Introduction to Differential Geometry (3)

     ∘  Definition I-4
         𝐤₁과 𝐤₂가 곡면 𝐌의 한 점 𝐏의 normal curvature 𝐤_n(𝐯)의 최대값과 최소값이라면, 𝐤₁과  𝐤₂를 principal curvatures 라 하며
해당 방향을 principal directions 이라 하며, 곱인 𝐊 = 𝐊(𝐏) = 𝐤₁𝐤₂는 𝐏에서의 𝐌의 Gauss curvature 라 부른다.

     ∘  Theorem I-5  
         𝐌의 어떤 점 𝐏의 Gauss curvature : 𝐊(𝐏) = 𝐿/𝑔 로 주어진다. <- 𝐿 = det (𝐿_𝑖𝑗), 𝑔 = det (𝑔_𝑖𝑗)
         Proof. 우리는 𝑔_𝑖𝑗v^𝑖v^𝑗 = 1 라는 제한된 식을 extremize(極値化)함으로써 증명을 유도하려고 합니다.
          𝐤 = 𝐤_n(𝐯) = 𝐿_𝑖𝑗v^𝑖v^𝑗/𝑔_𝑚𝑛v^𝑚v^𝑛  <- 𝐯: non-zero vectors of 𝐓_𝑝𝐌; 𝐯 = v^𝑖𝐗_𝑖: principal direction vector, ∂𝐤/∂v¹ = ∂𝐤/∂v² = 0  
              Let f(x₁, x₂) = a_𝑖𝑗x^𝑖x^𝑗  <- quadratic form, (a_𝑖𝑗): real symmetric n X n matrix: a_𝑖𝑗 = a_𝑖𝑗, Then ∂f/∂x^𝑟 = 2a_𝑟𝑗x^𝑗,  r = 1,2. ∴
         [d[f(x)/g(x)]/dx = [f'(x)g(x)- f(x)g'(x)]/g(x)²]→  ∂𝐤/∂v^𝑟 = (2𝑔_𝑚𝑛v^𝑚v^𝑛𝐿_𝑟𝑗v^𝑗 - 2𝐿_𝑖𝑗v^𝑖v^𝑗𝑔_𝑟𝑛v^𝑛)/(𝑔_𝑚𝑛v^𝑚v^𝑛)², r = 1,2
         [분자의 𝐿_𝑖𝑗v^𝑖v^𝑗↦ 𝐤𝑔_𝑚𝑛v^𝑚v^𝑛, 분자 분모를 정리]→  ∂𝐤/∂v^𝑟 = [2(𝐿_𝑟𝑗 -  𝐤𝑔_𝑟𝑗)v^𝑗]/𝑔_𝑚𝑛v^𝑚v^𝑛, r = 1,2
         At an extreme value we must have (𝐿_𝑖𝑗 - 𝐤𝑔_𝑖𝑗)v^𝑗 = 0, 𝑖 = 1,2. then det(𝐿_𝑖𝑗 - 𝐤𝑔_𝑖𝑗) = 0.  <- v^𝑗: non-zero vector; why?   [6-24]
         𝑔 = det (𝑔_𝑖𝑗) = 𝑔₁₁𝑔₂₂ - (𝑔₁₁)²,  𝐿 = 𝐿₁₁𝐿₂₂ - (𝐿₁₁)²; 𝐤², 𝐤, constant에 대해 (𝐤 - 𝐤₁)(𝐤 - 𝐤₂) = 0 방식으로 전개합니다.
         𝐤²𝑔 - 𝐤(𝑔₁₁𝐿₂₂ + 𝑔₂₂𝐿₁₁ - 2𝑔₁₂𝐿₁₂) + 𝐿 = 0  or 𝐤² - 𝐤(𝑔₁₁𝐿₂₂ + 𝑔₂₂𝐿₁₁ - 2𝑔₁₂𝐿₁₂)/𝑔 + 𝐿/𝑔 = 0, ∴ 𝐊(𝐏) = 𝐤₁𝐤₂ = 𝐿/𝑔  ▮ *

     ∘  Gauss curvature의 두 principal direction은 서로 직교한다. 
         Proof. 점 𝐏의 두 non-zero principal direction vector를 각각 𝐯 = v^𝑖𝐗_𝑖, 𝐰 = w^𝑖𝐗_𝑖 라고 합시다.
         By Eq. (24), (𝐿_𝑖𝑗 - 𝐤₁𝑔_𝑖𝑗)v^𝑗 = 0, (𝐿_𝑖𝑗 - 𝐤₂𝑔_𝑖𝑗)w^𝑗 = 0,  𝑖 = 1,2; [𝑖 ⇄ 𝑗, 𝑔_𝑖𝑗 = 𝑔_𝑗𝑖] → 𝐿_𝑖𝑗v^𝑖 = 𝐤₁𝑔_𝑖𝑗v^𝑖,  𝑖 = 1,2    [6-25]
         By Eq. (24) (25), (𝐤₁ - 𝐤₂)𝑔_𝑖𝑗v^𝑖w ^𝑗 = 0. ∴𝑔_𝑖𝑗v^𝑖w ^𝑗 = 𝐯 ∙ 𝐰 = 0. 만일 𝐤₁ ≠ 𝐤₂ 이면, 두 principal directions은 서로 직교한다.  
         만일 𝐤₁ = 𝐤₂ 이면, 우리는 서로 직교하는 두 direction을 선택해서 principal directions이라고 부릅니다. ▮
     ∘  Sphere mapping  or Gauss mapping
         𝐏 = 𝐗 (u¹₀, u²₀) 그리고 𝛺: neighborhood of (u¹₀, u²₀), 𝐗: one-to-one, continuous inverse 𝐗(𝛺)→ 𝛺 라고 가정한다면,
         𝐗(𝛺)의 각 점 𝐗 (u¹, u²)으로, E³의 원점으로 pararell-translated normal vector 𝐔 (u¹, u²)를 관련시킬 수 있습니다.
        ∥𝐔∥= 1 이므로, 그 translated vector는 unit sphere 𝐒²의 한점관 연관시켜 볼 수 있는데, 이러한  𝐗(𝛺)→ 𝐒² mapping을
         Sphere mapping 또는 Gauss mapping라 부르며. 𝐔(𝛺)는 𝐗(𝛺)의 spherical normal image라 부르기도 합니다.  
         𝐔는 sphere에 수직하므로, 𝐒²의  𝐔(u¹, u²)의 tangent plane 𝐓_u𝐒²는 𝐗(u¹, u²)의 tangent plane 𝐓_x𝐌과 평행합니다.
         ∴ 𝐔 = ∓ (𝐔₁  ⨯ 𝐔₂) /∥𝐔₁ ⨯ 𝐔₂∥ or  𝐔 ∙ 𝐔₁ ⨯ 𝐔₂ = ∓∥𝐔₁ ⨯ 𝐔₂∥.
     ∘  Area 𝐔(𝛺) = ∓ ∬_𝛺∥𝐔₁ ⨯ 𝐔₂∥du¹du² = ∬_𝛺 𝐔 ∙ 𝐔₁ ⨯ 𝐔₂ du¹du²,  𝐗(𝛺) = ∓ ∬_𝛺∥𝐗₁ ⨯ 𝐗₂∥du¹du² = ∬_𝛺 𝐔 ∙ 𝐗₁ ⨯ 𝐗₂ du¹du²
         𝐊(𝐏) = lim_{𝛺 → (u0¹, u0²)} [Area 𝐔(𝛺)/Area 𝐗(𝛺)]   [6-26]
         Area 𝐔(𝛺) ≈ (𝐔 ∙ 𝐔₁ ⨯ 𝐔₂)(𝐏) A(𝛺), 𝐗(𝛺) ≈ (𝐔 ∙ 𝐗₁ ⨯ 𝐗₂)(𝐏) A(𝛺) ∴ Area 𝐔(𝛺)/𝐗(𝛺) ≈ (𝐔 ∙ 𝐔₁ ⨯ 𝐔₂ / 𝐔 ∙ 𝐗₁ ⨯ 𝐗₂) (𝐏)
     ∘  Lemma (보조 정리) I-6
         𝐔₁ ⨯ 𝐔₂ = 𝐊 (𝐗₁ ⨯ 𝐗₂)
         Proof.  Define the functions 𝐿^𝑖_𝑗(u¹, u²) 𝐿^𝑖_𝑗 ≡ 𝐿_𝑗𝑘 𝑔^𝑘𝑖,  𝑖,𝑗 =1,2   [6-27]
         𝐿^𝑖_𝑗 𝑔_𝑖𝑚 = 𝐿_𝑗𝑘 𝑔^𝑘𝑖𝑔_𝑖𝑚 = 𝐿_𝑗𝑘 𝛿^𝑘_𝑚 = 𝐿_𝑗𝑚;  𝐔 ∙ 𝐔 = 1, ∴ 𝐔 ∙ 𝐔_𝑗 = 0;  𝐔_𝑗 = a^𝑟_𝑗 𝐗_𝑟,  𝑗 =1,2  <- linear combination of 𝐗₁ and 𝐗₂
         𝐔 ∙ 𝐗_𝑘 = 0 → 𝐔_𝑗 ∙ 𝐗_𝑘 + 𝐔 ∙ 𝐗_𝑗𝑘 = 0  <- differentiated by u^𝑗; ∴ 𝐔_𝑗 ∙ 𝐗_𝑘 = - 𝐔 ∙ 𝐗_𝑗𝑘 = -𝐿_𝑗𝑘 = a^𝑟_𝑗 𝐗_𝑟 ∙ 𝐗_𝑘 = a^𝑟_𝑗 𝑔_𝑟𝑘, 𝑗,𝑘 = 1,2
         <- by eq. 20; [양변에 𝑔^𝑘𝑖를 곱하고 sum over k]→  - 𝑔^𝑘𝑖𝐿_𝑗𝑘 = a^𝑟_𝑗 𝑔_𝑟𝑘𝑔^𝑘𝑖 = a^𝑟_𝑗 𝛿^𝑖_𝑟 = a^𝑖_𝑗, ∴ a^𝑖_𝑗 = - 𝐿^𝑖_𝑗  <- by eq. 27;
         ∴ 𝐔_𝑗 = - 𝐿^𝑖_𝑗 𝐗_𝑖,  𝑗 =1,2  <- the equation of Weingarten   [6-28]
         𝐔₁ ⨯ 𝐔₂ = (- 𝐿^𝑖₁𝐗_𝑖) ⨯ (- 𝐿^𝑘₂𝐗_𝑘) = (𝐿¹₁𝐗₁ + 𝐿²₁𝐗₂)  ⨯ (𝐿¹₂𝐗₁ + 𝐿²₂𝐗₂) = (𝐿¹₁𝐿²₂ -  𝐿²₁𝐿¹₂) (𝐗₁ ⨯ 𝐗₂) = det (𝐿^𝑖_𝑗) (𝐗₁ ⨯ 𝐗₂)
          <- 𝐗_𝑖 ⨯ 𝐗_𝑖 = 𝟎, 𝐗_𝑖 ⨯ 𝐗_𝑗 = - 𝐗_𝑗 ⨯ 𝐗_𝑖; [det(𝐀𝐁) = det(𝐀)det(𝐁); det(𝐀^-1) = 1/det(𝐀): det(𝐀) is non-zero, iff, 𝐀 is invertible.]
         det(𝐿^𝑖_𝑗) = det(𝐿_𝑗𝑘𝑔^𝑘𝑖) = det(𝐿_𝑗𝑘)det(𝑔^𝑘𝑖) = det(𝐿_𝑗𝑘)/det(𝑔_𝑘𝑖) = 𝐿/𝑔 = 𝐊. ▮

7. Geodesics ** <- Figure I-28 참조

     ∘  일반적으로 곡면 𝐌 위 곡선 𝛂은 두가지 이유로 curvature를 갖습니다. 첫째는 곡면 자체가 3차원의 공간 속에서 굽은 것으로
        본질적으로는 앞에서 논의된 normal curvature 입니다. 둘째는 𝐌이 곡면이든 아니든 𝛂가 𝐌에 대해 상대적으로 굽은 정도로
        이를 geodesic curvature 라 부르며, 아래와 같이 정의합니다.
     ∘  𝛂(s) <- s: arc length; 𝛂' ∙ 𝛂' = 1, ∴ 𝛂" ∙ 𝛂' = 0;  𝛂" = 𝛂"_tan + 𝛂"_nor = (u^𝑟" + 𝛤^𝑟_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗')𝐗_𝑟 + (𝐿_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗')𝐔  <- by eq. (18)
        𝛂"_tan ∙ 𝐔 = 0 and 𝛂"_tan ∙ 𝛂' = (𝛂"_tan + 𝛂"_nor) ∙ 𝛂' = 𝛂" ∙ 𝛂' = 0 이므로, 𝛂"_tan는 다음 식의 the geodesic normal vector 인,  
        𝐰 = 𝐔 ⨯ 𝛂' (a vector tangent to 𝐌)와 비례하는데. 그 propotionality factor를  geodesic curvature 라고 부릅니다.

     ∘  Definition I-7         𝛂 = 𝛂(s)가 s가 호의 길이인 𝐌의 곡선일 때, 𝛂(s)에서의 geodesic curvature 는 다음 방정식의 함수 𝐤_g = 𝐤_g(s)이다.  
              𝛂"_tan = 𝐤_g 𝐰 = 𝐤_g 𝐔 ⨯ 𝛂'   [7-30]
        ∴ 𝐤_g = 𝐔 ∙ 𝛂' ⨯ 𝛂" <- geodesic curvature  𝐤_g = 𝛂"_tan∙ 𝐰 = 𝛂" ∙ 𝐰 = 𝛂" ∙ 𝐔 ⨯ 𝛂' <- 삼중 내적의 순환   [7-31]

     ∘  Definition I-8
        𝛂 = 𝛂(s)가 s가 호의 길이인 𝐌의 곡선일 때, 만일 𝛂가 모든(every) 점에서 𝛂"_tan = 𝟬 (동등하게 𝛂" = 𝛂"_nor) 이라면
        𝛂를 하나의 geodesic 이라고 부른다. 
           ∴  𝛂"_tan = u^𝑟" + 𝛤^𝑟_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗' = 0,  𝑟 = 1,2,  𝐤_g = 𝐔 ∙ 𝛂'⨯ 𝛂" = 0 <- a geodesic, if and onky if,  [7-32ab]

     ∘  Christoffel symbols of the second kind and the first kind
        Eq. (17) [𝐗_𝑖𝑗 =  𝛤^𝑟_𝑖𝑗𝐗_𝑟 + 𝐿_𝑖𝑗𝐔,  𝑖,𝑗 = 1, 2]에서 정의된 𝛤^𝑟_𝑖𝑗를  Christoffel symbols of the second kind 라고 부릅니다.
        또한 𝛤_𝑖𝑗𝑘 = 𝛤^𝑟_𝑖𝑗𝑔_𝑟𝑘  𝑖,𝑗,𝑘 = 1,2 로 정의합니다. <- 𝛤_𝑖𝑗𝑘: Christoffel symbols of the first kind   [7-33]
        𝐗_𝑖𝑗 ∙ 𝐗_𝑘 = 𝛤^𝑟_𝑖𝑗 𝐗_𝑟 ∙ 𝐗_𝑘 = 𝛤^𝑟_𝑖𝑗 𝑔_𝑟𝑘 = 𝛤_𝑖𝑗𝑘 -> ※ 𝛤^𝑟_𝑖𝑗= 𝛤^𝑟_𝑗𝑖,  𝛤_𝑖𝑗𝑘= 𝛤_𝑗𝑖𝑘,  𝛤^𝑚_𝑖𝑗= 𝛤_𝑖𝑗𝑘 𝑔^𝑘𝑚  by eq. (17,12)   [7-34]
         ∂𝑔_𝑖𝑘/∂u^𝑗 = (∂ /∂u^𝑗)(𝐗_𝑖 ∙ 𝐗_𝑘) =  𝐗_𝑖𝑗 ∙ 𝐗_𝑘 + 𝐗_𝑘𝑗 ∙ 𝐗_𝑖 = 𝛤_𝑖𝑗𝑘 +  𝛤_𝑘𝑗𝑖
         ∂𝑔_𝑖𝑘/∂u^𝑗 = 𝛤_𝑖𝑗𝑘 +  𝛤_𝑘𝑗𝑖,  ∂𝑔_𝑗𝑖/∂u^𝑘 = 𝛤_𝑗𝑘𝑖 +  𝛤_𝑖𝑘𝑗,  ∂𝑔_𝑘𝑗/∂u^𝑖 = 𝛤_𝑘𝑖𝑗 +  𝛤_𝑗𝑖𝑘   [7-35]
         ∴  𝛤_𝑖𝑗𝑘 = 1/2 (∂𝑔_𝑖𝑘/∂u^𝑗 +  ∂𝑔_𝑘𝑗/∂u^𝑖 - ∂𝑔_𝑗𝑖/∂u^𝑘) <- Christoffel symbols of the first kind  [7-36]
         ∴  𝛤^𝑟_𝑖𝑗 = (1/2) 𝑔^𝑘𝑟 (∂𝑔_𝑖𝑘/∂u^𝑗 +  ∂𝑔_𝑘𝑗/∂u^𝑖 - ∂𝑔_𝑗𝑖/∂u^𝑘) <- Christoffel symbols of the second kind  [7-37]

         Eq.(32a)(37)로 extrinsic한 정의의 Christoffel symbol과 geodesic의 intrinsic 해법이 가능한 것을 알 수 있습니다!

    ∘  Christoffel symbols 계산 <- 𝑔_𝑖𝑗 = 𝐗_𝑖 ∙ 𝐗_𝑗, 𝑔 = det (𝑔_𝑖𝑗) = 𝐸𝐺 - 𝐹², 𝑔_𝑖𝑗𝑔^𝑗𝑘 =  𝛿^𝑘_𝑖, 𝑔¹¹= 𝑔₂₂/𝑔, 𝑔¹²= 𝑔²¹= -𝑔₁₂/𝑔, 𝑔²²= 𝑔₁₁/𝑔
         Orthogonal coordinates 直交 座標系: 𝐹 = 𝑔₁₂= 𝑔₂₁= 0, 𝑔¹²= 𝑔²¹= 0, 𝑔¹¹= 𝐺/𝐸𝐺 = 1/𝐸 = 1/𝑔₁₁, 𝑔²²= 𝐸/𝐸𝐺 = 1/𝐺 = 1/𝑔₂₂
             𝛤^𝑟_𝑖𝑗 = (1/2𝑔_𝑟𝑟)(∂𝑔_𝑖𝑟/∂u^𝑗 +  ∂𝑔_𝑟𝑗/∂u^𝑖 - ∂𝑔_𝑗𝑖/∂u^𝑟)  (no sum) <- replacing 𝑘 by 𝑟   [7-38]
            (Case 1) For 𝑗 = 𝑟: 𝛤^𝑟_𝑖𝑟 = (1/2𝑔_𝑟𝑟) ∂𝑔_𝑟𝑟/∂u^𝑖  (no sum)   [7-39a]             (Case 2) For 𝑖 = 𝑗 ≠ 𝑟:  𝛤^𝑟_𝑖𝑖 = (1/2𝑔_𝑟𝑟)(- ∂𝑔_𝑖𝑖/∂u^𝑟)  (no sum)  <- 𝑔_𝑖𝑟= 𝑔_𝑗𝑟= 0   [7-39b]
            (Case 3) (in dimension > 2) For 𝑖, 𝑗, 𝑟 all distinct:   𝛤^𝑟_𝑖𝑗 = 0   <-  𝑔_𝑖𝑗= 𝑔_𝑖𝑟= 𝑔_𝑗𝑟= 0   [7-39c]
            (in dimension 2)  𝛤¹₁₁= 𝐸_u/2𝐸,  𝛤²₂₂= 𝐺_v/2𝐺,  𝛤¹₁₂= 𝛤¹₂₁= 𝐸_v/2𝐸,  𝛤²₁₂= 𝛤²₂₁= 𝐺_u/2𝐺,  𝛤¹₂₂= -𝐺_u/2𝐸<,  𝛤²₁₁= -𝐸_v/2𝐺   [7-40]
     ∘   Example 17. Cartesian 좌표계의 평면
          ds² = du² +  dv², 𝐸 = 𝐺 = 1, u"= v"= 0; u = as + b, v = cs + d, ∴ geodesics: straight lines(直線)  ▮
     ∘   Example 18. Geographic(地理) 좌표계의 구
          𝐗(u, v) = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin v), 𝐸 = R²cos v², 𝐹 = 0 , 𝐺 = R²,             𝐗₁ = (-R sin u cos v, R sin u sin v, 0), 𝐗₂ = (-R cos u sin v, R cos u cos v, R cos v),  
                    ds² = R²cos²v du² + R²dv²,  𝛤¹₁₂= 𝛤¹₂₁= 𝐸_v/2𝐸 = -tan v, 𝛤²₁₁= -𝐸_v/2𝐺 = sin v cos v, 
          (Geographic 좌표계 구의 geodesics이 great circles(大圓)이라는 증명은 나중에 나옵니다.  <- Ex. 12, 14 참조)
     ∘   Example 19. Polar(極) 좌표계의 평면
          𝐗(r, 𝜃) = (rcos𝜃, rsin𝜃, 0), 𝐗₁ = (cos𝜃, sin𝜃, 0), 𝐗₂ = (-rsin𝜃, rcos𝜃, 0), 𝐸 = 1, 𝐹 = 0, 𝐺 = r²;  (u, v)→ (r, 𝜃) in Eq. (40)
          ds² = dr² +  r²d𝜃²,  𝛤²₁₂= 𝛤²₂₁= 1/r,  𝛤¹₂₂= -r;  applying Eq. (32a) [u^r" + 𝛤^𝑟_𝑖𝑗u^𝑖'u^𝑗' = 0, r=1,2  u¹= r, u²= 𝜃]→
          d²r/ds² - r (d𝜃/ds)² = 0,  d²𝜃/ds² + 2/r (dr/ds)(d𝜃/ds) = 0   [7-41ab]
          If we divide Eq. (41b) by 𝜃'= d𝜃/ds, then 1/𝜃'(d𝜃'/ds) + 2/r(dr/ds) = 0, [integrated to s]→ ln ∣𝜃'∣ + ln r² = c.
          [expoentiationg]→  ∣r²𝜃'∣ = e^c or r² d𝜃/ds = h  h: non-zero constant   [7-42]  
                                                [deviding Eq.(6) by ds²] →  1 = (dr/ds)² + r²(d𝜃/ds)² = (dr/ds)² + h²/r²   [7-43]
          dr/ds =  ∓ 1/r(r² - h²)^1/2, [by eq. (40)]→ d𝜃/dr =  ∓ h/[r(r²-h²)^1/2] = ∓ d(cos^-1 h/r)/dr  
          h/r = cos(𝜃 - 𝜃₀)  <-  h: 원점에서 직선까지 수직거리, 𝜃₀: 𝜃 = 0 에서 원점에서 직선까지의 수직 교차점까지의 각  [7-44] 
                     그러므로 이 geodesic은 점 𝐏(r, 𝜃)와 𝐀(h, 𝜃₀)를 연결하는 직선 𝐏𝐀^↔의 방정식입니다. <- ∠𝐏𝐎𝐀 = 𝜃 - 𝜃₀ ▮

    ∘  Theorem I-9
        𝛂 = 𝛂(s)가, a≤s≤b, 𝐌 위의 s가 호의 길이인 곡선일 때, 만일 𝛂가 두 끝점을 연결하는 곡면 𝐌 위의 가장 짧은 곡선이라면
,         𝛂는 한 geodesic이다.    
         Proof.  𝛂(s) =  𝐗(u¹(s), u²(s)), length of 𝛂_𝜖(s) ≧ length of 𝛂(s),
         U^𝑖(s, 𝜖) = u^𝑖(s) + 𝜖v^𝑖(s) for 𝑖=1,2, a≤s≤b, v^𝑖: smooth function v^𝑖(a)= v^𝑖(b)= 0, 𝑖=1,2, 임의의 (U¹, U²) in the domain of 𝐗
         For each 𝜖, 𝛂_𝜖(s) = 𝐗(U¹(s, 𝜖), U¹(s, 𝜖)) is a slight variation. [Figure I-28];  이제 L(𝜖)를 𝛂_𝜖의 길이라고 합시다.
         L(𝜖) = ∫_a^b𝜆(s, 𝜖)ds, <- 𝜆(s, 𝜖) = [𝑔_𝑖𝑗(U¹,U²) ∂U^𝑖/∂s, ∂U^𝑗/∂s]^1/2; the minimality of L(0) → L'(0) = ∫_a^b ∂𝜆(s,0)/∂𝜖 ds = 0
         ∂𝜆(s,𝜖)/∂𝜖 = 1/2𝜆[(∂𝑔_𝑖𝑗)/∂𝜖)(∂U^𝑖/∂s)(∂U^𝑗/∂s) + 2𝑔_𝑖𝑗(∂U^𝑖/∂s)(∂²U^𝑗/∂s∂𝜖)] <- 𝜆=√ F, 𝜆'=(1/2𝜆)F'; 𝑔_𝑖𝑗= 𝑔_𝑗𝑖
         L'(0) = (1/2)∫_a^b (∂𝑔_𝑖𝑗/∂U^𝑘)v^𝑘U^𝑖'U^𝑗' + 2𝑔_𝑖𝑘U^𝑖'v^𝑘') ds = 0  <- 𝜖 = 0, 𝛂₀(s) = 𝛂(s), 𝜆(s, 0) = 1; ∂U^𝑗/∂𝜖 = v_𝑗          괄호안 둘째항의 적분: [∫ udv = uv- ∫ vdu],  u: 2𝑔_𝑖𝑘U^𝑖',  dv: v^𝑘'ds,  du: ∂/∂s[2𝑔_𝑖𝑘U^𝑖']ds,  v = ∫ dv = ∫ v^𝑘'ds = v^𝑘,
         uv = 2𝑔_𝑖𝑘U^𝑖'v^𝑘 ∣^b_a = 0  (∵ v^𝑘(a) = v^𝑘(b) = 0),  ∴ [∫ udv = - ∫ vdu = - 2∂(𝑔_𝑖𝑘U^𝑖'v^𝑘)/∂s ds
         L'(0) = (1/2)∫_a^b[(∂𝑔_𝑖𝑗/∂U^𝑘)U^𝑖'U^𝑗' - 2∂(𝑔_𝑖𝑘U^𝑖')/∂s] v^𝑘 ds = 0  
         ∴ 1/2(∂𝑔_𝑖𝑗/∂U^𝑘)U^𝑖'U^𝑗' - ∂(𝑔_𝑖𝑘U^𝑖')/∂s = 0,  𝑘 = 1,2  → 이하는 이로부터 Eq. (32a)를 추론합니다.
         0 =  1/2(∂𝑔_𝑖𝑗/∂U^𝑘)U^𝑖'U^𝑗' - (∂𝑔_𝑖𝑘/∂U^𝑗)U^𝑖''U^𝑗'- 𝑔_𝑚𝑘u^𝑚" = [1/2(𝛤_𝑖𝑘𝑗 + 𝛤_𝑗𝑘𝑖) - (𝛤_𝑘𝑗𝑖 + 𝛤_𝑖𝑗𝑘)]U^𝑖'U^𝑗' - 𝑔_𝑚𝑘u^𝑚"  
         [𝛤_𝑖𝑘𝑗U^𝑖'U^𝑗' =  𝛤_𝑗𝑘𝑖U^𝑖'U^𝑗'] (dummi index 교환);  𝛤_𝑗𝑘𝑖 = 𝛤_𝑘𝑗𝑖; ∴ 𝑔_𝑚𝑘u^𝑚" + 𝛤_𝑖𝑗𝑘U^𝑖'U^𝑗' = 0; 양변에 𝑔^𝑘r 곱하고 k에 대해 합산을 하면,
         𝑔_𝑚𝑘𝑔^𝑘ru^𝑚" + 𝛤_𝑖𝑗𝑘𝑔^𝑘rU^𝑖'U^𝑗' = 0,  𝜎_𝑚^ru^𝑚" +  𝛤 ^r _𝑖𝑗U^𝑖'U^𝑗' = 0, u^r" + 𝛤 ^r _𝑖𝑗U^𝑖'U^𝑗' = 0, r = 1,2;  ∴ 𝛂는 하나의 geodesic입니다. ▮

    ∘  Theorem I-10
        𝐌의 점 𝐏와 그 곳의 unit tangent vector 𝐯가 주어지면, 𝛂(0) = 𝐏 그리고 𝛂'(0) = 𝐯인 유일한 geodesic 𝛂(s)가 존재한다.
         Proof. 𝐏 = 𝐗(u₀¹, u₀¹), 𝐯 = v^𝑖𝐗_𝑖(u₀¹, u₀¹) 이라고 하면 geodesic의 정의 Eq. (32a)에 따라 유일한 function u^r(s)는,
         u^𝑟" + 𝛤^𝑟_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗' = 0,  u^r = u^r₀,  u^r'(0) = v'  for r = 1,2  <- 𝛂(s) =  𝐗(u¹(s), u²(s)), s: arc length
         f(s) = ∥𝛂'(s)∥² = 𝑔_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗' = constant C  <- ds² by eq. (6), the first fundamental form; f(0): unit length
         f'(s) = (∂𝑔_𝑖𝑗/∂u^𝑘)u^𝑖'u^𝑗'u^𝑘' + 𝑔_𝑖𝑗 u^𝑖"u^𝑗' + 𝑔_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗" = (𝑔_𝑗𝑟𝛤^𝑟_𝑖𝑘 + 𝑔_𝑖𝑟𝛤^𝑟_𝑗𝑘)u^𝑖'u^𝑗'u^𝑘' + 𝑔_𝑖𝑗 u^𝑖"u^𝑗' + 𝑔_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗"
                 = 𝑔_𝑖𝑟u^𝑖'(u^𝑟" + 𝛤^𝑟_𝑗𝑘 u^𝑗'u^𝑘') + 𝑔_𝑟𝑗u^𝑗'(u^𝑟" + 𝛤^𝑟_𝑖𝑘 u^𝑖'u^𝑘') = 0, and so f(s) ≡ 1.  <- unit tangent vector
         즉, Geodesic 필요충분조건식 Eq. (32a)을 적용하면 metric form이 성립하고, 그 역도 성립하므로 증명이 완료됩니다. ▮            

     ∘   Exercise I-7-12.  Sppose 𝐌 has metric form ds² = 𝐸 du² + 𝐺 dv² with 𝐸_v = 𝐺_v = 0.
         (a) Verify that the only non-zero Christoffel symbol 𝛤^𝑟_𝑖𝑗 are 𝛤¹₁₁ = 𝐸_u /2𝐸, 𝛤²₁₂ = 𝛤²₂₁ = 𝐺_u /2𝐺, 𝛤¹₂₂ = - 𝐺_u /2𝐸. Solution. Eq. (40)
         (b) Show that a geodesic on 𝐌 satisfies  v" + 𝐺_u /𝐺 u' v' = 0 and intergrate this equation to obtain 𝐺v' = h (a non-zero constant)

              Solution. u^𝑟" + 𝛤^𝑟_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗' = 0, 𝑟 = 1,2, Hence v " + 2𝛤²₁₂u'v' = 0. ∴ v" + 𝐺_u /𝐺 u'v' = 0.  Again, d(𝐺v')/𝐺ds = v" + (𝐺_u /𝐺)u'v' = 0.
              Therefore d(𝐺v')/ds = 0, and 𝐺v' = h, h = non-zero constant.
         (c) Refering to Example 19, combine 𝐺v' = h with 𝐸 (u')² + 𝐺 (v')² = 1 to obtain dv/du = ∓ h√ 𝐸 /{√ 𝐺 √ (𝐺 - h²)}.  [7-45]
              Solution. dv/dh = h/𝐺. 1 = 𝐸(du/ds)² + 𝐺(du/ds)²=  𝐸(du/ds)² + 𝐺(h/𝐺)²= 𝐸(du/ds)² + h²/𝐺. Hence du/ds = ∓ √ {(1 - h²/𝐺)/𝐸},
              dv/du = ∓ h/𝐺 √ {E/(1 - h²/𝐺)} = ∓ h√ 𝐸 /{√ 𝐺 √ (𝐺 - h²)}. ▮
     ∘   Exercise I-7-14.  If 𝐌 has metric ds² = 𝐸 du² + 𝐺 dv² with 𝐸_u = 𝐺_u = 0. a geodesic on 𝐌 satisfies  du/dv = ∓ h√ 𝐺  /√ 𝐸 √ (𝐸 - h²).
              (A proof is immediately obtained if in Exercise 12 we Intechange u with v, 𝐸  with 𝐺, and 1 with 2)
         (a) Show that a geodesic on the sphere satisfies  du/dv = h sec²v /√ (R² - h² sec²v) =  h sec²v /√ (R² - h² - h² tan²v). h: const.
              Solution. du/dv = ∓ h√ 𝐺  /{√ 𝐸 √ (𝐸 - h²)}  𝐸u' = h,  𝐸 = R² cos² v, 𝐺 = R²,
              du/dv = ∓ h√ 𝐺  /√ 𝐸 √ (𝐸 - h²) = hR / (R cos v √ (R² cos v - h²) = h sec²v /√ (R² - h² sec²v) =  h sec²v /√ (R² - h² - h² tan²v).
         (b) By means of the substitution w = h tan v, intergrate the above equation to obtain  cos(u - u₀) + 𝛾 tan v = 0,  u₀), 𝛾 = constants. [46]
              [Use ∫ (a² - x²)^-1/2 dx = - cos^-1 (x/a) + c.]
              Solution. dw = h sec² v dv,  u = ∫ {h sec² v / √ (r² - h² - h² tan²} dv = - ∫ {-1/√ R² - h² - w²)} dw = - cos^-1(w /√ {R² - h²)} + u₀.
              Therefore cos (u - u₀) = w /√ {R² - h²) = h tan v /√ {R² - h²). Let  𝛾 = -h /√ {R² - h²)  be. Then we have  cos (u - u₀) + 𝛾 tan v = 0.
         (c) Show that Eq. (46), when reexpressed in terms of Cartesian coordinates,   x = R cos u cos v,    y = R sin u cos v,   z = R sin v 
               is a linear equation of the form 𝛼x + 𝛽y + 𝛾z = 0, and so represednts a plane pf the sphere through the orgin, i.e., a great circle.
              Solution. By multiplying R cos v, R cos v cos (u - u₀) + 𝛾 cos v tan v = 0, R cos v (cos u cos u₀ + sin u sin u₀) + 𝛾 sin v = 0.
               Hence if 𝛼 = cos u₀, 𝛽 = sin u₀, then we have  𝛼x + 𝛽y + 𝛾z = 0. (이는 𝐧 (𝛼, 𝛽, 𝛾)과 직교하면서 원점을 지나는 평면 𝐏 (z,y,z)입니다.
               즉, 𝐧 ∙ 𝐏 = 0. 따라서 지리적(geographical) 좌표계의 geodesic은 대원(great circle)의 일부입니다.)  ▮

*  ▮ 'the proof is complete ' 증명이 완료됨을 나타내는 기호
**  geodesic: 대한수학회의 측지선(測地線), 물리학회의 지름길인데, 여기서는 측지선/영어로 표기함.
p.s.  determinant는 선형독립 여부, 역행렬 존재 여부, 삼중내적의 부피 및 Gauss curvature 산정의 '결정자'-google-입니다. ('행렬식'은 비추천)