Introduction to Differential Geometry (4)

     ∘  The Gauss Formulars: 𝐗_𝑖k = 𝛤^h_𝑖k 𝐗_h + 𝐿_𝑖k 𝐔,  𝑖k = 1,2 <- Eq.(17)   [8-47]
     ∘  The Weingarten Formulars: 𝐔_𝑗 = - 𝐿^𝑗_𝑖 𝐗_𝑗,  𝑖 = 1,2;  𝐿^𝑗_𝑖 = 𝐿_𝑖𝑘𝑔^𝑘𝑗, 𝑖 = 1,2  <- Eq. (28)   [8-48]

     ∘  Theorem I-11 (Theorema Egregium ) 빼어난 定理  
            한 곡면의 the Gauss cuvature는 the metric form, 그리고 그 첫번째와 두번째 derivatives(導函數)의 계수들의 함수이다.  
            그러므로 intrinsic하다(內在的이다).   
            Proof. 𝐗_𝑖k𝑗 = ∂𝛤^h_𝑖k/∂u^𝑗 𝐗_h + 𝛤^h_𝑖k 𝐗_h𝑗 + ∂𝐿_𝑖k/∂u^𝑗 𝐔 + 𝐿_𝑖k 𝐔_𝑗  <- Eq. (47)의 양변을 u^𝑗에 대해 미분하고 ∂𝐗_𝑖k/∂u^𝑗를 𝐗_{𝑖k 𝑗}라 표기함
            𝐗_𝑖k𝑗 = (∂𝛤^h_𝑖k/∂u^𝑗 + 𝛤^r_𝑖k𝛤^h_r𝑗 - 𝐿_𝑖k𝐿^h_𝑗)𝐗_h + (𝛤^r_𝑖k𝐿_r𝑗 + ∂𝐿_𝑖k/∂u^𝑗) 𝐔  <- 𝐔_𝑗 = - 𝐿^h_𝑗 𝐗_h,  𝛤^h_𝑖k 𝐗_h𝑗→ 𝛤^r_𝑖k 𝐗_r𝑗(index 조정)   [8-49]
            𝐗_𝑖𝑗k = (∂𝛤^h_𝑖𝑗/∂u^k + 𝛤^r_𝑖𝑗𝛤^h_rk - 𝐿_𝑖𝑗𝐿^h_k)𝐗_h + (𝛤^r_𝑖𝑗𝐿_rk + ∂𝐿_𝑖𝑗/∂u^k) 𝐔  <- switching 𝑗 and k   [8-50]
            ∂𝛤^h_𝑖k/∂u^𝑗 - ∂𝛤^h_𝑖𝑗/∂u^k + 𝛤^r_𝑖k𝛤^h_r𝑗 - 𝛤^r_𝑖𝑗𝛤^h_rk = 𝐿_𝑖k𝐿^h_𝑗 - 𝐿_𝑖𝑗𝐿^h_k  <-  𝐗_𝑖k𝑗 = 𝐗_𝑖𝑗k ∵ 偏微分의 순서는 무관함   [8-51]
            𝑅^h_𝑖𝑗k =  ∂𝛤^h_𝑖k/∂u^𝑗 - ∂𝛤^h_𝑖𝑗/∂u^k + 𝛤^r_𝑖k𝛤^h_r𝑗 - 𝛤^r_𝑖𝑗𝛤^h_rk,  h,𝑖,𝑗,k = 1,2  <- Christoffel 기호는 𝑔_𝑖𝑗관련 함수이므로 intrinsic!   [8-52]
            𝑅^h_𝑖𝑗k = -𝑅^h_𝑖k𝑗  <- Riemann-Christoffel curvature tensor *   [8-53] 
            𝑅^h_𝑖𝑗k = 𝐿_𝑖k𝐿^h_𝑗 - 𝐿_𝑖𝑗𝐿^h_k  <- Riemann-Christoffel curvature tensor on the second fundamental form  [8-54]
            𝑅_m𝑖𝑗k ≡ 𝑔_mh 𝑅^h_𝑖𝑗k  <- by Eq. (52) intrinsic!;  𝑅^r_𝑖𝑗k ≡ 𝑔^mr 𝑅m_m𝑖𝑗k [inverse relation by Eq. (12)]   [8-55]
            𝑅_m𝑖𝑗k =  𝐿_𝑖k𝐿_𝑗m - 𝐿_𝑖𝑗𝐿_km  <- Eq. (54) 양변에 𝑔_mh 곱하고 Eq. (27) [𝐿^𝑖_𝑗 ≡ 𝐿_𝑗𝑘 𝑔^𝑘𝑖,  𝑖,𝑗 =1,2]에 따라 정리함   [8-56]
             𝐊 = 𝑅₁₂₁₂/𝑔  <- 𝑅₁₂₁₂ = 𝐿₂₂𝐿₁₁ - (𝐿₂₁)² = det (𝐿_𝑖𝑗) = 𝐿; ∴ The Gauss cuvature is determined by the metric form. ▮   [8-57]

     ∘  The Formula for 𝐊 on the first fundamental form  
            𝑅_m𝑖𝑗k = 𝑔_mh ∂𝛤^h_𝑖k/∂u^𝑗 + 𝛤^r_𝑖k 𝛤_r𝑗m - switch(𝑗,k)  <- by Eqs. (52). (55) and (33); ∵ 𝛤_r𝑗m = 𝛤^h_r𝑗 𝑔_mh
            𝛤_𝑖𝑗m = 𝑔_mh 𝛤^h_𝑖k 양변을 u^𝑗에 대해 미분 → ∂𝛤_𝑖km/∂u^𝑗 = 𝑔_mh ∂𝛤^h_𝑖k/∂u^𝑗 + 𝛤^h_𝑖k ∂𝑔_mh/∂u^𝑗,  𝑔_mh ∂𝛤^h_𝑖k/∂u^𝑗 = ∂𝛤_𝑖km/∂u^𝑗 - 𝛤^h_𝑖k ∂𝑔_mh/∂u^𝑗
            ∴ 𝑅_m𝑖𝑗k = ∂𝛤_𝑖km/∂u^𝑗 + 𝛤^h_𝑖k 𝛤_h𝑗m - 𝛤^h_𝑖k ∂𝑔_hm/∂u^𝑗 - switch(𝑗,k)
            𝛤_𝑖km = 1/2 (∂𝑔_𝑖m/∂u^k + ∂𝑔_mk/∂u^𝑖 - ∂𝑔_k𝑖/∂u^m)  <- by Eq. (36);  ∂𝑔_hm/∂u^𝑗 = 𝛤_h𝑗m + 𝛤_m𝑗h = 𝛤_h𝑗m + 𝛤^r_m𝑗 𝑔_rh  <- Eq. (35a)
            𝑅_m𝑖𝑗k = 1/2 (∂²𝑔_𝑖m/∂u^𝑗∂u^k + ∂²𝑔_mk/∂u^𝑗∂u^𝑖 - ∂²𝑔_k𝑖/∂u^𝑗∂u^m) +  𝛤^h_𝑖k 𝛤_h𝑗m - 𝛤^h_𝑖k(𝛤_h𝑗m + 𝛤^r_m𝑗 𝑔_rh)  - switch(𝑗,k)
            𝑅_m𝑖𝑗k = 1/2 (∂²𝑔_km/∂u^𝑗∂u^𝑖 -  ∂²𝑔_𝑗m/∂u^𝑖∂u^k + ∂²𝑔_𝑖𝑗/∂u^k∂u^m - ∂²𝑔_𝑖k/∂u^𝑗∂u^m) +  (𝛤^h_𝑖𝑗 𝛤^r_mk - 𝛤^h_𝑖k 𝛤^r_m𝑗)𝑔_rh   [8-58]
            ∴ 𝑅₁₂₁₂ = 1/2((∂²𝑔₂₁/∂u¹∂u² -  ∂²𝑔₁₁/∂u²∂u² + ∂²𝑔₂₁/∂u²∂u¹ - ∂²𝑔₂₂/∂u¹∂u¹) +  (𝛤^h₂₁ 𝛤^r₁₂ - 𝛤^h₂₂ 𝛤^r₁₁)𝑔_rh
            𝐊 = 𝑅1212/𝑔 = 1/𝑔[𝐹_uv - 1/2 𝐸_vv - 1/2 𝐺_uu + (𝛤^h₂₁ 𝛤^r12 - 𝛤^h₂₂ 𝛤^r₁₁)𝑔_rh] → 直交座標系로 가정하면 𝐹 = 0; by Eq. 40 →
            𝐊 = 1/𝐸𝐺 [- 1/2 𝐸_vv - 1/2 𝐺_uu + (𝐸_v²/4𝐸² +  𝐸_u𝐺_u/4𝐸²)𝐸 +  (𝐺_u²/4𝐺² +  𝐸_v𝐺_v/4𝐺²)𝐺] → with a litte manipulation →
            𝐊 = 1/(2√𝐸𝐺) [{√𝐸𝐺 𝐺_uu- 𝐺_u(𝐸𝐺_u + 𝐸_u𝐺)/(2√𝐸𝐺)}/𝐸𝐺  + {√𝐸𝐺 𝐸_vv- 𝐸_v(𝐸𝐺_v + 𝐸_v𝐺)/(2√𝐸𝐺)}/𝐸𝐺] or
            𝐊 = 1/(2√𝐸𝐺) [∂(𝐺_u/√𝐸𝐺)/∂u + ∂(𝐸_v/√𝐸𝐺)/∂v]   [8-59]
     ∘   The equation of 𝐊  
            Eq. (56) [𝑅_m𝑖𝑗k =  𝐿_𝑖k𝐿_𝑗m - 𝐿_𝑖𝑗𝐿_km] looks like 2₄ = 16 equations but in fact only one equation 𝑅₁₂₁₂ = 𝐿 = 𝐊/𝑔!  By Eq. (58),
            𝑅_m𝑖𝑗k = - 𝑅_𝑖m𝑗k,  𝑅_m𝑖𝑗k = - 𝑅_𝑖mk𝑗,  𝑅_m𝑖𝑗k = 𝑅_𝑗km𝑖 <- antisymmetry: the first & last pair, symmetry: interchange of them   [8-60abc]
            𝑅_11𝑗k = 𝑅_22𝑗k = 𝑅_m𝑖11 = 𝑅_m𝑖22 = 0.
            𝑅₁₂₁₂ = 𝑅₂₁₂₁ = - 𝑅₂₁₁₂ = - 𝑅₁₂₂₁ = 𝐊𝑔.

9. Manifolds(多樣體) <- Figure I-29 참조 [단, 𝐗→𝐗¹, 𝐃→𝐃¹; 𝐗̄→𝐗², 𝐃̄→𝐃²]  

      ∘  E³ 내의 surface 曲面의 일반화 필요성  
         첫째,  𝐗:𝐃 → E³라는 정의는 너무 제한적이라 단일 mapping이 안되기도 하며, 그 결과가 국지적 직관에 반할 수 있습니다. 
         둘째,  그 전개를 주어진 매개화한 𝐗로 하지만, 우리는 그 𝐗와 독립적으로 surface의 참된 기하학적 특성을 알기를 원합니다.  
         마지막으로, 우리는 이론의 내재적 부분을 고차원으로 확장해야 하는데, E³ vector에 대한 심한 의존이 심각한 결함입니다.  
     ∘   𝐌은 그 원소들을 points 点이라 부르는 non-empty set(非空 집합)으로 정의합니다. 또한 𝐌 상의 한 coordinate patch
         座標 조각이란 E²의 열린 부분집합 𝐃에서 𝐌으로의 한 one-to-one function 𝐗:𝐃 → 𝐌입니다.  

     ∘  Definition I-12
         한 abstract surface or 2-manifold 는 다음 조건의 𝐌 상의 coordinate patch들의 collection 𝒞와 함께 하는 𝐌집합이다.
         a.  𝐌은 𝒞 안의 patch들의 image들의 합집합이다.  
         b.  𝒞 안의 그 patch들은 overlap smoothly 매끄럽게 重疊한다, 즉, 만약 𝐗¹:𝐃¹ → 𝐌과 𝐗²:𝐃² → 𝐌가 𝒞 안의 두 patch라면,
              그 composite function 𝐗̄²^-1∘ 𝐗¹ 와 𝐗¹^-1∘ 𝐗² 는 open domains(定義域)을 갖으며 또한 smooth하다.  <- Figure I-29 참조
         c.  𝐌에 두 점 𝐏와 𝐏'가 주어지면,  𝐏 ∊ 𝐗¹(𝐃¹), 𝐏' ∊ 𝐗²(𝐃²) 그리고 𝐗¹(𝐃¹) ∩ 𝐗²(𝐃²) = 𝜙(empty set)인 𝒞 안의 patch들  
              𝐗¹:𝐃¹ → 𝐌과 𝐗²:𝐃² → 𝐌이 존재한다   <- Hausdorf property: 𝐏, 𝐏' 근방에 안 겹치는 patch를 각기 갖을 수 있음
         d.  𝒞 의 모든(every) patch와 smoothly 중첩하는 𝐌 상의 어떠한(any) coordinate patch도 𝒞 안에 있는 그 자체이다.
              그러한 의미에서 the collection 𝒞 는 maximal 極大하다.

     ∘   domain 定義域이란 function이 정의된 가장 큰 집합을 의미합니다. 예) 𝐗²^-1∘ 𝐗¹ 의 domain: 𝐗¹^-1[𝐗¹(𝐃¹) ∩ 𝐗²(𝐃²)]                       
         smooth 매끄러움이란 우리 목적을 위해 충분히 미분 가능함을 의미합니다. (보통은 최소 연속 3차의 편미분 가능함)
     ∘   때때로 The collection 𝒞 는 𝐌 상의 differentiable structure, 𝒞 의 patches는 admissible patches 라고도 부릅니다.        
         Definition I-12 (a)(b)(c)만을 만족하는 𝐌 상의 patch들의 어떤 collection 𝒞'가 smoothly 중첩하는 모든 patch들과 결합해서  
         즉시 𝐌 상의 differentiable structure로 확장될 수 있다면, 𝒞'는 그 differentiable structure를 generate 生成한다고 합니다.  
     ∘   한 admissible patch 𝐗¹:𝐃¹ → 𝐌가 𝐏의 local coordinates 局地 座標라 부르는 유일한 ordered pair 𝐗¹^-1(𝐏) = (u¹, u²)와
          𝐗¹(𝐃¹)의 각 점에서 결합합니다(associate). 만일 𝐗²:𝐃² → 𝐌가, 𝐗²(𝐃²)의 각 점에게 local coordinates (ū¹, ū²)와 결합하는
         어떤 두번째 admissible patch라면, 𝐗¹(𝐃¹) ∩ 𝐗²(𝐃²)의 점들은 두개의 local coordinates pair (u¹, u²)와 (ū¹, ū²)를 갖으며,
         composite function 𝐗²^-1∘ 𝐗¹ 와 𝐗¹^-1∘ 𝐗²는 ū¹와 ū²를 u¹와 u²의 smooth function으로 만들며, 거꾸로도 또한 같습니다.
         𝐗²^-1∘ 𝐗¹ 는 ū^𝑖 =  ū^𝑖 (u¹, u²),  𝑖 = 1,2,  𝐗¹^-1∘ 𝐗²는 u^𝑖 =  u^𝑖 (ū¹, ū²),  𝑖 = 1,2  [9-61ab]  
         이들이 바로 a change of coordinates 座標系 變換을 위한 방정식들입니다.
     ∘   우리는 mapping 𝐗이라 하는 대신 가끔 단순히 (u¹, u²)를  𝐌 안의 local coordinate system으로 참고하기도 할 것입니다.    
         앞에서 해온 것을 계속하기 위해 가끔은 local coordinates (u, v)라고 부르기도 할 겁니다. 물론, Section 3에서 의미하는 
          every  parametriized surface는 a coordinate patch이며 그 image에다가 differential structure를 생성합니다.   
      ∘   만일 𝐏 ∊ 𝐗(𝐃), 𝐗(𝐃) ⊂ 𝛺인 admissible patch 𝐗:𝐃 → 𝐌이 있으면, 𝐌의 한 부분집합 𝛺를 𝐌의 한 점 𝐏의 neighborhood  
          近傍이라고 부릅니다. 만일 𝐌의 부분집합이 그 점들 각각의 한 neighborhood라면 open 열려있다고 부릅니다.

     ∘  Definition I-13
         𝛺가 2-mainifold 𝐌의 한 열린 집합이라고 하자. 만일 function 𝑓 ∘ 𝐗가 𝐌 안에서 모든 admissible patch를 위해서  
         smooth하다면, function 𝑓:𝛺 → 𝓡도 smooth하다고 부르게 된다. 만일 𝑓:𝛺 → 𝓡이 smooth하고  𝐗:𝐃 → 𝐌가 image가
         𝛺를 만나는 an admissible patch라면, ∂𝑓/∂u^𝑖: 𝐗(𝐃) ∩ 𝛺 → 𝓡,  𝑖 = 1,2 를 다음과 같이 정의한다.
             ∂𝑓/∂u^𝑖 ≡ [∂(𝑓 ∘ 𝐗)/∂u^𝑖] ∘ 𝐗^-1  [9-62]
         즉, 𝐗(𝐃) ∩ 𝛺안의 각 점에 대해 ∂𝑓/∂u^𝑖(𝐏)= [∂(𝑓 ∘ 𝐗)/∂u^𝑖] ∘ (𝐗^-1(𝐏)). 이것이 𝑓의 u^𝑖 에 대한 partial derivative 이다.      

     ∘  각 𝑖에 대해 ∂/∂u^𝑖는 미분 product rule을 만족함. ∴ ∂/∂u^𝑖(𝑓𝑔) = 𝑓(∂𝑔/∂u^𝑖) +  𝑔(∂𝑓/∂u^𝑖)  <- 𝑓, 𝑔의 domain이 같다고 가정
         𝐗¹(𝐃¹)안의 각 점에 대해서, ∂/∂u^𝑖(𝐏)[𝑓] = ∂𝑓/∂u^𝑖(𝐏)    <- 𝑓가 𝐏의 한 neighborhood에 정의된 smooth function라고 가정
        만일 𝐗²:𝐃² → 𝐌가 또다른 admissible patch라면, overlap 𝐗¹(𝐃¹) ∩ 𝐗²(𝐃²)에서 다음의 operator 항등식을 갖습니다.
            ∂/∂u^𝑖 = (∂ū^𝑗/∂u^𝑖) ∂/∂ū^𝑗,  𝑖 = 1,2  ∂/∂ū^k = (∂u^𝑖/∂ū^k) ∂/∂u^𝑖,  k = 1,2  <- from Eq. (61) [9-63ab]

     ∘  Definition I-14
         m이 양의 정수라 하고 𝒪는 E^m의 open 부분집합이라고 하자. 만일 𝐌 상의 𝐗^-1 ∘ 𝑓이 모든 admissible patch 𝐗에 대해  
         smooth하다면, function 𝑓:𝒪 → 𝐌도 smooth하다고 부른다. 만일 𝒪가 open이 아니라도,  𝑓가 open domain을 갖는
         약간의 smooth function인 𝒪에게만 제한이면, 우리는 𝑓:𝒪 → 𝐌가 smooth하다고 부른다. 𝐌 안의 한 curve 曲線은  
         한 𝐌으로의 한 smooth function이다. 따라서 𝛂:𝐼 → 𝐌이 𝐌 안의 곡선이며 𝐗가 𝛂의 것을 포함하는 image의  
         한 admissible patch라면, 우리는 smooth function t와 (𝐗^-1 ∘ 𝛂)(t) =  (u¹(t), u²(t)) 혹은  𝛂(t) =  𝐗(u¹(t), u²(t))를 갖는다.  

    ∘   이제는 E³의 vector space stucture가 없기 때문에, 새롭게 abstract surface에 대한 tangent vector를 정의해야만 합니다.  
         하지만 E³ 모든 vector는 해당 directional derivative operator와 결합합니다.  𝐃_𝐯 =  a ∂/∂x +  b ∂/∂y + c ∂/∂z.         
        그래서 vector를 arrow가 아니라 operator로 생각하고, 먼저 velocity vector를 곡선의 directional derivative로 정의합니다.  

    ∘  Definition I-15
         𝛂:𝐼 → 𝐌가 the 2-manifold 𝐌 상의 곡선이라고 하자. 𝛂의 𝛂(t)에서의 velocity vector 는 𝛂(t)의 한 neighborhood에 정의된  
         모든 smooth real-valued function 𝑓를 위한 다음의 operator 𝛂'(t)이다. 𝛂'(t)[𝑓] = (𝑓 ∘ 𝛂)'(t) = d/dt [𝑓(𝛂(t))]                 

    ∘  Definition I-16
         𝐏가 2-manifold 𝐌 상의 한 점이라고 하자. 만일 𝐏를 통과하며 𝐏에서 velocity vector 𝐯를 갖는 𝐌 안의 곡선이 존재하면,  
         𝐌의 각 smooth real-valued function 𝑓에 실수 𝐯[𝑓]를 부여하는 operator 𝐯를 𝐌 at 𝐏로의 tangent vector 라 부른다.  
         𝐌 at 𝐏로의 모든 tangent vector의 집합을 𝐌 at 𝐏의 the tangent plane 라고 부르며, 𝐓_𝐏𝐌 이라고 표기한다.  

    ∘   𝛂는 𝐌 상 곡선이고 𝐗:𝐃 → 𝐌는 어떤 고정된 t를 위한 한 점 𝛂(t)의 neighborhood의 local coordinates (u¹, u²)를 정의하는
          한 admissble patch라고 합시다. 그러면 어떤 𝐌 상의 smooth function 𝑓를 위해서 (from multivariable chain rule)
,                𝛂'(t)[𝑓] = d/dt [𝑓 ∘ 𝐗(u¹(t), u²(t))] = ∂(𝑓 ∘ 𝐗)/∂u^𝑖 (𝐗^-1∘ 𝛂(t)) du^𝑖/dt = ∂𝑓/∂u^𝑖 (𝛂(t)) u^𝑖'(t)
                따라서 𝛂'(t) = u^𝑖'(t) ∂/∂u^𝑖(t) 혹은 축약된 표현으로  𝛂' = u^𝑖'∂/∂u^𝑖  [9-64]
          그러므로 한 점 𝐏 =  𝐗(u¹, u²)의 어떤 tangent vector 𝐯는 ∂/∂u¹(𝐏)과 ∂/∂u²(𝐏)의 선형 결합입니다.
                 𝐯 = v^𝑖 ∂/∂u^𝑖(𝐏)  <- tangent vector, 계수 𝐯[u^𝑖] = v^𝑗,  𝑗 = 1,2  (∵  u^𝑗/u^𝑖 =  𝛿^𝑗_𝑖)   [9-65]
        𝐓_𝐏𝐌은 이처럼 ∂/∂u¹(𝐏)과 ∂/∂u²(𝐏)로 생성된(spanned) 한 vector space입니다. (두 vecter는 선형 독립하며 기저가 됨.)
    ∘  두개의 local coordinates system을 적용하면, tangent vector 𝐯는 두가지 coordinate 표현(representation)을 갖습니다.
             𝐯 = v^𝑖 ∂/∂u^𝑖(𝐏) = v̄^𝑗 ∂/∂ū^𝑗(𝐏)  [9-66]
             v̄^𝑗 = v^𝑖 ∂ū^𝑗/∂u^𝑖(𝐏),  𝑗 = 1,2,  v^𝑖 = v̄^𝑗 ∂u^𝑖/∂ū^𝑗(𝐏),  𝑖 = 1,2  <- by Eq. (66)   [9-67ab]

    ∘  Definition I-17
         𝒱가 𝓡 위로 a vector space라 하자. 𝒱 상의 inner product 內積이란 𝒱 안의 각 vector 쌍 𝐯, 𝐰에 다음과 같은 속성에
         따라 실수 <𝐯, 𝐰>를 할당하는 한 규칙(rule)이다.
         a.  <𝐯, 𝐰> = <𝐰, 𝐯> (< , >은 symmetric 對稱이다)  
         b.  <𝑎𝐯 + 𝑎'𝐯',𝐰> = 𝑎<𝐯, 𝐰> + 𝑎'<𝐯', 𝐰> 그리고 <𝐯, 𝑎𝐰 + 𝑎'𝐰'> = 𝑎<𝐯, 𝐰> + 𝑎'<𝐯, 𝐰'> (< , >은 bilinear 二重線形이다)
         c.  <𝐯, 𝐯> ≧ 0 (𝒱 안의 모든 𝐯에 적용), only if 𝐯 = 𝟎, <𝐯, 𝐯> = 0  (< , >은 positive definite 陽의 定符號이다)

    ∘  Definition I-18
         2-manifold 𝐌 상의 Riamannian metric (혹은 metric)은 𝐌의 각 tangent plane로의 inner product < , >의 한 할당이다.
         각 coordinate patch 𝐗:𝐃 → 𝐌를 위하여, function 𝑔_𝑖𝑗: 𝐗(𝐃) → 𝓡은 다음과 같이 정의되며, 이들은 smooth해야만 한다.
             𝑔_𝑖𝑗(𝐏) = <∂/∂u^𝑖 (𝐏), ∂/∂u^𝑗 (𝐏)>,  𝑖,𝑗 = 1,2   [9-68]
         Rimannian metric으로 구비된 하나의 2-manifold를 a Riamannian 2-manifold 라고 부른다. 만약 Definition 1-17의 속성
         c를 아래와 같은 더 약한 조건 c'로 대치하면 앞의 정의를 a semi-Riamannian 2-manifold 라고 부른다.
         c'.  만약 𝒱 안의 모든 𝐰에게서 <𝐯, 𝐰> = 0 이라면, 𝐯 = 𝟎(< , >은 nonsigular 正則이다)

    ∘  Definition 1-17 (a)로부터 우리는 각 local coordinate system 𝑔_𝑖𝑗 = 𝑔_𝑗𝑖 (모든 𝑖,𝑗에 적용)이 됩니다. 𝑔 = det (𝑔_𝑖𝑗)라고 정합니다. 
        만약 (ū¹, ū²)가 두번째 local coordinate system이라고 하면, 우리는 유사한 function 𝑔̄_𝑖𝑗 = <∂/∂ū^𝑖, ∂/∂ū^𝑗> 을 갖습니다.
             𝑔̄_mn =  𝑔_𝑖𝑗  ∂u^𝑖/∂ū^m  ∂u^𝑗/∂ūⁿ,  m,n = 1,2   𝑔_𝑖𝑗 = 𝑔̄_mn ∂ū^m/∂u^𝑖 ∂ūⁿ/∂u^𝑗,  𝑖,𝑗 = 1,2   [9-69ab]
        만약 주어진 점에서 tangent vector가 𝐯 = v^𝑖 ∂/∂u^𝑖 그리고 𝐰 = w^𝑗 ∂/∂u^𝑗 이면,  <𝐯, 𝐰> = 𝑔_𝑖𝑗v^𝑖w^𝑗   [9-70]
        Eq. (70)의 좌변이 coordinate의 선택에 독립적이므로, 우변도 마찬가지입니다. 그러므로 다른 local coordinate system의
        𝑔̄_𝑖𝑗v̄^𝑖w̄^𝑗 도 같은 값, <𝐯, 𝐰>를 갖아야만 합니다. 바꾸어 말하면, 𝑔_𝑖𝑗v^𝑖w^𝑗 은 an invariant 不變量입니다.
    ∘   어떤 tangent vector 𝐯 를 위해서, ∥𝐯∥= <𝐯, 𝐯>^1/2 라고 정의합니다. 만일 𝛂 = 𝛂(t), a ≤ t ≤ b,가 𝐌 안의 곡선이라 하면
,       우리는 그 곡선의 길이를 Section 1에서 처럼, 다음과 같이 정의합니다,   𝐿 = ∫^b_a∥𝛂'(t)∥dt.
        만일 s = s(t)가 𝛂(a)로부터 𝛂(b)까지의 곡선 거리를 나타낸다면, 𝛂(t)의 neighborhood 안의 어떤 local coordinate system을
        위해서도 다음과 같이 정의됩니다.   (ds/dt)² =  𝑔_𝑖𝑗 du^𝑖/dt du^𝑗/dt   [9-71]
         Eq. (71) 우측변의 invariant 표현(不變式)이 2-manifold의 the metric 計量 혹은 fundamental form 基本形式입니다.
    ∘   local coordinate의 각 system에서, (𝑔^𝑖𝑗)를 (𝑔_𝑖𝑗)의 역행렬(matrix inverse), 즉, 𝑔_𝑖𝑗𝑔^𝑗𝑘 = 𝛿^𝑘_𝑖 (𝑖,𝑘 = 1,2)라고 정의합니다. 그러면
         우리는 Eqs. (36) (37)을 정의로 채택함으로써 각 coordinate system에서 Christoffel symbols 을 정의할 수 있습니다.

    ∘  Definition I-19
         만일 s가 호의 길이인 𝛂 = 𝛂(s)가 𝐌 안의 곡선이라면, 또한 𝛂 편에 정의된 각 local coordinate system에서 다음과 같으면,
         𝛂는 a geodesic 이라 부른다.   d²u^r/ds² + 𝛤^r_𝑖𝑗 du^𝑖/ds du^𝑗/ds = 0,  r = 1,2   [9-72]
         [만일 Eq. (72)가 한 coordinate system에서 유지되면, 두 system이 중첩되는 곳에서, 다른 데에서도 물론 유지됩니다!]

    ∘   Theorems 1-9과 1-10은 그 증명에 있어 단지 부수적인 변경만으로 Rimannian 2-manifolds로 확장됩니다. 실제로 내재적인
          매개화된 곡면을 위한 개념과 결과들도 일반적 Riamannian 2-manifolds로 확장됩니다. 이 section의 모든 기본 아이디어는
          더 고차원으로 일반화합니다. 만일 모든 coordinate patch 𝐗:𝐃 → 𝐌의 domain 𝐃가 Euclidean n-space Eⁿ의 부분집합이면,
          Definition 1-12은 n-manifold의 정의가 됩니다. Local coordinates는 그러면 n-tuples (u¹, u² ..... uⁿ)이고, 또한 각 점 𝐏에서,
          tangent "plane"은 이제 ∂/∂u¹(𝐏), ∂/∂u²(𝐏) ..... ∂/∂uⁿ(𝐏)에 의해 생성된 n-dimensional tangent space 接空間입니다.    
     ∘   모든 지수들이 1에서 𝑛까지 값을 갖고, (𝑔_𝑖𝑗)는 𝑛 x 𝑛 대칭 행렬입니다. curvature tensor 𝑅^h_𝑖𝑗𝑘의 독립 성분은 𝑛²(𝑛² -1)/12개
          이므로, 예를 들어 3차원에서는 6, 4차원에서는 20이 됩니다. 결과적으로 curvature를 기술하려면 한 function 𝐊(𝐏)보다는 더
          많이 필요합니다. 만일 어떤 coordinate patch 𝐗:𝐃 → 𝐌를 위해서 𝐗(𝐃) 전체에서 𝑅^h_𝑖𝑗𝑘 = 0  (for all h,𝑖,𝑗,𝑘) 이 된다면, 𝐗(𝐃)는
           flat 平平한, 즉, 국지적으로 유클리드 공간과 isometric한(等距離인) 경우입니다.  

*  이 책에서는 tensor에 관련해서는 본격적인 논의를 않고 모든 좌표계 변환에서 불변하다는 정도만을 언급함.
p.s.  처음 접한 미분기하학을 제가 이해할 수 있도록 저술하신 Boston College Richard Faber 교수에게 경의를 표합니다!
        운 좋게도 현재 East Tennessee States University Robert Gardner 교수의 'Classnotes'[대학원의 강의 노트] (u. 7/2019)가 공개되어 있습니다.