Introduction to Differential Geometry (2)

    ∘  If 𝛂(t) = 𝐗 (u(t), v(t)), a≤ t ≤b, <- a curve on a surface; s = s(t): arc length, total length L = s(b) = ∫^b_a∥𝛂'(t)∥dt,
        (ds/dt)² = ∥𝛂'∥² =  𝛂' ∙ 𝛂' = (u'𝐗₁ + v'𝐗₂) ∙ (u'𝐗₁ + v'𝐗₂) = u'²(𝐗₁ ∙ 𝐗₁) + 2u'v'(𝐗₁ ∙ 𝐗₂) + v'²(𝐗₂ ∙ 𝐗₂)  <- by eq.(3)
         𝐸 =  𝐗₁ ∙ 𝐗₁,  𝐹 =  𝐗₁ ∙ 𝐗₂,  𝐺 =  𝐗₂ ∙ 𝐗₂  <- following Gauss   [4-4]
         (ds/dt)² = 𝐸(du/dt)² + 2𝐹[(du/dt)(dv/dt)] + 𝐺(dv/dt)²   [4-5]
         ds² = 𝐸 du² + 2𝐹 dudv + 𝐺 dv²  <- the first fundamental form 第一基本形式 or metric form 計量形式   [4-6] 
    ∘  If 𝐯 = a𝐗₁ + b𝐗₂, 𝐰 = c𝐗₁ + d𝐗₂,  <- (a,b,c,d는 실수) 𝐌의 한점에서의 tangent vectors
        then 𝐯 ∙ 𝐰 =  (a𝐗₁ + b𝐗₂) ∙ (c𝐗₁ + d𝐗₂) = 𝐸ac + 𝐹(ad + bc) + 𝐺bd
.                             ⌈ 𝐸 𝐹 ⌉  ⌈ c ⌉
         𝐯 ∙ 𝐰 = (a,b) ⌊ 𝐹 𝐺 ⌋  ⌊ d ⌋  <- matrix product 표기 방식       [4-8]
    ∘  𝐔 = 𝐗₁ ⨯ 𝐗₂ /∥𝐗₁ ⨯ 𝐗₂∥  <- unit normal vector,  ∵  𝐔⊥𝐗₁ and 𝐗₂, ∥𝐔∥= 1, 𝐗₁ ⨯ 𝐗₂ ≠ 0
        ∥𝐗₁ ⨯ 𝐗₂∥² = (𝐗₁ ∙ 𝐗₁) (𝐗₂ ∙ 𝐗₂) - (𝐗₁ ∙ 𝐗₂)² = 𝐸𝐺 - 𝐹² <- the identity of Lagrange 라그랑주 恒等式  [4-9]
        ∵ 𝐗₁ ⨯  𝐗₂ = 𝐗₁ 𝐗₂ sin𝜃,  𝐗₁ ∙ 𝐗₂ = 𝐗₁ 𝐗₂ cos𝜃,  ∣𝐗₁∣² ∣𝐗₂∣² sin²𝜃 = ∣𝐗₁∣² ∣𝐗₂∣² - ∣𝐗₁∣² ∣𝐗₂∣² cos²𝜃
    ∘  𝑔_𝑖𝑗 =  𝐗_𝑖 ∙ 𝐗_𝑗 [※ notaional change] →  𝑔₁₁ = 𝐸, 𝑔₂₁ = 𝐹, 𝑔₂₂ = 𝐺
        ⌈ 𝑔₁₁ 𝑔₁₂ ⌉      ⌈ 𝐸 𝐹 ⌉  
        ⌊ 𝑔₂₁ 𝑔₂₂ ⌋  =   ⌊ 𝐹 𝐺 ⌋   <- the matrix of the geometric form
    ∘  𝑔 = ∥ 𝐗₁ ⨯ 𝐗₂∥²  <- let  𝑔 = det (𝑔_𝑖𝑗) = 𝐸𝐺 - 𝐹² [※ notaional change]   [4-10]
       ( the Einstein Summation Convention 아인슈타인 合 規約 을 적용하기 시작합니다 .) <- Tensor 해석 I-1 참조
    ∘  ds² = 𝑔_𝑖𝑗du^𝑖du^𝑗   [notaional change: ∑ _𝑖,𝑗 𝑔_𝑖𝑗du^𝑖du^𝑗]  <- the first fundamental form or metric form  by eq.(4-6)
    ∘  𝐯 ∙ 𝐰 = 𝑔_𝑖𝑗v^𝑖w^𝑗 [notaional change: ∑ _𝑖,𝑗 𝑔_𝑖𝑗v^𝑖]  <- by eq.(8);  𝐯⊥𝐰, if and only if ^* 𝐯 ∙ 𝐰 = 0.   [4-11] 
    ∘  𝛂' = u^𝑖'𝐗_𝑖 [notaional change: ∑ _𝑖 u^𝑖'𝐗_𝑖]  <- by eq.(3)
    ∘  𝑔^𝑖𝑗: the components of the matrix inverse of (𝑔_𝑖𝑗) ↦ (𝑔_𝑖𝑗)(𝑔^𝑖𝑗) = 𝐈  <- 𝐈: identity matrix
        𝑔_𝑖𝑗𝑔^𝑗𝑘 = 𝛿^𝑘_𝑖,  𝛿^𝑘_𝑖 = {(1 if 𝑖 = 𝑘), (0 if 𝑖 ≠ 𝑘)} [notaional change: ∑ _𝑖,𝑗 𝑔_𝑖𝑗𝑔^𝑗𝑘]  [4-12]
        𝑔₁₁ = 𝑔₂₂/𝑔,  𝑔₁₂ = 𝑔₂₁ = -𝑔₁₂/𝑔,   𝑔₂₂ = 𝑔₁₁/𝑔  <-  inverse matrix^**,  𝑔 = det (𝑔_𝑖𝑗); if and only if  𝑔 ≠ 0
    ∘  If a surface 𝐗;𝐃 → E³, a region 𝛺 ⊂ 𝐃 on which 𝐗 is one-to-one, 어떻게 𝐗(𝛺) 면적을 발견할 수 있을까요?
         먼저 𝛺를 u¹, u²축을 따라 각변이 𝛥u¹, 𝛥u²인 작은 직사각형으로 나눈 후에 이를 𝐗(𝛺)로 mapping해 봅니다.
         𝐗(𝛺)에서 𝛺에서의 작은 사각형들이 유사 평행사변형으로 되며 각변은 ∥𝐗₁∥𝛥u¹,∥𝐗₂∥𝛥u²가 됩니다.
         ∴ 𝛥𝐴 ≈∥𝐗₁∥∥𝐗₂∥sin 𝜃 𝛥u¹𝛥u² = ∥𝐗₁ ⨯ 𝐗₂∥𝛥u¹𝛥u² = (√ 𝑔) 𝛥u¹𝛥u²
         𝐀 = ∬_𝛺∥𝐗₁ ⨯ 𝐗₂∥du¹du² = ∬_𝛺 (√ 𝑔) du¹du²  <- function 𝐗 to 𝛺: one-to-one and regular   [4-13]

5. The Second Fundamental Form <- Figure I-25 참조

      ∘  이후로는 the Einstein Summation Convention 아인슈타인 合 規約 을 계속 적용합니다. 
      ∘  The Gauss Formulas : a curve 𝛂(s) = 𝐗(u¹(s), u²(s)) on 𝐌, s: arc length, 
           unit tangent vector 𝐓 = 𝛂' = u^𝑖'𝐗_𝑖;  acceleration or curvature vector 𝐓' = 𝛂";  curvature k(s) = ∥𝐓'∥ 
           𝛂" = 𝛂"_tan + 𝛂"_nor  <-  tangent and normal to the surface; in order to study the surface 𝐌   [5-14]
           𝛂" = u^𝑖"𝐗_𝑖 + u^𝑖'd𝐗_𝑖/ds  <- by product rule   [5-15]
           𝐗_𝑖 ≡ ∂𝐗/∂u^𝑖 = ( ∂x/∂u^𝑖, ∂y/∂u^𝑖, ∂z/∂u^𝑖),  𝑖 = 1, 2
           𝐗_𝑖𝑗 ≡ ∂²𝐗/∂u^𝑗∂u^𝑖 =  ∂𝐗_𝑖/∂u^𝑗 = ( ∂²x/∂u^𝑗∂u^𝑖, ∂²y/∂u^𝑗∂u^𝑖, ∂²z/∂u^𝑗∂u^𝑖),  𝑖,𝑗 = 1, 2
           𝐗_𝑖 = 𝐗_𝑖(u¹(s), u²(s)) → d𝐗_𝑖/ds = (∂𝐗_𝑖/∂u¹) u¹' + (∂𝐗_𝑖/∂u²) u²' = (∂𝐗_𝑖/∂u^𝑗)u^𝑗' = u^𝑗'𝐗_𝑖𝑗  <- by chain rule
           𝛂" = u^𝑟"𝐗_𝑟 + u^𝑖'u^𝑗'𝐗_𝑖𝑗   [5-16]
           𝐗_𝑖𝑗 = 𝛤^𝑟_𝑖𝑗𝐗_𝑟 + 𝐿_𝑖𝑗𝐔,  𝑖,𝑗 = 1,2  <- the Gauss Formulas ; cf) Tensor 해석 II-4 b) Christoffel 기호   [5-17]
           𝛂" = 𝛂"_tan + 𝛂"_nor = (u^𝑟" + 𝛤^𝑟_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗')𝐗_𝑟 + (𝐿_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗')𝐔   [5-18]
           𝛂" = [u¹" +  𝛤¹₁₁(u¹')² +  2𝛤¹₁₂u¹'u²' + 𝛤¹₂₂u²')²]𝐗₁ + [u²" +  𝛤²₁₁(u¹')² +  2𝛤²₁₂u¹'u²' + 𝛤²₂₂(u²')²]𝐗₂
                 + [𝐿₁₁(u¹')² + 2𝐿₁₂u¹'u²' + 𝐿₂₂(u²')²]𝐔  <- full equation by the Einstein summation convention
     ∘  𝐿_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗'  <-   how does it curve relative that space? extrinsic(外在的) geometry  [5-19]
            𝐿_𝑖𝑗 =  𝐗_𝑖𝑗 ∙ 𝐔,  𝑖,𝑗 = 1,2  <- the second fundamental form of the surfaces  [5-20]
            ex) Let 𝐗(u,v) = (u, v, f(u,v)), (u,v) ∊ D, then 𝐗₁ = (1, 0, fu), 𝐗₂ = (0, 1, fv).
               𝐸 = 1 + f_u²,  𝐹 = f_uv,  𝐺 = 1 + f_v²,  𝑔 = 𝐸𝐺 - 𝐹² = 1 + f_u² + f_v²,  𝐗₁ ⨯ 𝐗₂ = (-f_u, -f_v, 1),  𝐔 = (-f_u, -f_v)/√ 𝑔
               𝐗₁₁= (0, 0, f_uu), 𝐗₁₂= (0, 0, f_uv), 𝐗₁₁= (0, 0, f_vv) → 𝐗_𝑖𝑗 = (0, 0, f_𝑖𝑗); ∴ 𝐿_𝑖𝑗 = f_𝑖𝑗 / √ 𝑔,  𝑖,𝑗 = 1, 2

     ∘  Definition I-3
         𝐯 = v^𝑖 𝐗_𝑖가 𝐏에서 𝐌에 접하는 a unit vector라면, the normal curvature 法曲率 in the v direction k는,
         𝑘_n(𝐯) = 𝐿_𝑖𝑗 v^𝑖v^𝑗 로 정의된다.   [5-21]

     ∘  𝛂가 𝐌에 있는 임의의 곡선으로 𝛂(s₀) = 𝐏, 𝛂(s₀)' = 𝐯이면, 𝛂(s₀)'= u^𝑖'(s₀)𝐗_𝑖(u¹(s₀), u²(s₀)), v^𝑖 = u^𝑖'(s₀)이 됩니다.
         𝑘_n(𝐯) = 𝐿_𝑖𝑗 u^𝑖'u^𝑗' = 𝛂" ∙ 𝐔 = ∓∥𝛂"∥ <- by eq.16 에서 u^r" 𝐗_r ∙ 𝐔 = 0; eq. 20   [5-22]
         '0'이아닌 tangent vector에 대해서 normal curvature의 개념을 다음과 같이 확장시킬 수 있습니다.
         𝑘_n(𝐯) =  𝐿_𝑖𝑗 v^𝑖v^𝑗/∥𝐯∥² = 𝐿_𝑖𝑗 v^𝑖v^𝑗/ 𝑔_mnv^mvⁿ  <-  by eq. 21; 우변의 v를 v/∥v∥로 교체함.

*  'if and only if ' 혹은 줄여서 'iff '라고도 쓰는데 동치(同値) 또는 필요충분조건을 가리킴.
**   inverse matrix(逆行列) 𝐀^-1 = (Ȃ_𝑖𝑗)^T/det 𝐀  <- cofactor(餘因子) Ȃ_𝑖𝑗 = (-1)^𝑖+𝑗𝑀_𝑖𝑗,  𝑀_𝑖𝑗: the 𝑖,𝑗 minor of 𝐀
p.s.  곡면 𝐌 위에 있는 곡선 방정식의 1차 2차 미분 결과를 이용해서 곡면 자체의 curvature를 발견하는 것이 핵심입니다. 
        특히 곡면 위에서의 Christoffel symbols를 포함한 Gauss Formulas-'Tensor 해석 II-2'과 비교됨-에 주목 바랍니다.