑖) (∂𝑥'2/∂𝑥𝑗) + (∂𝑥'3/∂𝑥𝑖) (∂𝑥'3/∂𝑥𝑗)] = ┃𝑔21 𝑔22 𝑔23┃.                                                                                                                                                    ⌊ 𝑔31 𝑔32 𝑔33 ⌋        ∘  구면좌표계 (𝑟, 𝜃, 𝜙)에서 데카르트 좌표계 (𝑥, 𝑦, 𝑧)로의 변환의 경우에 이를 적용해보면,  𝑥1 = 𝑟, 𝑥2 = 𝜃, 𝑥3 = 𝜙,         𝑥'1 = 𝑥1sin(𝑥2)cos(𝑥3),  𝑥'2 = 𝑥1sin(𝑥2)sin(𝑥3),  𝑥'3 = 𝑥1cos(𝑥2)  (5.16)         ∂𝑥'1/∂𝑥1 = sin(𝑥2)cos(𝑥3),  ∂𝑥'1/∂𝑥2 = 𝑥1cos(𝑥2)cos(𝑥3),  ∂𝑥'2/∂𝑥1 = sin(𝑥2)sin(𝑥3),  ∂𝑥'2/∂𝑥2 = 𝑥1cos(𝑥2)sin(𝑥3),  ∂𝑥'3/∂𝑥1 = cos(𝑥2),             ∂𝑥'3/∂𝑥2 = -𝑥1sin(𝑥2),  ∂𝑥'1/∂𝑥3 = -𝑥1sin(𝑥2)sin(𝑥3),  ∂𝑥'2/∂𝑥3 = 𝑥1sin(𝑥2)cos(𝑥3),  ∂𝑥'3/∂𝑥3 = 0,           𝑔11 = [(∂𝑥'1/∂𝑥1) (∂𝑥'1/∂𝑥1) + (∂𝑥'2/∂𝑥2) (∂𝑥'1/∂𝑥1) + (∂𝑥'3/∂𝑥3) (∂𝑥'1/∂𝑥1)] = 1,           𝑔22 = [(∂𝑥'1/∂𝑥1) (∂𝑥'2/∂𝑥2) + (∂𝑥'2/∂𝑥2) (∂𝑥'2/∂𝑥2) + (∂𝑥'3/∂𝑥3) (∂𝑥'2/∂𝑥2)] = 𝑟2,           𝑔33 = [(∂𝑥'1/∂𝑥1) (∂𝑥'3/∂𝑥3) + (∂𝑥'2/∂𝑥2) (∂𝑥'3/∂𝑥3) + (∂𝑥'3/∂𝑥3) (∂𝑥'3/∂𝑥3)] = 𝑟2sin2(𝜃),           𝑔12 = 𝑔13 = 𝑔21 = 𝑔23 = 𝑔31 = 𝑔32 = 0,  ∴ ds2 = d𝑟2 + 𝑟2d𝜃2 + 𝑟2sin2𝜃d𝜙2.  (5.17,18)   ▮      ∘  직교좌표계의 경우 0이 아닌 √ 𝑔11, √ 𝑔22, √ 𝑔11를 각각 "축척 요소(scale factors)"(𝒉1, 𝒉2, 𝒉3)이라고 하며, vector 연산에 적용해보면,          𝛁 𝜙 = (1/𝒉1)(∂𝜙/∂𝑥1)𝐞1+ (1/𝒉2)(∂𝜙/∂𝑥2)𝐞2+ (1/𝒉3)(∂𝜙/∂𝑥3)𝐞3,  <- (2.31,32) 비교 참조          𝛁 ∘ 𝐀 =  (1/𝒉1𝒉2𝒉3){(∂ /∂𝑥1)(𝒉2𝒉3𝐴1) + (∂ /∂𝑥2)(𝒉1𝒉3𝐴2) + (∂ /∂𝑥3)(𝒉1𝒉2𝐴3)},  <- (2.36,37) 비교 참조                                         ┃ 𝒉1𝐞1     𝒉2𝐞2     𝒉3𝐞3  ┃          𝛁 ⨯ 𝐀 =  (1/𝒉1𝒉2𝒉3)┃∂ /∂𝑥1  ∂ /∂𝑥2  ∂ /∂𝑥3 ┃,   <- (2.41,42) 비교 참조                                                                                                                                       ┃ 𝒉1𝐴1    𝒉2𝐴2    𝒉3𝐴3 ┃          𝛁2𝜙 =  (1/𝒉1𝒉2𝒉3){(∂ /∂𝑥1)(𝒉2𝒉3/𝒉1)(∂𝜙 /∂𝑥1) +  (∂ /∂𝑥2)(𝒉1𝒉3/𝒉2)(∂𝜙 /∂𝑥2) + (∂ /∂𝑥3)(𝒉1𝒉2/𝒉3)(∂𝜙 /∂𝑥3)}.  <- (2.51,52) 비교 참조      5.6 Index rasing and lowering  지수 올리기와 내리기      ∘  계량텐서(metric tensor)의 아주 유용한 기능 중의 하나가 반변성분과 공변성분 간의 다음과 같은 변환입니다.         𝑔𝑖𝑗𝐴𝑗 = 𝐴𝑖,  𝑔𝑖𝑗𝐵𝑖 = 𝐵𝑗,  𝑔𝑖𝑗𝐴𝑖𝑘 = 𝐴𝑖𝑘,  𝐶𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑗𝑠𝐶𝑖𝑠𝑘,   𝑇𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑖𝑙𝑇𝑗𝑘𝑙.   (5.19~21)  <- ∵ 위의 계량텐서 (옵션 1,2)와 (옵션 3)가 등식이 되므로      5.7 Tensor derivatives and Christoffel symbols 텐서 도함수와 크리스토펠 기호      ∘  데카르트 좌표계 이외에서는 기저벡터의 도함수를 표현하는 방법이 필요한데 일단 반변벡터의 경우를 설명합니다. (Figure 5.1)          𝐀 = 𝐴1𝐞1 + 𝐴2𝐞2 + 𝐴3𝐞3 라면,  ∂𝐀/∂𝑥𝑗 =  ∂𝐴𝑖𝐞𝑖)/∂𝑥𝑗 = (∂𝐴𝑖/∂𝑥𝑗)𝐞𝑖 + 𝐴𝑖(∂𝐞𝑖 /∂𝑥𝑗), 여기서 크리스토펠 기호 𝛤𝑘𝑖𝑗𝐞𝑘 = ∂𝐞𝑖 /∂𝑥𝑗 로 정의합니다.      ∘  예로 원기둥좌표(𝑟, 𝜃, 𝑧)에서  ∂𝐞𝑟 /∂𝜃 = 𝛤𝑘𝑟𝜃𝐞𝑘 = 𝛤𝑟𝑟𝜃𝐞𝑟 + 𝛤𝜃𝑟𝜃𝐞𝜃 + 𝛤𝑧𝑟𝜃𝐞𝑧 = 0 𝐞𝑟 + (1/𝑟)𝐞𝜃 +  0 𝐞𝑧 이 되며, Figure 5.2이 추가 설명입니다.      ∘  다른 텍스트들은 앞의 크리스토펠 기호를 2종이라 하고 이와 메트릭텐서와의 곱을 1종 크리스토펠 기호로서 다음과 같이 정의합니다.*          𝛤𝑖𝑗𝑙 = 𝑔𝑘𝑙𝛤𝑘𝑖𝑗   (14.3.2) '텐서 해석 II-2: 일반 좌표계와 미분'[link]  <- 여기 기저벡터 '𝐞𝑘'를 거기서는 '𝐠𝑘'로 표기함      ∘  (2종) 크리스토펠 기호는 메트릭텐서와의 다음 관계식을  갖습니다.  <- 1종 크리스토펠 기호로 유도가 편리함 (다른 텍스트 참조)            𝛤𝑙𝑖𝑗 = (1/2)𝑔𝑘𝑙 [∂𝑔𝑖𝑘 /∂𝑥𝑗 + ∂𝑔𝑗𝑘 /∂𝑥𝑖 - ∂𝑔𝑖𝑗 /∂𝑥𝑘]   (5.23)         이 방정식으로 우리가 메트릭텐서를 아는 어떤 좌표계에서도 크리스토펠 기호를 바로 계산할 수 있습니다. 그래서 크리스토펠 기호를         사용해 성분과 기저벡터의 변화를 찾는 도함수를 구할 수 있어서, tensor의 가장 중요한 성질인 '좌표계를 넘는 불변성'을 갖게 됩니다.      ∘  예로서 원기둥좌표계 (𝑟, 𝜙, 𝑧) 경우를 (5.16-18)처럼 구해보면,  ds2 = d𝑟2 + 𝑟2d𝜙2 + d𝑧2. 𝑔11 = 1, 𝑔22 =  𝑟2, 𝑔33 = 1, (기타) = 0. 그중,         𝛤122 = (1/2)𝑔11[∂𝑔21/∂𝑥2+∂𝑔21/∂𝑥2-∂𝑔22/∂𝑥1] + (1/2)𝑔21[∂𝑔22/∂𝑥2+∂𝑔22/∂𝑥2-∂𝑔22/∂𝑥2] + (1/2)𝑔32[∂𝑔23/∂𝑥2+∂𝑔23/∂𝑥2-∂𝑔22/∂𝑥3]         𝛤122 = (1/2)(1)[∂(0)𝑔/∂𝜙 + ∂(0)𝑔/∂𝜙 - ∂𝑟2/∂𝑟] + (1/2)(0)[∂𝑔22/∂𝜙 + ∂𝑔22/∂𝜙 - ∂𝑟2/∂𝜙] + (1/2)(0)[∂(0)𝑔/∂𝜙 + ∂(0)𝑔/∂𝜙 - ∂𝑟2/∂𝑧]         𝛤122 = (1/2)(1)[0 + 0 - 2𝑟] + 0 + 0 = -𝑟. 이것은 𝜙방향으로 움직이면 기저벡터 𝛟가 원점에서 거리가 -𝑟인 성분을 갖음를 의미합니다.           또한 이와 유사 방법으로 모두를 구하면, '0'이 아닌 크리스토펠 기호값은 𝛤212 = 𝛤212 = 1/𝑟.  ▮      5.8 Covariant differentiation 공변미분      ∘  공변미분이란 vector나 텐서-반변, 공변, 혼합텐서-를 미분함에 있어서, 기저벡터의 크기와 방향의 변화를 포함하는 것을 가리킵니다.         이런 도함수 유형을 "공변도함수"라고 부르는데, 이는 유클리드 공간에서뿐만 아니라 일반상대성의 휘어진 리만 공간에서도 적용됩니다.         또한 3차원 유클리드 공간에 묻힌 곡면의 한 접평면상 vector가 방향은 유지한 채, 다른 곳의 접평면으로 '평행운송'하는 수단이 됩니다.         ∂𝐀/∂𝑥𝑗 =  ∂𝐴𝑖𝐞𝑖)/∂𝑥𝑗 = (∂𝐴𝑖/∂𝑥𝑗)𝐞𝑖 + 𝐴𝑖(∂𝐞𝑖 /∂𝑥𝑗) = (∂𝐴𝑖/∂𝑥𝑗)𝐞𝑖 + 𝐴𝑖(𝛤𝑘𝑖𝑗𝐞𝑘) = (∂𝐴𝑖/∂𝑥𝑗 + 𝐴𝑘𝛤𝑖𝑘𝑗)𝐞𝑖.  <- 우변의 합지수를 𝑖->𝑘,  𝑘->𝑖      ∘  공변도함수는 다음과 같이 정의합니다.  𝐴𝑖;𝑗 ≡ ∂𝐴𝑖/∂𝑥𝑗 + 𝐴𝑘𝛤𝑖𝑘𝑗,  𝐴𝑖;𝑗 ≡ ∂𝐴𝑖/∂𝑥𝑗 - 𝐴𝑘𝛤𝑘𝑖𝑗.   (5.24,25)  <- '텐서 해석 개론' 유도과정 참조      ∘  위 식을 명확하게 알기 위해서, 예로서 원기둥좌표계 (𝑟, 𝜙, 𝑧)에서 vector 𝐀의 𝜙에 대한 공변도함수를 고려해본다면,          𝐴𝑟;𝜙 =  ∂𝐴𝑟/∂𝜙 + 𝐴𝑟𝛤𝑟𝑟𝜙 + 𝐴𝜙𝛤𝑟𝜙𝜙 + 𝐴𝑧𝛤𝑟𝑧𝜙 = ∂𝐴𝑟/∂𝜙 + 0 + 𝐴𝜙(-𝑟) + 0,   (<- 𝑧축은 직교하므로 고려하지 않음)          𝐴𝜙;𝜙 =  ∂𝐴𝜙/∂𝜙 + 𝐴𝜙𝛤𝜙𝑟𝜙 + 𝐴𝑟𝛤𝜙𝜙𝜙 + 𝐴𝑧𝛤𝜙𝑧𝜙 = ∂𝐴𝜙/∂𝜙 + 𝐴𝑟(1/𝑟) + 0 + 0,  ∴  ∂𝐀/∂𝜙 = (∂𝐴𝑟/∂𝜙 - 𝑟𝐴𝜙)𝐞𝑟 + {∂𝐴𝜙/∂𝜙 + (1/𝑟)𝐴𝑟}𝐞𝜙.  ▮      ∘  2차 tensor의 경우는,  𝐴𝑖𝑗;𝑘 = ∂𝐴𝑖𝑗/∂𝑥𝑘 + 𝐴𝑙𝑗𝛤𝑖𝑙𝑘 + 𝐴𝑖𝑙𝛤𝑗𝑙𝑘,   𝐵𝑖𝑗 ;𝑘 = ∂𝐵𝑖𝑗/∂𝑥𝑘 - 𝐵𝑙𝑗𝛤𝑙𝑖𝑘 - 𝐵𝑖𝑙𝛤𝑙𝑗𝑘,   𝐶𝑖𝑗 ;𝑘 = ∂𝐶𝑖𝑗/∂𝑥𝑘 + 𝐶𝑙𝑗𝛤𝑖𝑙𝑘 - 𝐶𝑖𝑙𝛤𝑙𝑗𝑘.      5.9 Vectors and one-forms 벡터와 one-form      ∘  근래에 발간된 일반상대성에 관한 물리학 텍스트들에서는 "코벡터(covector)"와 "ond-form"이란 용어를 더 선호하여, 우리가 설명해온         반변성분과 공변성분에 대한 언급이 적은 것에 놀랄지도 모릅니다. 하지만 나-저자-는 "전통적" 표현법과 "현대적" 접근법 모두 가치가         있다고 믿습니다. 왜냐하면 그 차이가 핵심 개념에 있는 것이 아니고 "관점(perspective)"에서 생기기 때문입니다. 현대적인 용어법으로는         vector는 반변적 양으로 변환하고, one-form은 공변적 양으로 변환합니다. 속도같이 분자에 길이 차원이 있으면 자연히 vector 범주에         적합하고, 스칼라장의 기울기처럼 분모에 길이 차원이 있는 양들은 자연히 one-form 범주에 속합니다. Figure 5.3에서 표현된 vector처럼         화살표의 각도와 길이는 방향과 크기를 나타내고 one-form은 그 방향에 수직으로 있는 surface들로서 그 간격이 크기에 반비례합니다.      ∘  전통적으로 반변벡터와 공변벡터의 곱이 메트릭텐서 없이 스칼라를 만드는 것 처럼, vector는 원래 기저벡터로써 확장하고 one-form은         전통적으로 쌍대기저벡터인 기저 one-form으로 확장하여 vector와 one-form의 곱이 불변량(스칼라)을 생성합니다. 그러한 곱의 아주 좋은         도식적 표현 중 하나가 다수의 one-form surface들을 vector의 화살표가 관통하며 스칼라를 만드는 것입니다.          ∘  현대적 접근법을 사용하는 저자들은 종종 vector와 one-form을 연산자(operator)로서 역할을 강조하여 one-form들이 vector들을 "취해서         (take)" 스칼라를 만든다는 식의 언급을 만날 것입니다. 마찬가지로, 고차 tensor는 다중의 vector와 또는 one-form을 취해서 스칼라를         만듭니다. 이 관점으로는, 메트릭텐서는 두개의 vector나 두개의one-form을 취하여 스칼라곱을 만드는 하나의 연산자이며, 메트릭텐서의         성분은 그 기저벡터나 one-form을 제공하는 것으로  발견되기도 할 것입니다. p.s. 'A Student's Guide to Vectors and Tensors'(Daniel A. Fleisch 2012, Cambridge University Press) Chapter 5 내용입니다.        * The Christoffel symbols of the first kind  <- '텐서 해석 개론'과 'Differential Geometry and Relativity Theory' 참조

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