Schwarzschild Black Holes (1)

M. P. Hobson, G. Efstathiou and A. N. Lasenby  General Relativity  An Introduction for Physicicists  (Cambridge University Press  2006)



   Dirac의 GR 'Section 19 Black holes'에 이어서 이제부터는 Hobson, Efstathiou와 Lasenby 공저 GR의 블랙홀-먼저, 비회전 상태-을 학습합니다. 이 책은 GR 책들 중에서 비교적 최근의 것이라, 웜홀과 Hawking 복사 및 초대질량 블랙홀까지도 다루고 있어서 그 새로운 주제들에 대한 기대도 됩니다. 여기에 스캐닝한 도해-Figure들은 직관적으로 중요한 자료이므로, 해당 수식과 해설을 참고하여 그 물리적-수학적 의미를 파악해 보려고 합니다.

11. Schwarzschild black holes (Schwarzschild 블랙홀)
   우리는 Schwarzschield 기하학 의 논의에 있어서  Schwarzschield 좌표계 (𝑡, 𝑟, 𝜃, 𝜙)로 시공간의 event들에 label을 붙여왔었다. 우리는 이제까지는  외부 영역(exterior region) 𝑟 > 2𝜇 (𝜇 ≡ 𝐺𝑀/𝑐2)에만 집중해왔다. 우리는 지금은 내부 영역(interior region) 𝑟 < 2𝜇 에서 Schwarzschild 기하학과 hypersurface(초곡면) 𝑟 = 2𝜇 의 중요성의 논의로 향한다. Schwarzschild 기하학 전부를 이해하기 위해서는, 우리는 반드시 다른 좌표계의 집합들을 이용하여 시공간 속의 event들에 다시 label을 붙여야만 한다,

   11.1 The characterization of coordinate (좌표의 특성화)
   Schwarzschield 기하학을 상세하게 논의하기 전에 간략하게 좌표의 특성화에 대해서 고려해보도록 하라. 그래서 우리가 Schwarzschild 해를 가지고   𝑥𝜇 → 𝑥'𝜇 좌표 변환을 한다고 가정했을 때, 그 결과 metric은 여전히 진공 장방정식의 해일 것이다. 우리가 할 수 있는 것 중 하나는 어떤 event 𝑃에서 한 좌표 𝑥𝜇timelike, null, spacelike 인가를 설정하는 것이다. 이것은 𝑃에서의 좌표 곡선들에 대한 접선 vector 𝐞𝜇의 성질에 직접 대응한다, 좌표의  특성을 결정하는 가장 쉬운 방법은 𝑃에서 다른 좌표들 값은 모두 고정하고, 관심의 좌표에서 극소한 변화 𝑑𝑥𝜇를 고려하는 것이다. 만일 간격 𝑑𝑠2가 양, 영 또는 음이면,  𝑥𝜇는 각각 timelike, null 또는 spacelike이다. 이것은, 차례로, 단순히 관련된 metric의 대각 요소 𝑔𝜇𝜇(no sum)의 부호에 대응한다.

   11.2 Singularities in the Schwarzschild metric (Schwarzschild 계량에서의 특이점들)
   Schwarzschild metric을 전통적 (𝑡, 𝑟, 𝜃, 𝜙) 좌표로 보면 우리는 다음을 갖는다.
      𝑑𝑠2 = 𝑐2(1 - 2𝐺𝑀/𝑐2𝑟)𝑑𝑡2 - (1 - 2𝐺𝑀/𝑐2𝑟)-1𝑑𝑟2 - 𝑟2𝑑𝜃2 - 𝑟2sin2𝜃 𝑑𝜙2.     (11.1)
위 식의 검사는 곧바로 그  metric이 𝑟 = 0𝑟 = 2𝐺𝑀/𝑐2에서 특이한(singular) 것을 보여준다. 후자의 값은 Schwarzschild 반경 으로 알려 지고, 또한  종종 𝑟𝑠로 표기하는데, 그래서
      𝑟𝑠 = 2𝐺𝑀/𝑐2.
   하지만, 우리는 Schwarzschild 해가 진공 장방정식 𝑅 = 0 을 풀어서 유도한 것이며, (11.1)로써 주어진 metric은 오직 구형의 물질 분포의 곡면에 한정해서 유효하다는 것을 기억해야만 한다. 예를 들면, 태양을 위한 Schwarzschild 반경은 
      𝑟𝑠 = 2𝐺𝑀/𝑐2 = 2.95km,
위는 태양의 반경(𝑅 = 7 ⨯ 105km) 보다 대단히 작다. 유사하게, 한 양성자를 위한 Schwarzschild 반경은
      𝑟𝑠 = 2𝐺𝑀𝑝/𝑐2 = 2.5 ⨯ 10-54m,
이것은 또다시 한 양성자의 characteristic 반경(𝑅𝑝 = 10 ⨯ 10-15m) 보다 대단히 작다. 실상은, 대부분 의 실제 물체들을 위한 Schwarzschild 반경은 그 물체 안에 깊이 있어서, 진공 장방정식을 적용되는 않는다. 그러나 가령 아주 compact해서 그것들이 Schwarzschild 반경 이내에 잘 있는 물체들이 존재한다면 어떨까? 우리는 𝑟 > 𝑟𝑠 인 곳을 영역 𝐈 로, 𝑟 < 𝑟𝑠 은 영역 𝐈𝐈 로 표기하도록 하라.
   Schwarzschild metric (11.1)로부터 우리는 영역 𝐈 에서는 𝑔00은 양이고, 또한 𝑔𝑖𝑖 (for 𝑖 = 1, 2, 3)들은 음이다. 그래서 좌표 𝑡는 timelike이고, 좌표 𝑟, 𝜃, 𝜙들은  spacelike이다. 그래서 𝑡는 무한대에 정지해 있는 관찰자에 의해 측정되는 고유시간(상수)이고, 𝑟은 그 표면적은 4π𝑟2인 3차원 구의 반경 (상수)로서,  영역 𝐈𝐈 에서는, 그렇지만, 좌표 𝑡는 spacelike이고, 좌표 𝑟, 𝜃, 𝜙들은  timelike이다. 이렇게 '시간'과 '방사' 좌표들은 𝑟 = 𝑟𝑠 의 어느 한쪽의        특성을 교환한다. 이것은 무엇을 의미하며, 또한 과연, 물리적으로 의미가 있는지를 묻는 것은 자연스럽다.
   그러므로, 우리가 그 metric에서 𝑟 = 0 과  𝑟 = 𝑟𝑠 에서의 특이점들을 상세하게 고려하도록 한다..물리적으로 의미있는 기하학적 양들은 시공간 다양체 안에 어떤 점에 정의된 4-tensor들이다. 시공간 곡률은 곡률 tensor 𝑅𝜇𝜈𝜌𝜎(와 그 축약)의 성분에 의해서 공변적으로 기술된다. 예를 들면, 어떤 점에서 곡률 scalar는 다음으로 주어진다.       𝑅𝜇𝜈𝜌𝜎𝑅𝜇𝜈𝜌𝜎 = 48𝜇2/𝑟6,     (11.2)
그것은 𝑟 = 𝑟𝑠 에서 유한하다. 더구나, 그것은 scalar이기 때문에, 모든 좌표계에서 그 값은 같게 남아 있다.이렇게 시공간 곡률은 𝑟 = 𝑟𝑠 에서 완전히 잘 거동하며, 그래서 우리는 𝑟 = 𝑟𝑠가 한 좌표 특이점 이라는 것을 본다. 같은 증거로, (11.2)는  𝑟 = 0 에서 singular 하며 그래서 이 점은 Schwarzschild 기하학의 한 참된 내재적 특이점 이다.

   11.3 Radial photon worldlines in the The Schwarzschild coordinate (Schwarzschild 좌표에서의 방사적 광자 세계선들)
   Schwarzschild 해의 (𝑡, 𝑟, 𝜃, 𝜙) 좌표에서의 시공간 diagram을 조사해보도록 하자. 그 metric은 다음으로 읽힌다. 
        𝑑𝑠2 = 𝑐2(1 - 2𝜇/𝑟)𝑑𝑡2 - (1 - 2𝜇/𝑟)-1𝑑𝑟2 - 𝑟2𝑑𝛺2,
 여기서 𝑑𝛺는 입체각의 한 요소이다. 우리가 이렇게 쓴 이유는 우리가 시공간 diagram을 그릴 때에 각 좌표들을 무시할 것이기 때문에, 즉 이 diagram들은  𝜃와  𝜙고정된 값들을 위한 (𝑟, 𝑐𝑡) 평면을 보여줄 것이다.
     우리는 그 diagram에서 방사적으로 오고 가는 photon들의 경로를 고려하여, 광추 구조 를 결정함으로써 시작한다; 방사적으로 움직이는 한 photon의 움직임을 위해서, metric으로부터 우리는 다음을 갖는다. (이의 유도는 'Section 9. Schwarzschild geometry' 참조)
      𝑑𝑡/𝑑𝑟 = ∓(1/𝑐)(1 - 2𝜇/𝑟)-1, *
   여기서 (𝑟 > 2𝜇 인 영역에서는 그 값이 양) '나가는'(outgoing) photon에 해당하는 양의 기호고, '들어오는'incoming) 경우에는 그 값이 반대이다. 이를 적분하면, 우리는 다음을 얻는다. **
      𝑐𝑡 = 𝑟 + 2𝜇 ln ∣ 𝑟/2𝜇 - 1 ∣ + constant      (outgoing photon)
      𝑐𝑡 = -𝑟 - 2𝜇 ln ∣ 𝑟/2𝜇 - 1 ∣ + constant      (incoming photon)
우리는 이 결과를 (𝑟, 𝑐𝑡) 평면에 Figure 11.1에서 보여주듯이 그릴 수 있다. 이 diagram은 고정된 𝜃𝜙를 위해 그려진 것이므로, 우리는 diagram의 각 점 (𝑟, 𝑐𝑡)은 면적 4π𝑟2인 한 3차원 구(2-sphere)를 나타내는 것으로 생각해야 한다.
    Figure 11.1은 다소간의 해설을 요한다. 영역 𝐈 의 커다란 반경에서는 중력장이 약해져서 그 metric은 특수상대성의 Minkowski metric으로 향한다. 그래서, 그 광추 구조는 Minkowski 시공간의 광추 구조로 변하고, 들어오고 나가는 광선들은 그 diagram에서 경사 ∓1의 직선으로 정의한다. 우리가  Schwarzschild 반경들에 접근함에 따라, 들어오는 광선은 새로좌표  𝑡 → +∞ 로 향하고 또한 나가는 광선들은 𝑡 → -∞ 로 향한다. 들어오는 한 신호가 Schwarzschild 반경들을 지나가려면 무한한 시간이 걸릴 것을 제시하는 듯하지만, 그러나 우리는 곧 알게될 것처럼, 이 관점에서는 위 diagram이 잘못 인도하고 있다.
   영역 𝐈𝐈 에서 그 광추들은 90로 그들의 방위를 뒤집는다, 왜냐하면 그 좌표 𝑡𝑟가 그들의 성격을 거꾸로 하기때문이다. 우리는 모든 photon이 𝑟 = 0에서 끝나야만(must) 하는 것을 본다. 이 점에 실제 특이범이 있고, 거기서 Schwarzschild 해의 곡률은 발산한다. 더구나, 영역 𝐈𝐈 에서는, 한 timel 세계선이 각 점에서 앞선 광추 안에 있어야만 하기 때문에, 어떤 대질량의 입자들도 역시 그 특이점에서 끝난다. 이리하여 우리는 일단 Schwarzschild 반경들 안에서는 당신은 𝑟 = 0 에서 한 spacelike 특이점에서 반드시 그쳐야 한다 고 결론짓는다. 탈출하기는 한 인과성의 위배를 요구할 것이다.

   11.4 Radial particle worldlines in the The Schwarzschild coordinate (Schwarzschild 좌표에서의 방사적 입자 세계선들)
 이번에는, 단순하게, 무한대에서 정지 상태의 입자가 방사상으로 떨어지는 경우를 고려해 보기로 한다. (Chapter 9 에서 상세하게 조사했었다.) 입자의 세계선을 고유시간  𝜏의 용어로 매개화하면, 우리는 그 궤적 𝑟(𝜏)는 다음으로 간접적으로 쓸 수 있다는 것을 발견했었다.
      𝜏 = (2/3)√(𝑟03/2𝜇𝑐2) - (2/3)√(𝑟3/2𝜇𝑐2),     (11.3)
여기서 𝑟 = 𝑟0 에서 𝜏 = 0 이다. 대안적으로, 좌표 시간인 𝑡를 사용해서 그 궤도 𝑟(𝑡)를 기술한다면 다음이라는 것도 발견했었다.
      𝑡 = (2/3)[√(𝑟03/2𝜇𝑐2) - √(𝑟3/2𝜇𝑐2)] + (4𝜇/𝑐)[√(𝑟0/2𝜇) - √(𝑟/2𝜇)] + (2𝜇/𝑐) ln ∣ {[(√𝑟/2𝜇 + 1)/(√𝑟/2𝜇 - 1)][(√𝑟0/2𝜇 - 1)/(√𝑟0/2𝜇 + 1)]} ∣,      (11.4)
여기서 𝑟 = 𝑟0 에서 𝜏 = 0 이다. 방정식 (11.3)(11.4)를 이용하여, 우리는 그 입자의 고유 시간 𝜏의 한 주어진 값을 어떤 (𝑟, 𝑐𝑡) diagram의 한 점과 연관시킬 수 있다. 이렇게 𝜏가 증가함에 따라서, 우리는 그 (𝑟, 𝑐𝑡) 평면에 그 입자 궤적을 plot할 수 있다. 
   해당하는 곡선은 위 Figure 11.2에 보여진다; 여기서 우리는 𝑟0 = 8𝜇 에다 𝜏 = 𝑡 = 0 로 취하였다. 또한 plot된 것은 그 궤적의 특정한 점들에서 광추 구조와 함께 𝑐𝜏/𝜇 의 단위 간격들을 보여주는 점들이다. 우리는 입자 세계선들이 𝑟 = 2𝜇 에서 한 특이점을 갖으며, 또한 입자들이 𝑟 = 8𝜇에서 𝑟 = 2𝜇로 여행하기 위해서는 어떤 무한한 좌표 시간 𝑡가 걸리는 것을 그 plot에서 본다. 𝑡는 큰 반경에 있는 한 고정된 관찰자에 의해서 경험된 시간이므로, 그러한 그 관찰자에게는 그 입자가 𝑟 = 2𝜇 에 도달하려면 어떤 무한한 시간이 걸린다. 그렇지만 그 입자가  𝑟 = 2𝜇 에 도달하는데 걸리는 고유 시간은 유한하다. (𝑟 = 9.33 𝜇/𝑐). 더구나, 𝑟 < 2𝜇 인 영역에서도 그 입자들은 좌표 𝑡𝑟이 특성을 교환하고, 광추들은 90로 그들의 방위를 뒤집는다. 𝑟 < 2𝜇 를  위하여, 우리는 𝜏가  𝑟 = 0 에 도달할 때까지 계속 증가하자만 (𝑟 = 10.67 𝜇/𝑐), 좌표 시간 𝑡는 입자 세계선을 따라 '감소한다' 는 것에도 주목한다.
   명백하게, 좌표 𝑡𝑟 → ∞ 에서는 유용하고, 물리학적 의미가 있지만, 𝑟 ≤ 2𝜇 에서 입자의 운동을 기술하는데는 부적절하다. 그러므로 다음 section에서 우리는 방사적 유입을 기술하는데 적합한 새로운 시간 좌표를 도입하고, 또한 그 과정을 통해 𝑟 = 2𝜇 에서의 좌표 특이점을 제거할 것이다.*** 

* 이 책의 'Chapter 9'에서 Lagrangian 𝐿 = 𝑔𝜇𝜈𝜇𝜈, ẋ𝜇 ≡ 𝑑𝑥𝜇/𝑑𝜎인  E-L 방정식으로써 측지선의 방정식을 구했음;
   이 식은 photon의 경우인 null 측지선 𝑔𝜇𝜈𝜇𝜈 = 0 조건을 적용하고, 또한 거기에 그 방사상 운동 조건인 (𝑑𝜙𝜇/𝑑𝜎)2 = 0 을 적용한 결과임.
** 여기서는 ∫{𝑢/(𝑎 + 𝑏𝑢)}𝑑𝑢 = (1/𝑏2)(𝑎 + 𝑏𝑢 - 𝑎 ln ∣ 𝑎 + 𝑏𝑢 ∣) + 𝐶 적분 공식이 적용됨.
*** Dirac은 독자적 좌표계로 이를 해결함 (Section 19); 이를 'Dirac 좌표' 라 하겠음.
p.s. 블랙홀의 열복사를 밝힌 Hawking과 그 수학 이론의 Chandrasekhar(Dirac의 후배 연구생) 모두 Cambridge 대학 출신입니다.
       이로써, Hawking은 Newton과 Dirac에 이어 Lucas 석좌교수가 되었고(1979), Chandrashekar는 노벨 물리학상(1983)을 수상했습니다.
       S. W. Hawking and G. F. R. Eliis The large scale structure of space-time,  (Cambridge University Press 1973) - GR 명저 중 하나
       S. Chandrashekar The Mathematical Theory of Black Holes,  (Oxford University Press 1983) - textbook 참고문헌 24권 중 하나

       [추가]  R. Penrose(Oxford 대학 수학과)도 그의 블랙홀 형성의 연구로 노년(89세)에 올해의 노벨 물리학상(2020)을 수상했습니다!
       'Gravitational Collapse and Space-Time Singularities'(1965)와 Penrose-Hawking Sigularity Theorem 등이 중요한 블랙홀 관련입니다.
       그는 London(BSc), Cambridge(DPhil) 수학자로서, Hawking과 많은 공동 연구를 했습니다. 위의 독창적인 paper는 꼭 읽어야할 듯 ...

  . . .  (아래는 2020년 노벨 물리학상 발표문)   . . .  
       The Nobel Prize in Physics 2020 was annouced on 6 October 2020. The Nobel Prize in Physics 2020 was divided,
       one half awarded to Roger Penrose "for the discovery that black hole formation is a robust prediction of the general theory of relativity",
       the other half jointly to Reinhard Genzel and Andrea Ghez "for the discovery of a supermassive compact object at the centre of our galaxy."

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