19. A variational approach to general relativity (일반상대성에의 한 변분적 접근)
19.1 Hamilton's principle in Newtonian mechanics (Newton 역학에서의 Hamilton의 원리)
∘ Hamiiton의 원리는 시간 𝑡1의 configuration으로부터 시간 𝑡2에서의 다른 것으로 이동하는 데에 있어서 다음의 작용을 정상적으로 만드는 하나의 계를
제시한다.
𝑆 = ∫𝑡2𝑡1 𝐿(ua, ůa, 𝑡) 𝑑𝑡. (a = 1, 2,..., n) (19.1) **
Lagrangian 𝐿은 (어떤 참고 상황에 대해서) 운동에너지 𝑇와 potential energy 𝑉의 용어로, 𝐿 = 𝑇 - 𝑉 식에 의해 정의된다. 여기서 𝑉는 ua(그리고 혹은 𝑡)
의 함수이나 ůa의 함수는 아니다. Section 3.19에서 정의한 것처럼 좌표계는 한 configuration 공간 을 선 요소인 𝑑𝑠2 = 𝑔ab𝑑𝑢a𝑑𝑢b 로 정의한다. 예를
들면, 질량 𝑚의 입자를 위한 Lagrangian은 다음과 같이 쓸 수 있다.
𝐿 = 𝑇 - 𝑉 = (1/2)𝑚𝑔ab𝑑ůa𝑑ůb - 𝑉 (19.2)
∘ 일반적 표현 (19.1)로 돌아가면 우리는 configuration 공간에서의 궤도안의 한 임의 변분을 다음과 같이 고려하도록 하고,
ua(t) → u'a(t) = ua(t) + 𝛿ua(t)
작용 속의 해당하는 변분 𝛿𝑆가 사라지도록 요구하도록 하라.* 끝점 𝑡1과 𝑡2에서 𝛿ua(t) = 0 라고 가정하면 Lagrangian 𝐿은 다음의 Euler-Lagrangian
방정식을 만족하여야 한다.
∂𝐿/∂𝑢a - (𝑑/𝑑𝑡)(∂𝐿/∂ůa) = 0, (a = 1, 2,..., n).
∘ Hamiliton의 원리는 불연속 입자의 관념으로부터 연속 system으로 연장될 수 있다. 두 고정돤 점 𝑥 = 0 과 𝑥 = 𝑙 사이에 잡아당겨진 한 유연한 끈을
고려해 보도록 하자. 이 경우에는, 우리는 다시 한 독립된 시간 좌표 𝑡를 갖지만, 이제는 연속체의 맥락에서고 거기서 ua(t)는 그 끈을 위치와 시간의
한 함수로서 횡단하는 이동을 표현하는 연속 변수 𝜙(𝑡, 𝑥)가 된다. (위의 Figure 19.1을 보라). 결과적으로, 𝑇와 𝑉를 위한 표현은 그 label a위에서
합이기보다는 𝑥 위에서의 적분들이 된다. 만일 𝜌(𝑥)와 𝜏(𝑥)가 국지 선 밀도와 끈의 장력이라면 작은 이동에서의 그 끈들의 운동에너지와 potential
energy는 다음으로 주어진다.
𝑇 = ∫𝑙0 1/2 𝜌(∂𝜙/∂𝑡)2 𝑑𝑥 그리고 𝑉 = ∫𝑙0 1/2 𝜏(∂𝜙/∂𝑥)2 𝑑𝑥.
이리하여, 작용 (19.1)은 다음이 된다.
𝑆 ≡ ∫𝑡2𝑡1∫𝑙0 𝓛 𝑑𝑥𝑑𝑡 = ∫𝑡2𝑡1∫𝑙01/2 [𝜌(∂𝑡𝜙)2 - 𝜏(∂𝑥𝜙)2] 𝑑𝑥𝑑𝑡, (19.3)
여기 첫번째 등식에서 우리는 Lagrangian 밀도 𝓛 을 정의했고 마지막 표현에서는 우리는 약기(略記) ∂𝑡 = ∂/∂𝑡 와 ∂𝑥 = ∂/∂𝑥 를 채용했다. 이제 다음
형식의 함수 𝜙에서의 한 임의 변분을 고려하도록 하자.
𝜙(𝑡, 𝑥) → 𝜙'(𝑡, 𝑥) = 𝜙(𝑡, 𝑥) + 𝛿𝜙(𝑡, 𝑥). (19.4)
이것은 다음 식에 의해 작용 (19.1)의 한 변분에 도달한다.
𝛿𝑆 = ∫𝑡2𝑡1∫𝑙0 [{∂𝓛/∂(∂𝑡𝜙)}𝛿(∂𝑡𝜙) + {∂𝓛/∂(∂𝑥𝜙)}𝛿(∂𝑥𝜙)] 𝑑𝑥𝑑𝑡. (19.5)
(19.4)로부터, 𝛿(∂𝑡𝜙 = ∂𝑡(𝛿𝜙) 그리고 𝛿(∂𝑥𝜙 = ∂𝑥(𝛿𝜙) 임을 즉시 유념한다. 이것들을 (19.5)에서 치환하고 한 곱의 미분을 위한 Leibnitz의 법칙-
부분 적분법-을 사용하면, 우리는 다음처럼 쓸 수 있다.
𝛿𝑆 = 𝛿𝑆b - [∂𝑡{∂𝓛/∂(∂𝑡𝜙)} + ∂𝑥{∂𝓛/∂(∂𝑥𝜙)}] 𝛿𝜙𝑑𝑥𝑑𝑡. (19.6)
여기서 '경계'(혹은 '곡면') 용어인 𝛿𝑆b는 다음처럼 사라지고 ... (중략) ... 우리는 다음을 얻는다.
∂𝑡[∂𝓛/∂(∂𝑡𝜙)] + ∂𝑥[∂𝓛/∂(∂𝑥𝜙)] = ∂𝑡(𝜌∂𝑡𝜙) - ∂𝑥(𝜏∂𝑥𝜙) = 0,
여기서, 첫번째 등식에서, 우리는 𝓛의 도함수를 ∂𝑡𝜙와 ∂𝑥𝜙에 대해서 산정하였다. 만일, 닷붙여서, 𝜌와 𝜏가 𝑥나 𝑡에 의존하지 않는다면,
∂2𝜙/∂𝑥2 = (1/𝑐2)∂2𝜙/∂𝑡2,
여기서, 𝑐2 = 𝜏/𝜌. 이것은 한 팽팽하고 균등한 끈의 작은 횡단 진동을 위한 -Newton 역학과 동일한- 파(wave) 방정식이다.
19.2 Classical field theory and the action (고전적 장이론과 그 작용)
(19.3)의 유추에 의해서, 일반적 사차원 다양체에 정의된 field 한 집합을 위한 작용 𝑆 는 Lagragian 밀도라 불리는 어떤 함수 𝓛의 한 적분 형태를
가져야 하며, 그 함수는 시공간의 어떤 사차원 지역 𝓡의 field들 𝚽a과 그 일차(그 이상도 가능)도함수들 위에 형성된다. 그래서 우리는 다음의 작용
적분을 취한다.
𝑆 = ∫𝓡 𝓛(𝚽a, ∂𝜇𝚽a, ∂𝜇∂𝜈𝚽a, ...) 𝑑4𝑥, (19.7)
여기서 𝑑𝑥4는 좌표 미분들 𝑑𝑥0𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3의 곱을 표시한다. 한편 불변량인 부피 요소인 𝑑4𝑉 = √-𝑔 𝑑4𝑥 이고, 여기서 𝑔는 그 좌표계의 계량텐서의
determinant이다. (엄밀한 추론은 Dirac의 GR '20. Tensor densities'를 참고하라.) 그래서 작용 (19.7)은 다음의 형태로 쓸 수 있다.
𝑆 = ∫𝓡 𝐿√-𝑔 𝑑4𝑥,
여기서 field Lagrangian 𝐿을 도입하고, 그것은 다음에 의해 Lagrangian 밀도 𝓛에 분명하게 관련된다.
𝓛 = 𝐿√-𝑔. (19.8)
그래서 어떤 사차원 다양체에 정의된 고전적 장의 한 집합을 위한 작용은 다음으로 쓰여질 수 있다.
𝑆 = ∫𝓡 𝐿(𝚽a, ∂𝜇𝚽a, ∂𝜇∂𝜈𝚽a, ...)√-𝑔 𝑑4𝑥,
여기서 𝐿은 시공간 위치의 한 scalar 함수이다. 우리는 Lagrangian 밀도 𝓛가 한 scalar 밀도라서 좌표계의 변환 시 불변임을 최종적으로 주목한다.
19.3 Euler-Lagrange equation(Euler-Lagrange 방정식)
우리는 이제 다음 형태의 field들에서 작은 변분아래서 작용이 정상인 혹은 불변량임을 요구함으로써 그 filed들 𝚽a들의 방정식을 유도합니다.
𝚽a(𝑥) → 𝚽'a(𝑥) = 𝚽a(𝑥) + 𝛿𝚽a(𝑥). (19.9)
단순성을 위해서, 우리는 장이론이 국지적이라고 가정을 하며, 이는 그 작용에는 이차나 삼차도함수가 나타나지 않음을 뜻합니다. 그래서 우리는
다음의 변분만이 필요합니다.
∂𝜇𝚽a → ∂𝜇𝚽'a = ∂𝜇𝚽a + ∂𝜇(𝛿𝚽a). (19.10)
다음의 사용을 위해서 우리는 (19.9)의 정의로부터 𝛿 연산자가 교환적임에 주목해야 한다. 왜냐하면 그것은 다음의 증명에 의해서이다,
∂𝜇(𝛿𝚽a) = ∂𝜇(𝚽'a - 𝚽a) = ∂𝜇𝚽'a - ∂𝜇𝚽a = 𝛿(∂𝜇𝚽a). (19.11)
(19.8)과 𝑆 → 𝑆 + 𝛿𝑆 로부터 다음이 된다.
𝛿𝑆 = ∫𝓡 𝛿𝓛 𝑑4𝑥 = ∫𝓡 [(∂𝓛/∂𝚽a)𝛿𝚽a + {∂𝓛/∂(∂𝜇𝚽a)}𝛿(∂𝜇𝚽a)] 𝑑4𝑥. (19.12)
여기서 두번째 피적분 항은 (19.11)과 부분 적분에 의해 다음으로 쓸 수 있다.
∫𝓡 {∂𝓛/∂(∂𝜇𝚽a)}∂𝜇(𝛿𝚽a) 𝑑𝑥4 = ∫𝓡 ∂𝜇[{∂𝓛/∂[(∂𝜇𝚽a)}𝛿𝚽a] 𝑑𝑥4 - ∫𝓡 ∂𝜇[∂𝓛/∂(∂𝜇𝚽a)]𝛿𝚽a 𝑑4𝑥.
우리가 허용할 수 있는 변분 𝛿𝚽a이 경계 ∂𝓡에서 사라지도록 처음과 끝 값을 0으로 한정하면 첫 항의 적분은 사라지고, 따라서 (19.2)는 다음이 된다.
𝛿𝑆 ≡ ∫𝓡 (∂𝓛/∂𝚽a)𝛿𝚽a 𝑑4𝑥 = ∫𝓡 [∂𝓛/∂𝚽a - ∂𝜇{∂𝓛/∂(∂𝜇𝚽a)}]𝛿𝚽a 𝑑4𝑥.
여기서 우리는 field 𝚽a에 대한 Lagrangian 밀도의 변분적 도함수 ∂𝓛/∂𝚽a)𝛿𝚽a를 정의한다. 만일 우리가 그 작용이 정상적이기를, 그래서 임의의
변분 𝛿𝚽a아래에서 𝛿𝑆 = 0, 우리는 이렇게 다음 식을 필요로 한다.
∂𝓛/∂𝚽a = ∂𝓛/∂𝚽a - ∂𝜇[∂𝓛/∂(∂𝜇𝚽a)] = 0. (19.13)
이들은 작용 𝑆 = ∫𝓡 𝓛 𝑑4𝑥 로 정의된 (국지적) 장이론의 장방정식에 대응하는 Euler-Lagrangian (EL)방정식이다. 만일, 덧붙여서, Lagrangian 밀도가
이차도함수나 고차도함수에 의존한다면 위의 유도가 곧바로 일반화된다. 예를 들면, 만일 이차도함수가 나타나면 다음 식을 얻는다.
∂𝓛/∂𝚽a)𝛿𝚽a = ∂𝓛/∂𝜇𝚽a)𝛿𝚽a - ∂𝜇[∂𝓛/∂(∂𝚽a)] + ∂𝜇∂𝜈[∂𝓛/∂(∂𝜇∂𝜈𝚽a)] = 0, (19.14)
이것은 변분 𝛿𝚽a와 그 일차도함수가 경계 ∂𝓡에서 사라질 경우이다.
19.4 Aternative form of Euler-Lagrange equation (Euler-Lagrange 방정식의 대안 형식)
∘ 앞의 (19.13) 형태이거나, 혹은 일반화 된 고차도함수의 field들의 EL 방정식은 주어진 작용에 대해 장방정식을 결정하는 직접적인 수단을 제공한다.
특히, 앞으로 나올 중력 작용으로부터 Einstein 장방정식들을 유도할 때 metric tensor 𝑔𝜇𝜈의 성분들이 변화하는 field들 𝚽a에서도 역시 유효하다.
∘ 그럼에도 불구하고, 만일 field들 𝚽a이 metric tensor의 성분이 아니면, Lagrange 밀도의 √-𝑔 인자의 존재가 EL 방정식 (19.13)를 형성한다. 그 경우
field Lagragian 𝐿은 종종 𝚽a과 그 공변 도함수 𝛁𝜇𝚽a로 쓸 수 있다. 이제 앞과 유사한 해설은 생략하고 EL 방정식의 유도를 반복해 보기로 하자.
𝑆 = ∫𝓡 𝐿(𝚽a, 𝛁𝜇𝚽a, 𝛁𝜇𝛁𝜈𝚽a, ..., 𝑔𝜇𝜈,∂𝜎𝑔𝜇𝜈, ...)√-𝑔 𝑑4𝑥. (19.15)
𝛁𝜇𝚽a → 𝛁𝜇𝚽'a = 𝛁𝜇𝚽a + 𝛁𝜇(𝛿𝚽a). (19.16)
𝛿𝑆 = ∫𝓡 𝛿𝐿√-𝑔 𝑑4𝑥 = ∫𝓡 [(∂𝐿/∂𝚽a)𝛿𝚽a + {∂𝐿/∂(𝛁𝜇𝚽a)}𝛿(𝛁𝜇𝚽a)]√-𝑔 𝑑4𝑥. (19.17)
∫𝓡 {∂𝐿/∂(𝛁𝜇𝚽a)}𝛁𝜇(𝛿𝚽a)√-𝑔 𝑑𝑥4 = ∫𝓡 𝛁𝜇[{∂𝐿/∂[(𝛁𝜇𝚽a)}𝛿𝚽a]√-𝑔 𝑑𝑥4 - ∫𝓡 𝛁𝜇[∂𝐿/∂(𝛁𝜇𝚽a)]𝛿𝚽a√-𝑔 𝑑4𝑥. (19.18)
∫𝓡 (𝛁𝜇𝑉𝜇)√∣𝑔∣ 𝑑4𝑥 = ∫∂𝓡 𝑛𝜇𝑉𝜇√∣𝛾∣ 𝑑3𝑦, (19.19) [발산 정리(divergence theorem)를 사용]
여기서 𝑉𝜇는 한 임의 vector field, 𝛾는 좌표 𝑦𝑖의 경계에서의 유도된 metric의 determinant 그리고 𝑛𝜇는 그 경계의 한 단위 법선이다. 이것을 (19.18)의
우측 첫 항에 적용해서, ∂𝓡에서 변분 𝛿𝚽a이 사라지도록, 즉 그 항이 0이 되도록 한정한다.
𝛿𝑆 ≡ ∫𝓡 (∂𝐿/∂𝚽a)𝛿𝚽a√-𝑔 𝑑4𝑥 = ∫𝓡 [∂𝐿/∂𝚽a - 𝛁𝜇{∂𝐿/∂(∂𝜇𝚽a)}]𝛿𝚽a√-𝑔 𝑑4𝑥.
∂𝐿/∂𝚽a = ∂𝐿/∂𝚽a - 𝛁𝜇[∂𝐿/∂(𝛁𝜇𝚽a)] = 0. (19.20)
19.5 Equivalent actions (등가 작용들)
∘ 기민한 독자는 EL 방정식의 (19.3)의 유도에 있어서 작용의 어떤 모호성이 있음을 인지할 것이다. 그것은 항상 전체 도함수의 어떤 지역 𝓡 위에서의
적분을 항상 경계의 표면 ∂𝓡 위로 변환할 수 있다는 사실로부터 유도한다. 우리는 그래서 Lagrangian 밀도의 다음의 수정을 고려하도록 하자.
𝓛 → 𝓛̄̄ = 𝓛 + ∂𝜇𝑄𝜇(𝚽a), (19.21)
여기서 𝑄𝜇는, 일반적으로, 그 field의 네 함수(그러나 그 도함수는 아님)일 수 있다. 그 해당하는 작용은 다음이 된다
.
𝑆̄̄ = 𝑆 + ∫𝓡 ∂𝜇𝑄𝜇 𝑑4𝑥.
그 field들의𝚽a (19.9)의 변분 하에서의 작용의 변분은 다음으로 주어진다.
𝛿𝑆̄̄ = 𝛿𝑆 + ∫𝓡 ∂𝜇(𝛿𝑄𝜇) 𝑑4𝑥 = 𝛿𝑆 + ∫𝓡 ∂𝜇{(∂𝑄𝜇/∂𝚽a)𝛿𝚽a} 𝑑4𝑥.
여기서 우측의 적분 항이 경계 ∂𝓡에서 표면 적분으로 변환될 수 있다, 그 변분 𝛿𝚽a가 사라진다고 가정하면, 𝛿𝑆̄̄ = 𝛿𝑆. 여가서 𝛿𝑆̄̄ = 0 의 요구는
𝛿𝑆 = 0 와 같은 EL 방정식이 되며, 그래서 그 두 작용은 등가(equivalent) 라고 부른다.
위의 논의는 𝓛가 이차- 혹은 삼차도함수를 포함할 경우로 쉽게 연장될 수 있다. 예를 들면 이차도함수를 갖는 경우는 다음이 된다.
𝓛 → 𝓛̄̄ = 𝓛 + ∂𝜇𝑄𝜇(𝚽a, ∂𝜈𝚽a). (19.22)
∘ 앞의 수학적 묘책의 호소력있는 특징에도 불구하고, 좌표 전환을 허용하는 일반적인 바로 그 본성에 있어서는 문제에 봉착할 수도 있다. 즉,
∂𝜇𝑄𝜇 𝑑4𝑥 값이 scalar가 아니면 변형된 좌표계마다 값이 변화할 것이다. 그래서 고정된 좌표계에서만 사용하든가, 또는 가급적 진정한 공변 scalar로
만드는 것을 목표로 하여야 한다.
∘ 또한 공변미뷴을 사용하는 (19.15) 형태의 경우에는 다음의 새로운 Lagragian을 고려한다.
𝐿̄ = 𝐿 + 𝛻𝜇𝑄𝜇(𝚽a).
그러면 해당하는 작용은 다음으로 해석된다.
𝑆̄̄ = 𝑆 + ∫𝓡 𝛻𝜇𝑄𝜇√-𝑔 𝑑4𝑥. (19.23)
그리고 그 변분은 다음으로 주어진다.
𝛿𝑆̄̄ = 𝛿𝑆 + ∫𝓡 𝛻𝜇(𝛿𝑄𝜇)√-𝑔 𝑑4𝑥 = 𝛿𝑆 + ∫𝓡 𝛻𝜇{(∂𝑄𝜇/∂𝚽a)𝛿𝚽a}√-𝑔 𝑑4𝑥.
우리는 발산 정리를 사용하여 표면 적분을 얻고 여기서 𝑄𝜇가 한 vector의 성분들이어야 함에 주목한다. 이것 역시 𝛻𝜇𝑄𝜇가 하나의 스칼라장이며, 그래서
(19.23)의 우측변 두번째 항이 한 scalar 적분임을 보증한다.
[참고 사항]
... Preface (서문)에서 ...
∘ 이 책의 공변미분의 약기: 𝛁𝑏𝜐𝑎 ≡ ∂𝑏𝜐𝑎 + 𝛤𝑎𝑐𝑏𝜐𝑐 (nabla, del) ⟷ 다른 책들[Dirac의 GR (10.7) 참조]의 공변미분 표현: 𝜐𝑎;𝑏 (semicolon)
... 2. Manifolds and coordinates (다양체와 좌표)에서 ...
∘ 실제로 사람들은 'manifold(다양체)'는 일반적 수학적 의미로는 단지 'space(공간)'을 위한 한 화려한(fancy) 단어로서 간주할 수 있다.
∘ 아것은 한 다양체는 'locally(국소적으로는)' 해당하는 Euclid 공간-그것은 'smooth(매끄럽고)' 어떤 수의 차원들을 갖는다-과 같음을 의미한다.
* 'vanish'는 '0이 되다'라고 번역하기도 하지만, 여기서는 원래의 어감대로 '사라지다'로 표현함.
** 여기서는 시간 일차미분-속도 ů의 윗점 표기를 위해서, 원문의 𝑞를 u로 바꾸어 썼음.
