장이론에서 가장 간단한 경우인 시공간에 정의된 하나의 단일한 참 스칼라장 𝜙(𝑥𝜇)을 고려한다. 우리는 또한 국지 장이론에 국한시켜서 이차도함수나
삼차도함수는 Lagrangian 𝐿에 나타나지 않는다. 시발점으로 Newton 역학을 위한 Lagrangian (19.2)에서 일반 좌표계는 field 𝜙(𝑥𝜇)로, 그리고 시간
도함수는 시공간의 위치에 따른 도함수들로 대치하면, 합리적인 Lagrangian의 선택은 다음이 된다.
𝐿 = 1/2 𝑔𝜇𝜈(𝛻𝜇𝜙)(𝛻𝜈𝜙) - 𝑉(𝜙), (19.24)
여기서 첫째 항은 대강 그 field의 '운동 에너지'로 둘째 항은 'potential energy'로 간주될 수 있다.
𝑆 = ∫𝓡 [1/2 𝑔𝜇𝜈(𝛻𝜇𝜙)(𝛻𝜈𝜙) - 𝑉(𝜙)]√-𝑔 𝑑4𝑥. (19.25)
우리는 𝜙에 대해서 변화하시키는 이 작용에 대해서 (19.20)의 EL 방정식을 편리하게 사용할 수 있다. 그래서 우리는 다음을 갖는다.
∂𝐿/∂𝜙 = -𝑑𝑉/𝑑𝜙 and ∂𝐿/∂(𝛻𝜇𝜙) = {∂/∂(𝛻𝜇𝜙)}[1/2 𝑔𝜌𝜎(𝛻𝜌𝜙)(𝛻𝜎𝜙)],
∂𝐿/∂(𝛻𝜇𝜙) = 1/2 𝑔𝜌𝜎[𝛿𝜇𝜌(𝛻𝜎𝜙) + (𝛻𝜌𝜙)𝛿𝜇𝜎] = 1/2 (𝑔𝜇𝜎𝛻𝜎𝜙 + 𝑔𝜌𝜇𝛻𝜌𝜙) = 𝑔𝜇𝜈𝛻𝜈𝜙,
그래서 EL 방정식 (19.20)은 다음이 된다.
-𝑑𝑉/𝑑𝜙 - 𝛻𝜇(𝑔𝜇𝜈𝛻𝜈𝜙) = 0.
metric tensor의 공변 도함수는 0이므로, 다음으로 정리된다.
□2𝜙 + 𝑑𝑉/𝑑𝜙 = 0. (19.26)
여기서 □2 ≡ 𝛻𝜇𝛻𝜇 = 𝑔𝜇𝜈𝛻𝜇𝛻𝜈 이고, 그 d'Alembert 공변(covariant) 연산자이다.*
potential을 위한 한 공통의 선택은 𝑉 = 1/2 𝑚2𝜙2 이고, 여기서 𝑚은 그 스칼라장의 역학의 특성을 나타내는 한 상수인 매개변수이다.
그래서 장방정식 (19.26)은 다음이 된다.
□2𝜙 + 𝑚2𝜙 = 0,
이것은 Klein-Gordon 방정식으로 알려져 있다. 이 장방정식은 양자화에 의해서**, 그들의 서로간의 중력 작용 이외에는 상호 작용이 없는 질량 𝑚의
중성적 spin이 없는 입자들의 집합을 기술한다.
19.7 Electromagnetism from a variational principle (변분적 원리로부터의 전자기학)
전자기학은 (Chapter 6 에서 논의됨) 벡터장 𝐴𝜇 항으로 기술될 수 있다. 그러므로 우리는 Section (19.2)의 일반적 기술을 이용하면, 그 field 𝛷𝑎 (𝑎 =
1,..., 4) 는 이 벡터장의 성분들이고 따라서 𝑎는 시공간 지수이다. 변분 원리의 용어로 전자기장의 동역학을 기술하려면 우리는 또다시 𝐴𝜇와 그 일차
도함수의 한 함수이며 일반 좌표변환하에서 한 스칼라장으로서 거동하는 한 Lagrangian 𝐿을 구성함으로써 시작한다. 우리는 처음부터 임의의 좌표계를
가정할 것이다.
전자기학의 경우에는 그렇지만 (chapter 6 에서 처럼) 그 이론이 gauge 불변성 을 소유하여 다음 식이 성립힌다.
𝐴'𝜇 = 𝐴𝜇 + 𝛻𝜇𝜓 = 𝐴𝜇 + ∂𝜇𝜓, (19.27)
여기서 𝜓는 어떤 스칼라장이다. 이러한 gauge 불변성을 갖는 전자기 장-강도 tensor는 [Dirac의 GR의 (23.7) 참조] 다음으로 정의된다.
𝐹𝜇𝜈 = 𝛻𝜇𝐴𝜈 - 𝛻𝜈𝐴𝜇 = ∂𝜇𝐴𝜈 - ∂𝜈𝐴𝜇. (19.28)
장-강도 tensor로부터 구축된 가장 명백한 scalar는 단순히 𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝜌𝑔𝜈𝜎𝐹𝜌𝜎𝐹𝜇𝜈.
나중의 편의를 위해 한 인자 -1/(4𝜇0)를 포함하여 우리는 그 Lagrangian의 '자유-장'(free-field) 부분을 다음으로 취할 것이다.
𝐿𝑓 = -1/(4𝜇0) 𝑔𝜇𝜌𝑔𝜈𝜎(𝛻𝜌𝐴𝜎 - 𝛻𝜎𝐴𝜌)(𝛻𝜇𝐴𝜈 - 𝛻𝜈𝐴𝜇).
추가로 우리는 어떤 현존하는 대전 물질의 4-전류 밀도 𝑗𝜇를 기술하기 위해서 그 Lagrangian 안에 '상호작용 항'을 포함해야만 한다.
전자기장과 전류 밀도로부터 구축할 수 있는 가장 직설적인 scalar는 𝑗𝜇𝐴𝜇이고, 그 상호작용 항은 𝐿𝑖 = -𝑗𝜇𝐴𝜇로 취할 것이다. 그래서 총 Lagrangian은
𝐿 = 𝐿𝑓 + 𝐿𝑖, 그 작용은 다음으로 읽어진다.
𝑆 = ∫𝓡[-1/(4𝜇0) 𝑔𝜇𝜌𝑔𝜈𝜎(𝛻𝜌𝐴𝜎 - 𝛻𝜎𝐴𝜌)(𝛻𝜇𝐴𝜈 - 𝛻𝜈𝐴𝜇) - 𝑗𝜇𝐴𝜇]√-𝑔 𝑑4𝑥. (19.29)
여기서 상호작용 항 -𝑗𝜇𝐴𝜇는 gauge 불변성이 없어 보이기 때문에 gauge 변형 (19.27)식을 사용하면 그 항은 다음이 된다.
-∫𝓡[𝑗𝜇𝐴𝜇 + 𝑗𝜇(𝛻𝜇𝜓)]√-𝑔 𝑑4𝑥 = -∫𝓡[𝑗𝜇𝐴𝜇 + 𝛻𝜇(𝑗𝜇𝜓) - (𝛻𝜇𝑗𝜇)𝜓)]√-𝑔 𝑑4𝑥.
우측변의 둘째 항은 발산 정리 (19.19)를 사용하면 경계 ∂𝓡위에 표면 적분으로 쓸 수 있고, 경계 조건을 공간 무한대로 하면 그 표면 적분은 사라진다.
따라서 그 source 𝑗𝜇가 다음의 공변 연속 방정식을 만족하게 되고, 그 상호작용 항의 작용 부분은, 실제로는, gauge 불변성를 갖고 있으며
𝛻𝜇𝑗𝜇 = 0,
또한 거기서 그 gauge 불변성의 요건은 전하의 보전(conservation of charge)을 암시한다. 즉, 작용 (19.29)는 일반 좌표 변환하에서 한 scalar이다.
이제 (그 source 𝑗𝜇를 고정으로 유지하면서) 이 작용안의 field 𝐴𝜇를 변화를 초래하는 EL 방정식을 결정하도록 하라. 이 경우는 다음이 된다.
∂𝐿/∂𝐴𝜈 - 𝛻𝜇[∂𝐿/∂(𝛻𝜇𝐴𝜈)] = 0, (19.30)
∂𝐿/∂𝐴𝜈 = -𝑗𝜇𝛿𝜈𝜇 = -𝑗𝜈, (19.31)
또한 (19.30)의 좌변의 둘째 항을 정리하기 위해서 dummy의 label를 조정하고, 편의성을 위해 𝛻𝜇𝐴𝜈 - 𝛻𝜈𝐴𝜇 = 𝐹𝜇𝜈 로 쓰면 우리는 다음을 갖는다.
∂𝐿/∂(𝛻𝜇𝐴𝜈) = ∂/∂(𝛻𝜇𝐴𝜈)[-1/(4𝜇0)𝑔𝛼𝜌𝑔𝛽𝜎𝐹𝜌𝜎𝐹𝛼𝛽] = -1/(4𝜇0)𝑔𝛼𝜌𝑔𝛽𝜎[(𝛿𝜇𝜌𝛿𝜈𝜎 - 𝛿𝜇𝜎𝛿𝜈𝜌)𝐹𝛼𝛽 + 𝐹𝜌𝜎(𝛿𝜇𝛼𝛿𝜈𝛽 - 𝛿𝜇𝛽𝛿𝜈𝛼)]
= -1/(4𝜇0) (𝑔𝛼𝜇𝑔𝛽𝜈 - 𝑔𝛼𝜈𝑔𝛽𝜇)𝐹𝛼𝛽 - 1/(4𝜇0) (𝑔𝜇𝜌𝑔𝜈𝜎 - 𝑔𝜈𝜌𝑔𝜇𝜎)𝐹𝜌𝜎 = -1/(4𝜇0) (𝐹𝜇𝜈 - 𝐹𝜈𝜇) - 1/(4𝜇0) (𝐹𝜇𝜈 - 𝐹𝜈𝜇) = -1/𝜇0 𝐹𝜇𝜈.
이 결과를 (19.31)과 결합하면, EL 방정식 (19.30)은 다음으로 읽어진다.
𝛻𝜇𝐹𝜇𝜈 = 𝜇0𝑗𝜈,
이것은 Section (7.7)에서 주어진 한 임의 좌표에서의 불균일한 Maxwell 방정식을 위한 그것과 같은 표현이다. 남아있는 균일한 Maxwell 방정식들은
장-강도 tensor (19.28) 정의로부터 저절로 만족된다. 왜냐하면
𝛻𝜎𝐹𝜇𝜈 + 𝛻𝜈𝐹𝜎𝜇 + 𝛻𝜇𝐹𝜈𝜎 = ∂𝜎𝐹𝜇𝜈 + ∂𝜈𝐹𝜎𝜇 + ∂𝜇𝐹𝜈𝜎 = 0.
이상의 유도는 작용 접근법이 그 이론을 위한 가능한 형태들을 제한하고 이론 안의 대칭성이 밝혀지도록 허용하는 자연스러운 방법임을 예증한다.
19.8 The Einstein-Hilbert action and general relativity in vacuo (진공에서의 Einstein-Hilbert 작용과 일반상대성)
진공에서의 일반상대성의 한 작용을 구성하기 위해서, 우리는 일반 좌표변환하에서 한 scalar이며, metric tensor 𝑔𝜇𝜈(지금은 동역학 field들이다)의
성분과 그 일차- 또는 가능하게는 고차도함수에 의존하는 한 Lagrangian 𝐿을 정의하여야만 한다. 이 모든 것을 충족하는 것은 Ricci scalar 𝑅이므로,
그래서 다음의 Einstein-Hibert 작용으로 곧바로 인도된다.
𝑆𝐸𝐻 = ∫𝓡 𝑅√-𝑔 𝑑4𝑥. (19.30)
Lagrangian 𝐿𝐸𝐻 = 𝑅 은 이제 metric tensor에 의존하므로 Lagrangian 밀도 𝓛 = 𝑅√-𝑔의 용어로 작업하기는 것이 더 편리하다. 결과적 EL 방정식은
(19.14)의 형태를 취하게 되어 이 경우는 다음으로 읽어진다.
∂𝓛/∂𝑔𝜇𝜈 - ∂𝜎[∂𝓛/∂(∂𝜎𝑔𝜇𝜈)] + ∂𝜌∂𝜎[∂𝓛/∂(∂𝜌∂𝜎𝑔𝜇𝜈)] = 0.
불행하게도 이 접근법이 논리상으로는 직설적이기는 하지만, 위 방정식의 각 항이 엄청난 대수의 작업량을 수반하므로 이 방법을 택하지 않는다. 대신,
우리는 metric tensor의 변분에서 결과하는 작용의 변분을 직접 고려하게 될 것이다.
그러므로 우리는 다음으로 주어지는 metric tensor의 한 변분을 고려하도록 한다.
𝑔𝜇𝜈 → 𝑔𝜇𝜈 + 𝛿𝑔𝜇𝜈,
여기서 𝛿𝑔𝜇𝜈와 그 일차도함수 는 지역 𝓡의 경계 ∂𝓡에서 사라진다. 역 metric 성분들안에서 해당하는 변분 𝛿𝑔𝜇𝜈를 결정하는 것이 꽤 유용하다.
이것은 𝑔𝜇𝜌𝑔𝜌𝜈 = 𝛿𝜇𝜈 의 관계로부터 가장 쉽게 얻을 수 있다. 이 변분에서 일차도함수는 다음으로 쓸 수 있다.
𝛿𝑔𝜇𝜌𝑔𝜌𝜈 + 𝑔𝜇𝜌𝛿𝑔𝜌𝜈 = 0. (19.33)
𝑔𝜈𝜎를 곱하고, 지수의 label을 바꾸고 재정리하면, 다음을 얻는다.
𝛿𝑔𝜇𝜈 = -𝑔𝜇𝜌𝑔𝜈𝜎𝛿𝑔𝜌𝜎.
Ricci scalar를 𝑅 = 𝑔𝜇𝜈𝑅𝜇𝜈로 쓰면 Einstein-Hibert 작용 (19.32)에서 일차 변분은 다음으로 쓸 수 있다.
𝛿𝑆𝐸𝐻 = ∫𝓡 𝛿𝑔𝜇𝜈𝑅𝜇𝜈√-𝑔 𝑑4𝑥 + ∫𝓡 𝑔𝜇𝜈𝛿𝑅𝜇𝜈√-𝑔 𝑑4𝑥 + ∫𝓡 𝑔𝜇𝜈𝑅𝜇𝜈𝛿(√-𝑔) 𝑑4𝑥 = 𝛿𝑆1 + 𝛿𝑆2 + 𝛿𝑆3. (19.34)
장방정식을 유도하기 위해서 먼저 둘째항에 촛점을 맞추고 𝛿𝑅𝜇𝜈을 metric tensor의 변분 𝛿𝑔𝜇𝜈의 용어로 쓰도록 한다. 이는 전체 곡률 tensor 안에서의
변분 𝛿𝑅𝜎𝜇𝜈𝜌을 축약함으로써 곧바로 얻을 수 있다. 그 곡률 tensor는 다음으로 주어진다.
𝑅𝜎𝜇𝜈𝜌 = ∂𝜈𝛤𝜎𝜇𝜌 - ∂𝜌𝛤𝜎𝜇𝜈 + 𝛤𝜏𝜇𝜌𝛤𝜎𝜏𝜈 - 𝛤𝜏𝜇𝜈𝛤𝜎𝜏𝜌.
먼저 연결 계수의 임의 변분으로부터 결과하는 곡률 tensor의 변분을 고려하도록 하라.
𝛤𝜎𝜇𝜈 → 𝛤𝜎𝜇𝜈 + 𝛿𝛤𝜎𝜇𝜈.
Tesnsor의 정체성을 증명하려면 어떤 임의의 점 𝑃에서의 국지 geodesic 좌표에서 작업하는 것아 가장 쉽다. 그런 좌표계에서 𝛤𝜎𝜇𝜈(𝑃) = 0 이고, 그
점 𝑃에서 우리는 다음을 갖는다.
𝛿𝑅𝜎𝜇𝜈𝜌 = ∂𝜈(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜌) - ∂𝜌(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜈).
편도함수와 공변도함수는 점 𝑃에서 일치하며 그래서.
𝛿𝑅𝜎𝜇𝜈𝜌 = 𝛻𝜈(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜌) - 𝛻𝜌(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜈). (19.35)
그 결과 (19.35)는 일반적으로 임의의 좌표계에서 유효하며, 그것은 Palatini 방정식 으로 알려져 있다. 해당하는 Ricci tensor의 변분은 (19.35)에서
𝜎와 𝜌를 축약함으로써 얻으며 다음을 제공한다. 또한 이어서 (19.34)의 둘째 항을 적는다.
𝛿𝑅𝜇𝜈 = 𝛻𝜈(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜎) - 𝛻𝜎(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜈). (19.36)
𝛿𝑆2 = ∫𝓡 𝑔𝜇𝜈[𝛻𝜈(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜎) - 𝛻𝜎(𝛿𝛤𝜎𝜇𝜈)]√-𝑔 𝑑4𝑥 = ∫𝓡 𝛻𝜈 (𝑔𝜇𝜈𝛿𝛤𝜎𝜇𝜎 - 𝑔𝜇𝜎𝛿𝛤𝜈𝜇𝜎)√-𝑔 𝑑4𝑥,
마지막 항에서 역metric의 공변도함수거 사라짐을 사용하고,※ 둘째 항의 지수의 label을 조정하였다. 우리가 발산 정리 (19.19)를 사용하면 연결 계수의
변분이 그 경계 ∂𝓡에서 사라지도록 하면, 𝛿𝑆2는 그 경계에서 사라진다. 이것은 그 metric tensor와 그 일차도함수가 𝛿𝑆2에서 사라짐을 의미한다.
이제는 우리는 (19.34)의 셋째 항을 보게 되는데, 거기의 𝛿√-𝑔를 변분 𝛿𝑔𝜇𝜈의 용어로 표현하여야 한다. 𝑔 = det[𝑔𝜇𝜈] 이므로 이 determinant에서 그
cofactor는 𝑔𝑔𝜇𝜈이고 다음이 되고, 이어서 대입할 식을 갖게 되고 (19.34)의 셋째 항에 대입하면 마침내 Einstein-Hilbert 작용을 발견하게 된다.
𝛿𝑔 = 𝑔𝑔𝜇𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈 = -𝑔𝑔𝜇𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈,
𝛿√-𝑔 = -1/2 (-𝑔)-1/2𝛿𝑔 = 1/2 √-𝑔𝑔𝜇𝜈𝛿𝑔𝜇𝜈. (19.37)
𝛿𝑆𝐸𝐻 = ∫𝓡 [𝑅𝜇𝜈 - 1/2 𝑔𝜇𝜈𝑅]𝛿𝑔𝜇𝜈 √-𝑔 𝑑4𝑥 . (19.38)
𝛿𝑆𝐸𝐻 = 0 이어야하는 요구에다가 𝛿𝑔𝜇𝜈가 임의적이라는 사실로 우리는 이렇게 다음의 진공에서의 Einstein의 장방정식를 복원하니:
𝐺𝜇𝜈≡ 𝑅𝜇𝜈 - 1/2 𝑔𝜇𝜈𝑅 = 0. (19.39)
이것은 인상적인 결과이다, 왜냐하면 우리는 (19.32)의 작용을 변화시킴으로써 일반상대성의 장방정식을 얻게 되었는데, 우리는 그곳으로 대칭성과
단순성의 바탕에서 자연스럽게 인도되었기 때문이다. 더욱이 사람들이 더 복잡한 작용들을 고려하고자 한다면, 변분법적 formalism은 어떻게 𝑅2, 𝑅3
등에 비례하는 Lagrangian 항을 더함으로써 Einstein의 이론이 수정될 수 있는가를 제시한다. 그 formalism은 또한 대안적 중력의 Lagrangian들을
조사하는 한 수단을 제공한다. 예로써, 𝐿 = 𝑅𝜇𝜈𝜌𝜎𝑅𝜌𝜇𝜈𝜎 의 선택은 Eddington에 의한 한 대안적 일관된 중력 이론으로 인도한다.
※ '역metric의 공변도함수는 사라진다'는 가정 없이도 𝛿𝑆2는 경계에서 사라짐. [Sean Carroll의 GR (p.162) 참조]
* d'Alembert 연산자 □는 삼차원의 편미분 연산자 𝛻에 해당하는 사차원의 공변미분 연산자임.
** 양자화란 고전역학에서 양자역학으로의 이전 과정으로서 결과는 여기 범위를 넘어섬.
