7-1. The Vacuum Field Equation *
∘ 입자들이 시공간 geodesic을 따르는 것을 말하면서, 우리는 시공간의 기하학이 어떻게 물질에 작용하는가를 기술하고자 합니다.
하지만 이것은 단지 반쪽의 이야기일 뿐입니다. 이 이론을 완성하려면 또한 어떻게 물질이 그 기하학을 결정하는가를 기술할 필요가
있읍니디. 즉, 우리는 물질의 분배에 metric 계수 𝑔μν를 관련시키는 방정식 한 세트가 더 필요합니다. [아래 '7-2' 참조]
이제 1916년 논문 '상대성의 일반 이론의 기초'라는 논문에 처음 게재된 유명한 Einstein의 Field Equations 場方程式을 탐구합니다.
우리는 이 section에서 Einstein을 이 방정식에 도달하도록 한 어떠한 추론(some of reasoning)의 윤곽을 살펴볼 예정입니다. 먼저,
우리는 여기서 고립된 구대칭 질량 M의 밖-진공(vacuum)-에서 행성의 섭동 효과는 무시한 태양 중력장 같은 경우만을 고려합니다.
∘ [단계 1] 먼저 Newton의 법칙으로부터 중력의 포텐셜 함수를 유도한 후, 이에 상응하는 일반 상대론의 tensor 함수를 찾습니다.
Let 𝐗 = (x, y, z), r = (x2 + y2 + z2)1/2 = ∥𝐗∥. Let 𝐮r = (1/r)𝐗 <- unit "radial vector"
By Newton's law, the force 𝐅 on a particle m located at 𝐗 is (in geometric units), 𝐅 = - (Mm/r2)𝐮r
Combining this with Newton's Second Law, 𝐅 = m (d2𝐗 /dt2), We have d2𝐗 /dt2 = - (M/r2)𝐮r.
Defining the potential function 𝚽 = 𝚽(r) by 𝚽 = - M/r, r > 0 [7-121]
We have d2x𝑖/dt2 = - ∂𝚽/∂x𝑖, 𝑖 = 1,2,3 <- ∂r/∂x𝑖 = ∂(𝐗 ∙ 𝐗)1/2/∂x𝑖 = 2 x𝑖/2 (𝐗 ∙ 𝐗)1/2 = x𝑖/r, 𝑖 = 1,2,3, - 𝛁𝚽 = - M/r2 𝐮r [7-122]
Differentiating and then summing, we obtain Laplace's equation, 𝛁2 𝚽 = ∂2𝚽/∂ x2 + ∂2𝚽/∂ y2 + ∂2𝚽/∂ z2 = 0 [7-123]
For a continous distribution of matter throughout a region of space (not our case), 𝛁2 𝚽 = 4𝜋𝜌 [Poisson's equation] [7-124]
The function 𝚽 are replaced in general relativity by the equation d2x𝜆/d𝜏2 + 𝛤𝜆μν (dxμ/d𝜏) (dxν/d𝜏) = 0, 𝜆 = 0,1,2,3 [7-125]
which contaion the first partial derivatives of metric coefficent 𝑔μν, 𝛤𝜆μν = (1/2)𝑔𝜆β(∂ 𝑔μβ/∂xν + ∂ 𝑔μβ/∂xμ - ∂ 𝑔μν/∂xβ) [7-126]
∘ [단계 2] 앞서의 𝑔μν를 포텐셜 함수에 대응시킨 후, 그 이차 편미분이 들어간 tensor 식이 질량 밖 빈공간에서 '0'이 되도록 합니다.
We might expect the field equation in empty space to be a sytem of equations of the form 𝐺 = 0. [7-127]
Now we have the only tensors with metric coefficients 𝑔μν, 𝑅𝜆μν𝜎 = ∂𝛤𝜆μ𝜎/∂xν - ∂𝛤𝜆μν/∂x𝜎 + 𝛤βμ𝜎 𝛤𝜆νβ - 𝛤βμν 𝛤𝜆β𝜎 [7-128]
In case of flat spacetime of special relativity because 𝑔μν are constant, the only solution: 𝑅𝜆μν𝜎 = 0, 𝜆,μ,ν,𝜎 = 0,1,2,3 [7-129]
To allow for essential gravitational field that cannot be trnsformed away, if we set 𝜎 = 𝜆 in Eq. (129) and then sum over 𝜆,
we get so-called Ricci tensor 𝑅μν = 𝑅𝜆μν𝜆 = ∂𝛤𝜆μ𝜆/∂xν - ∂𝛤𝜆μν/∂x𝜆 + 𝛤βμ𝜆 𝛤𝜆νβ - 𝛤βμν 𝛤𝜆β𝜆 [7-130]
Einstein chose, as the field equation for gravitational filed in empty space(a vacuum), 𝑅μν = 0, μ,ν = 0,1,2,3 ▮ [7-131]
(In the case of some matter thoughout space, the right side is replaced tensors of energy, density and pressure of matter.)
∘ [단계 3] 선택된 Ricci tensor가 weak static 중력장에서 천천히 움직이는 입자의 경우에 고전 역학과의 일치하는 조건을 찾습니다.
Let (x0, x1, x2, x3) be a locally Lorentz coordinate system in a neighborhoodof an event on a moving particle's world-line.
If the particle's velocity is very samll (┃dx𝑖/dt┃≪ 1 for 𝑖 =1,2,3) d2x𝜆/d𝜏2 = - 𝛤𝜆μν (dxμ/d𝜏) (dxν/d𝜏) ≈ - 𝛤𝜆00 (dt/d𝜏)2 [7-132]
Since the graviational field is static (time derivative of the metric coefficients vanish), 𝛤𝜆00 = -(1/2)𝑔β𝜆 ∂𝑔00 /∂xβ
Since the graviational field is waek, we may choose locally Lorentizan coordinates satisfying
⌈ 1 0 0 0 ⌉
𝑔μν = ημν + hμν, (ημν) = ┃0 -1 0 0┃ = (ημν), hμν: small compared to unity. 𝑔μν = ημν + kμν, kμν: small compared to unity.
┃0 0 -1 0┃
⌊ 0 0 0 -1 ⌋
Accordingly, we have 𝛤𝜆00 = -(1/2)ηβ𝜆 ∂h00 /∂xβ <- ∵ ημν = constant, ∂ η00/∂xβ = 0. ∴ ∂𝑔00/∂xβ = ∂h00/∂xβ [7-133]
Substituting Eq. (133) into (132), we obtain (to a clse approximation), d2x𝜆/d𝜏2 = (1/2) (dt/d𝜏)2 η𝛼𝜆 ∂h00 /∂x𝛼 [7-134]
∘ [단계 4] 최종 단계로서 Newtonian 포텐셜 함수 𝚽와 일반 상대성의 metric coefficient 𝑔μν와의 관계식을 도출합니다.
For 𝜆 = 0, this yields d2t/d𝜏2 = 0 (∵ η𝑖0 = 0, 𝑖 =1,2,3, since it is static, ∂h00/∂x0 = 0,) or dt/d𝜏 = constant. Consequently,
dx𝑖/dt = (dx𝑖/d𝜏) (d𝜏/dt), d2x𝑖/dt2 = (d2x𝑖/d𝜏2) (d𝜏/dt)2, for 𝜆 ≠ 0, d2x𝑖/dt2 = (1/2)η𝛼𝜆 ∂h00 /∂x𝛼 = -(1/2)∂h00 /∂x𝑖, 𝑖 =1,2,3
If we compare the latter with the Newtonian, d2x𝑖/dt2 = - ∂𝚽/∂x𝑖 = -(1/2)∂h00 /∂x𝑖, 𝑖 =1,2,3 or h00 = 2𝚽 + C [C: constant].
Since hμν should vanish at infinity, we must have C = 0 , and so h00 = 2𝚽 and η00 = 1, 𝑔00 = 1 + 2𝚽 ▮ [7-135]
∘ Lemma III-4
For each μ, 𝑔𝜆β ∂𝑔𝜆β/ ∂ xμ = (1/𝑔) (∂𝑔 / ∂ xμ) = (∂ / ∂ xμ) ln┃𝑔┃
∘ Setting ν = 𝜆 in Eq. (126) and summing over 𝜆 and 𝑔𝜆β = 𝑔β𝜆, we obtain,
𝛤𝜆μ𝜆 = (1/2)𝑔𝜆β(∂ 𝑔μβ/∂x𝜆 + ∂ 𝑔𝜆β/∂xμ - ∂ 𝑔μ𝜆/∂xβ) = (1/2) 𝑔𝜆β∂ 𝑔𝜆β/∂xμ = (1/2) (∂ / ∂ xμ) ln┃𝑔┃= (∂ / ∂ xμ) ln┃𝑔┃1/2
∘ Substituting the result to Eq. (130) gives,
𝑅μν = (∂2/∂ xμ∂ xν) ln┃𝑔┃1/2 - ∂𝛤𝜆μν /∂x𝜆 + 𝛤βμ𝜆 𝛤𝜆νβ - 𝛤βμν (∂ /∂xβ) ln┃𝑔┃1/2. -> 𝑅μν = 𝑅νμ ∵ 𝛤βμν = 𝛤βνμ ▮ [7-140]
7-2. Einstein's Field Equation (Supplement) **
∘ [단계 1] Newton 법칙의 포텐샬 방정식 𝛁2 𝚽 = 4𝜋𝐺𝜌 [Poisson's equation]에 상응하는 상대론적 함수를 찾습니다.
일단은 좌변을 Ricci tensor로, 우변은 energy-momentum tensor 𝑇μν를 선택하는 것이 합리적인 듯 합니다. 𝑅μν = 𝜅𝑇μν (4.37)
실제로 Einstein은 이렇게 한 적이 있었습니다만 여기에는 에너지 보존 법칙과 문제가 있음을 발견했습니다.
For the energy-momentum conservation in curved space, 𝛁μ𝑇μν = 0, which then imply 𝛁μ𝑅μν = 0. (4.38)(4.39)
그런데 Bianchi identity (3.94)에 의하면 𝛁μ𝑅μν = (1/2) 𝛁ν𝑅, 한편 제시된 field equation은 𝑅 = 𝜅𝑔μν𝑇μν = 𝜅𝑇 이므로, (4.40) ***
𝛁μ𝑇 = 0, scalar 𝑇 = constant 가 되는데, 진공에서는 𝑇 = 0 이나 물질에서는 𝑇 > 0 이므로 이는 대단히 불합리합니다. (4.41)
그래서 Einstein은 Ricci tensor로부터 자동으로 에너지 보존 법칙을 만족하도록 다음과 같은 Einstein tensor 를 만들었습니다.
The Einstein tensor 𝐺μν= 𝑅μν- (1/2) 𝑅𝑔μν, 𝑅: Ricci scalar, where 𝛁μ𝐺μν = 0. We are led to propose 𝐺μν = 𝜅𝑇μν (4.42)(4.43)
∘ [단계 2] Einstein tensor 중 Ricci tensor만을 분리해서 energy-momentum tensor와의 관계식으로 변환한 후, 𝑅00를 구합니다.
(4.43)의 양변을 축약하면 4차원에서 𝑅 = 𝜅𝑇, 다시 (4.43)을 쓰면 𝑅μν = 𝜅{𝑇μν - (1/2)𝑇𝑔μν}. (4.44)(4.45)
지금부터 Faber's Eq. (133)(134)(135)를 비교 참조하는데, Carroll's Lorentz metric (ημν)의 + - 기호가 반대임에 주의해야 합니다.
In weak-field limit, 𝑔μν = ημν + hμν, ┃h┃≪1. 𝑔μν = ημν - hμν, where hμν = ημ𝜌ην𝜎h𝜌𝜎 (4.13)(4.14)
Because 𝑔00 = -1 + h00, 𝑔00 = -1 - h00, 𝑇 = 𝑔00𝑇00 ≈ - 𝑇00. Hence we get 𝑅00 = (1/2)𝜅𝑇00 (4.46)(4.47)(4.48)
𝑅00 = 𝑅λ0λ0, We need only 𝑅𝑖0𝑗0, since 𝑅0000 = 0, We have 𝑅𝑖0𝑗0 = ∂𝛤𝑖00/∂x𝑗 - ∂𝛤𝑖𝑗0/∂x0 + 𝛤𝑖𝑗𝜆 𝛤𝜆νβ - 𝛤𝑖0𝜆 𝛤𝜆𝑗0 (4.49)
Since the second term vanishes for static fields and the third and fourth tems can be neglected because it is the form (𝛤)2
if we compare them with the first one of 𝛤 . We are left with 𝑅𝑖0𝑗0 ≈ ∂𝛤𝑖00/∂x𝑗 = ∂𝑗𝛤𝑖00.
𝑅00 = 𝑅𝑖0𝑗0 ≈ ∂𝑖[(1/2)𝑔𝑖𝜆{∂0𝑔𝜆0 + >{∂0𝑔0𝜆 - ∂𝜆𝑔00}] = -(1/2)η𝑖𝑗∂𝑖∂𝑗h00 = - (1/2)𝛁2h00. Therefore 𝛁2h00 = - 𝜅𝑇00. (4.50)(4.51)
∘ [단계 3] 앞에서 유도한 𝚽와 𝑔μν와의 관계식으로부터 Einstein tensor와 energy-momentum tensor와의 비례상수를 찾습니다.
From Newtonian potential 𝛁2𝚽 = 4𝜋𝐺𝜌, replacing 𝚽 by -(1/2)h00 and replacing 𝜌 by 𝑇00, we get 𝛁2h00 = -8𝜋𝐺𝑇00 (4.36) .
Then we have 𝜅 = 8𝜋𝐺. We can present Einstein's equations for general relativity: 𝑅μν - (1/2)𝑅𝑔μν = 8𝜋𝐺𝑇μν. ▮ (4.52)
∘ 진공에서는 𝑇μν = 0 이므로, '7-1' [7-131]에서처럼 Vacuum Field Equations 진공 장방정식은 𝑅μν = 0. ▮ (4.53)
위 Equation (4.52)를 기존 cgs 단위계로 표기하면 널리 알려진 Einstein 場方程式 '𝑅μν - (1/2)𝑅𝑔μν = (8𝜋𝐺/c4)𝑇μν'이 됩니다!
* Richard L.Faber 'Differential Geometry and Relativity Theory'의 수학적 rigor를 구비한 Field Equation은 '7-1' 뿐임.
** Sean M. Carroll 'Lecture Notes on General Relativity' (1997, UC Santa Barbara)를 참고하여, 필자가 작성하여 보완함.
*** 가장 중요한 chapter임!; Bianchi identity(3.94) 관해서는 Dirac's GR section 13-14 참조
p.s. Einstein과 대수학자 Hilbert와의 장방정식 priority 다툼이 있었는데, Hilbert의 자인으로 Einstein 우선권이 인정되었습니다.
