Introduction to Special Relativity (3)

J.B. Hartle Gravity (Addison-Wesley 2003);  L.D. Landau & E.M. Lifshitz The Classical Theory of Fields (4th ed. Butterworth-Heinemann 1986)



Special Relativistic Mechanics(특수상대성 역학)

* 앞으로는 상대성이론에서 일반화 된 시간 대신 광속 c (299792458m/s) = 1 단위 거리(units length)로 환산하는 질량-길이 시스템 ML(mass-length) system을 주로 사용합니다.*

5.1  4벡터(Four-Vectors)

   4-벡터(four-vectors)란 4차원 시공간 벡터이며 그림처럼 시간성(timelike), 공간성(spacelike), 널(null) four-vectors가 있으며, 널4-벡터는 비유클리드 기하에서 길이가 0입니다. 앞으로 간혹 그냥 벡터(vector)라고 할 때에도 보통 4-벡터(four-vectors)를, 기저벡터(basis vector)는 기저 4-벡터basis four-vectors를 가르키는 것으로 간주하시기 바랍니다.

𝐚 = at𝐞t + ax𝐞x + ay𝐞y + az𝐞z            <5-1a>  <-  '𝐚'와 같이 굵은 글자(boldface letters)는 벡터를, '𝐞'는 기저벡터(basis vectors)를 가리킴.
𝐚 = a0𝐞0 + a1𝐞1 + a2𝐞2 + a3𝐞3            <5-1b> 
  3α=0 aα𝐞α            <5-1c>  <-  아래와 같이 Einstein summation convention(아인슈타인 합산 규약)으로 표기 가능
𝐚 = aα𝐞α            <5-1d>  <-  Greek indices: 0~3 합산, Roman indices: 1~3 합산 [Hartle책의 경우, Landau-Lifshitz책에서는 반대임.]

at'= γ(at- Vax),   ax'= γ(ax- Vat),   ay'= ay,    az'= az            <5-2>   <- 벡터의 로렌츠 부스트(Lorentz Boost of a Vector)

𝐚 ∙ 𝐛 = (aα𝐞α) ∙ (bβ𝐞β) = (𝐞α ∙ 𝐞β) aα bβ            <5-3>
ηαβ ≡ 𝐞α ∙ 𝐞β            <5-4>
𝐚 ∙ 𝐛 = ηαβ aα bβ            <5-5>
(Δs) ² =  Δx ∙ Δx            <5-6>
           ┃-1   0   0   0 ┃
ηαβ =  ┃ 0   1   0   0 ┃            <5-7>   <- 평평 시공간의 계량(Mertic of Flat Spacetime)
           ┃ 0   0   1   0 ┃
           ┃ 0   0   0   1 ┃
ds ²  = ηαβdxα dxβ            <5-8>
𝐚 ∙ 𝐛 = -at bt + ax bx + ay by + az bz            <5-9>
𝐚 ∙ 𝐛 = -a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3            <5-10>

Landau-Lifshitz 책(pp.14-15) 에서는 Hartle 책과 달리 4-벡터의 두 타입의 요소들을 도입하는 데, Hartle 책은 나중에 도입할 것으로 생각됩니다. 
x0 = t,   x1 = x,   x2 = y,   x3 = z  ->   ds² =  (x0)² - (x1)² - (x2)² - (x3)².
                  <-  (timelike interval)² = -(spacelike interval)²,  Landau-Lifshitz 책은 timelike interval을 사용.
A0 = γ(A'0 + VA'1),  A1 = γ(A'1 + VA'0), A2 = A'2A3 = A'3.            <5-11>     <- <5-2>와 같은 벡터의 로렌츠 부스트인데 관성계 순서가 다른 식임.

(radius of A)²  =  (A0)² - (A1)² - (A2)² - (A3)². 여기서  A𝑖 contravariant element(반변 요소)A𝑖 covariant element(공변 요소)를 도입합니다.
A0= A0,   A1= -A1,   A2= -A2,   A3= -A3.            <5-12>
A𝑖A𝑖 =  A0A0 +  A1A1 + A2A2 + A3A3.            <5-13>
A𝑖B𝑖 =  A0B0 +  A1B1 + A2B2 + A3B3.            <5-14>   <-  A𝑖B𝑖: 4-스칼라(four-scala),  관성계간에서 불변하는invariant 양.

5.2  특수상대성 운동학(Special Relativistic Kinematics)

위 두번째 그림은 단순히 가속된(simple accelerated)의 세계선의 예로서 고유시간 τ로서 매개변수적으로 표시된 세계선을 보여줍니다. [화살표 𝐮 는 아래의 4-속도(four-velocity)]

xα = xα(τ)  <- τ: 고유시간(proper time)            <5-15>
t(σ) = a-1sinh(σ),   x(σ) =  a-1cosh(σ)            <5-16>
dτ² = -ds²  = dt² - dx² =  [a-1cosh(σ)dσ]² - [a-1sinh(σ)dσ]² = (a-1dσ)²            <5-17>   <- cosh²(σ) - sinh²(σ) = 1
t(τ) = a-1sinh(aτ),   x(τ) = a-1cosh(aτ)            <5-18>

위 세번째 그림은 앞에서 말한 입자의 세계선(particle's worldline)의 곡선에서 두번째 그림에서와 마찬가지로 접선벡터(tangent vector) 𝐮를 보여주고 있습니다.

𝐮α = dxα /dτ            <5-19>   <-  𝐮: 4-속도(four-velocity)
𝐮t = dt /dτ = 1 / √ (1 - V²) = γ            <5-20>   <- <3-2> dτ = dt √ (1 - V²/c²) in MLT system.
𝐮x =  dx /dτ  =  𝑉x / √ (1 - V²)                                 <5-21>
𝐮α = (γ, γ 𝑉             <5-22>   <-  𝑉 = (𝑉x, 𝑉y, 𝑉z): 입자의 3-속도(three-velocity)
𝐮 ∙ 𝐮 = -1   [Normalization of four-velocity]            <5-23>   <- <5-9> 𝐮 ∙ 𝐮 = -γ² + γ² V²  = - (1 - V²) / (1 - V²) = -1,   normalization: 규격화
𝐮 ∙ 𝐮 =  ηαβ [dxα /dτ] [dxβ /dτ]  = -1            <5-24>
𝐮𝑖 ∙ 𝐮𝑖 = 1    [Normalization of four-velocity]            <5-25>  <-  [Landau-Lifshit pp.23-24] 시간성 간격(timelike interval)을 표기함.

5.3  특수상대성 동력학(Special Relativistic Dynamics)

<운동 방정식(Equation of Motion)>

d𝐮/dτ =             <5-26>  <- Newton's First Law(뉴톤의 제1법칙) ∵ <5-22>에서 V가 등속임으로
𝐚 ≡ d𝐮/            <5-27> <- 𝐚: four-acceleration(4-가속도)
𝐟 = 𝑚 d𝐮            <5-28>  <- Newton's Second Law(뉴톤의 제2법칙)
𝐟 ∙ 𝐮 = 0            <5-29>  <- d(𝐮 ∙ 𝐮) /dt = 0,   𝐮 ∙ 𝐚 = 0.
위 두번째 그림에서 가속도의 크기(the magnitude of acceleration): (𝐚 ∙ 𝐚)1/2 = a      <5-30>  <- at ≡ dut/dt = asinh(aτ),  ax ≡ dux/dt = acosh(aτ),  cosh²(aτ) - sinh²(aτ) = 1.

<에너지-운동량(Energy-Momentum)>

𝐩 = 𝑚 𝐮               <5-31> <-  𝐩: 4-운동량(four-monentum)
d𝐩/dτ = 𝐟              <5-32>
𝐩² ≡ 𝐩 ∙ 𝐩 = -𝑚²            <5-33>
pt = 𝑚 γ,  𝑃 = 𝑚 γ                <5-34> <-  𝑃: 3-운동량(three-momentum),  𝑉: 3-속도(three-velocity)
pt = 𝑚 + 𝑚 𝑉²/2 + ..., 𝑃  = 𝑚 𝑉 + .            <5-35> <-  𝑉 ≪ 1  빛의 속도보다 아주 느릴 때 'γ'의 테일러 급수(Tayler's series): (1+x)-1/2 = 1 - x/2 + 3x² /8 - ..., [x = -𝑉²
] pα = (𝐸, 𝑃 ) = (𝑚 γ,  𝑚 γ             <5-36> <-  𝐸: 에너지(energy) 𝐸 ≡ pt, ∴ 𝐸 = γ𝑚c²  in MLT system.
         𝐸 = (𝑚² + 𝑃 )1/2              <5-37> <- <5-33>에서 𝐩² = -𝑚² = -(Pt)² + 𝑃² = -𝐸² + 𝑃²,  𝐸² = 𝑚²
+ 𝑃² 𝐸 = 𝑚 c² [when 𝑃  = 0]              <5-38> <-  in MLT system, when particle is at rest.  'The Most Famous Equation in Relativity or Physics'
d𝑃 /dt ≡ 𝐹               <5-39> <-  𝐹: 3-힘(three-force),  Newton's Third Law(뉴톤의 제3법칙) ∵ 모든 관성계에서 3-힘이 보존됨.
𝐟 = (γ 𝐹 ∙ 𝑉, γ             <5-40> <-  Why [𝑓 t = γ 𝐹 ∙ 𝑉]?  <5-20> d𝑃/dτ = (d𝑃/dt) (dt /dτ) = 𝐹 γ
. d𝐸 /dt = 𝐹 ∙ 𝑉              <5-41> <-  Why?

요약한다면 뉴톤 역학(Newtonian mechanics)은 특수상대성 역학(Special relativistc mechanics)의 낮은 속도에서의 근사(approximation)인 것입니다.

p.s. <5-40><5-41> 두 식을 아직 엄밀하게(rigorously) 이해하지 못하고 있습니다.

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